С-ядро кооперативной игры, его свойства, Принцип оптимальности в форме С-ядра.

Кооперативные игры получаются в тех случаях, когда, в игре n игроков разрешается образовывать определённые коалиции. Обозначим через N множество всех игроков, N ={1, 2,..., n}, а через S – любое его подмножество. Пусть игроки из S договариваются между собой о совместных действиях и, таким образом, образуют одну коалицию. Очевидно, что число таких коалиций, состоящих из r игроков, равно числу сочетаний из nпо r, то есть , а число всевозможных коалиций равно = 2n – 1.

1. Принцип оптимальности в форме С-ядра

Естественно положить в основу анализа кооперативной игры принцип оптимального распределения максимального выигрыша u(S) между сторонами .

Реализация этого принципа приводит к рассмотрению С-ядра − множество недоминируемых «вполне устойчивых» дележей кооперативной игры.

Вектор x = (x1,..., xn), удовлетворяющий условиям индивидуальной и коллективной рациональности, называется дележём в условиях характеристической функции u. Распределение выигрышей (делёж) игроков должно удовлетворять следующим естественным условиям: если обозначить через xi выигрыш i-го игрока, то, во-первых, должно удовлетворяться условие индивидуальной рациональности xi ³ u(i), для i ÎN, (1) т. е. любой игрок должен получить выигрыш в коалиции не меньше, чем он получил бы, не участвуя в ней (в противном случае он не будет участвовать в коалиции); во-вторых, должно удовлетворяться условие коллективной рациональности = u(N), (2)

т. е. сумма выигрышей игроков должна соответствовать возможностям (если сумма выигрышей всех игроков меньше, чем u(N), то игрокам незачем вступать в коалицию; если же потребовать, чтобы сумма выигрышей была больше, чем u(N), то это значит, что игроки должны делить между собой сумму большую, чем у них есть).

Система {N, u}, состоящая из множества игроков, характеристической функции над этим множеством и множеством дележей, удовлетворяющих соотношениям (2) и (3) в условиях характеристической функции, называется классической кооперативной игрой.

Делёж x доминирует y, если существует такая коалиция S, для которой делёж xдоминирует y. Это доминирование обозначается так: x > y.

Наличие доминирования x > y означает, что в множестве игроков N найдётся коалиция, для которой x предпочтительнее y. Соотношение доминирования возможно не для всякой коалиции. Так невозможно доминирование по коалиции, состоящей из одного игрока или из всех игроков.

Любой дележ из С-ядра устойчив, в том смысле, что ни одна из коалиций не имеет ни желания, ни возможности изменить исход игры.

Для того чтобы делёж x принадлежал с-ядру кооперативной игры с характеристической функцией u, необходимо и достаточно, чтобы для любой коалиции S выполнялось неравенство .

С-ядро может оказаться пустым, например, когда есть слишком сильные коалиции. Если С-ядро пусто, то требования всех коалиций одновременно не могут быть удовлетворены.

С-ядро — принцип оптимальности в теории кооперативных игр, представляющий собой множество эффективных распределений выигрыша, устойчивых к отклонениям любой коалиции игроков, то есть множество векторов , таких, что: И для любой коалиции выполнено: Где v — характеристическая функция игры.

Свойства

Эквивалентным является определение С-ядра кооперативной игры в терминах блокирования распределений выигрыша коалициями. Говорят, что коалиция K блокирует распределение выигрыша x, если найдётся другоераспределение выигрыша y, такое, что ,И для любого участника выполнено .

Тогда С-ядром кооперативной игры называется множество распределений выигрыша, которые не могут быть заблокированы ни одной коалицией.

С-ядро задаётся системой линейных уравнений и нестрогих линейных неравенств, в связи с чем оно является выпуклым многогранником.

С-ядро может быть пустым. Достаточные условия непустоты ядра были сформулированы Л.Шепли:

Теорема. Кооперативная игра с супермодулярной характеристической функцией имеет непустое ядро.Необходимые и достаточные условия непустоты ядра были сформулированы О.Бондаревой и, позднее,Л.Шепли:

Теорема. Ядро кооперативной игры непусто тогда и только тогда, когда она сбалансирована.

Любое равновесие Вальраса принадлежит ядру, однако обратное неверно. Однако, при некоторыхпредположенях, если количество агентов в экономике стремится к бесконечности, ядро стремится комножеству равновесий Вальраса (гипотеза Эджворта).