Смешанное расширение бескоалиционной игры. Равновесие по нэшу В смешанных стратегиях. Свойства и условия существования равновесия по нэшу В смешанных стратегиях.

игроки выбирают свои стратегии независимо. Тогда для каждой ситуации x(i)=вероятность ее появления будет равна P(x(i))=pi*qj
В смешанном расширении Г любой игры Г с конечными множествами стратегий Si,...,Sn существует равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.
Замечания. 1) Важная особенность ситуации равновесия по Нэшу заключается в том, что отклонение от нее двух игроков и более может привести к увеличению выигрыша одного из отклонившихся игроков.
Определение. Набор = () смешанных стратегий игроков в игре Г называется ситуацией в смешанных стратегиях в этой игре.
В условиях ситуации в смешанных стратегиях каждая ситуация в чистых стратегиях реализуется с вероятностью.
Определение. Смешанным расширением игры Г = {I, S, H} называется игра = {I,, }, где
= { = () |, },.
Определение. Ситуации равновесия смешанного расширения = {I,, } игры Г = {I, S, H} называются ситуациями равновесия игры Г в смешанных стратегиях, т. е. ситуация = () в смешанных стратегиях игроков в игре Г называется ситуацией равновесия, если для каждого выполняется
для любых.
Опред. Равновесной стратегией игрока в бескоалиционной игре называется такая его стратегия, которая входит хотя бы в одну из равновесных ситуаций игры.
Теорема 1 (Нэш). В каждой бескоалиционной игре Г = {I, S, H} сущ. хотя бы одна ситуация равновесия в смеш/стратегиях

 

Доминируемые стратегии игроков в бескоалиционной игре: определение, свойства. Рационализуемые стратегии. Доминирование смешанных стратегий.

Определение. Стратегия игрока i в игре Г = {I, S, H} строго доминируема (строго доминируется), если существует другая стратегия такая, что

(1)

для всех , k = 1, 2, …, i – 1, i + 1, …, n.

В этом случае стратегия строго доминирует стратегию .

Если неравенство (1) выполняется нестрого, но хотя бы для одного набора – строго, то стратегия слабо доминируется стратегией .

Свойство. Множество стратегий, выдерживающих такое исключение (оставшихся после удаления) строго доминируемых стратегий, не зависит от последовательности (порядка) исключений. (Для слабо доминируемых стратегий данное свойство может не выполняться.)
Определение. Стратегия называется доминирующей, если она доминирует (хотя бы слабо) все остальные стратегии игрока i.

Замечание. Наличие домин. стратегии у игрока приводит к тому, что он будет пользоваться только этой страт. незав. от выбора других игроков. Тогда его можно искл. из рассмотр. и перейти к редуцированной игре с меньшим числом участников. Если все игроки имеют доминирующие стратегии, то игра имеет решение в доминирующих стратегиях. Решение в доминирующих стратегиях может быть неэффективным (не оптимальным) по Парето. Определение. Стратегия si является лучшим ответом игрока i на набор стратегий оппонентов s-i, если u(si, s-i) ³ u(si ', s-i) при любых si 'ÎSi. Стратегия si является "никогда не лучшим" ответом (НЛО), если не существует s-i, для которых она была бы лучшим ответом.

Рациональный игрок не должен играть НЛО, как только он исключает возможность того, что его противники могут играть НЛО и т.д. Стратегии, остающиеся после такого итеративного удаления, — это те стратегии, которые рациональный игрок может оправдать, или рационализовать, разумеется, при некоторых разумных предположениях о выборе своих противников.

Определение. Стратегии в Si, которые выдерживают последовательное удаление НЛО называются рационализуемыми стратегиями

10. Задачи игроков в матричной игре (смешанное расширение): аналитическая форма записи. Геометрическая интерпретация решений задач игроков

В соответствии с принципом максимина оптимальная стратегия * x такова, что минимальный выигрыш игрока A (при наихудшем поведении игрока B) обращается в максимум. Ординаты точек, лежащих на выделенной ломаной B1MB2, на рис.2 показывают минимальный выигрыш игрока A при использовании им любой смешанной стратегии (участок B1M – против стратегии B1, участок MB2 – против стратегии B2). Оптимальную стратегию определяет точка M, в которой минимальный выигрыш достигает максимума, а ее ордината равна цене игры v.