Опр. бескол. игры. Цели игроков. Приемлемые ситуации и ситуации равновесия (по Нэшу) в бескоалиционной игре. Равновесные стратегии.

Опр. бескол. игры. Цели игроков. Приемлемые ситуации и ситуации равновесия (по Нэшу) в бескоалиционной игре. Равновесные стратегии.

Бескоалиционные игры – это класс игр, в которых каждый игрок прини. реш. независимо от других игроков (изолированно), не участвуя ни в каких переговорах и соглашениях с другими игроками. Цель каждого из игроков – миним. собств. срока заключ. (т.е.максим. выигрыша). Ситуации: 1. Ситуация равновесия игры (равновесия по Нэшу) – пара страт. игроков, отклон. от которых в одиночку невыгодно ни одному из игроков. Поиск страт., образ.сит. равнов., выполн. на основе индивид. рацион. выбора. 2. Ситуация (пара стратегий игроков) является оптимальной по Парето, если не сущ. др. сит, которая была бы предпочт.этой ситуации для всех игроков (т.е.увел. выигрыша одного из игроков возможно только за счет уменьш. выигрыша другого). Отметим содержат. различие понятий ситуации равнов. и ситуации, оптим. по Парето. В ситуации равнов.ни один игрок, действуя в одиночку, не может увел. своего выигрыша, в оптимальной по Парето ситуации – все игроки, действуя совместно, не могут (даже не строго) увеличить выигрыш каждого. Опред. равнов. сит. при которой обе стороны использ. соответств. (оптим) стратегии, привод. к созд. устойчивого равновесия. Игрокам выгодно сохр. это равн., так как любое откл. от такой равн.стратегии одной из сторон приведет к ухудшению ее положения.

Стратег. эквивалентность бескоал. игр: опр., осн. Св-ва. Стратег. эквивалентность бескоа. игры с постоянной суммой.

Определение. Пусть есть две бескоалиционные игры и с одними и теми же множествами игроков и их стратегий, отличающиеся лишь функциями выигрыша: = { I, S, }, = { I, S, },

и пусть существуют число k > 0 и для каждого игрока число , , такие, что в любой ситуации .

Тогда игры и называются стратегически эквивалентными.

Стратегическая эквивалентность игры игре обозначается ~ .

Свойства стратегической эквивалентности:

1. Рефлексивность. Каждая игра Г стратегически эквивалентна самой себе: Г ~ Г.

2. Симметричность. Если Г ~ , то ~ Г.

3. Транзитивность. Если Г ~ и ~ , то Г ~ .

Бескоалиционная игра Г = { I, S, H } называется игрой с постоянной суммой, если существует такая С = const, что

для любой ситуации s S.

Если С = 0, то такая игра называется игрой с нулевой суммой.

Всякая бескоалиционная игра с постоянной суммой стратегически эквивалентна некоторой игре с нулевой суммой.

 

Эффективность ситуаций по Парето в бескоалиционной игре. Условия эффективности.

 

Определение. В бескоалиционной игре Г = {I, S, H} ситуация называется оптимальной по Парето, если не существует ситуации , для которой имеют место неравенства

для всех ,

причем хотя бы для одного игрока неравенство строгое.

Множество всех ситуаций, оптимальных по Парето, будем обозначать через .Содержательно принадлежность ситуации множеству означает, что не существует другой ситуации , которая была бы предпочтительнее ситуации для всех игроков.

Определим понятие предпочтительности ситуаций. Пусть ситуации , . Ситуация s предпочтительнее , если для всех , причем хотя бы для одного игрока неравенство строгое, т. е. .

Замечания. 1) Важная особенность ситуации равновесия по Нэшу закл. в том, что отклон. от нее двух игроков и более может привести к увел. выигрыша одного из отклонив. игроков. 2) Если имеет место соглаш.между игроками о выборе фиксиров. ситуации равнов., то это удерж.каждого индивид. игрока от откл. от нее. В оптима. по Парето сит. отклон. игрок может в некоторых случаях получить сущ. больший выигрыш.Однако для разных ситуаций, оптим. по Парето, но не сравнив. по области прямого угла исп. допол. условия эффект. страт. (как решений). Например, условие «взвешенной эффективности» для оптим. по Парето ситуаций :

для некоторого фикс. .При имеем условие «взвешенной эффективности» для в следующем виде: в качестве взвешенной оптимальной по Парето выбирают ситуацию , доставляющую

.

 

Опр. бескол. игры. Цели игроков. Приемлемые ситуации и ситуации равновесия (по Нэшу) в бескоалиционной игре. Равновесные стратегии.

Бескоалиционные игры – это класс игр, в которых каждый игрок прини. реш. независимо от других игроков (изолированно), не участвуя ни в каких переговорах и соглашениях с другими игроками. Цель каждого из игроков – миним. собств. срока заключ. (т.е.максим. выигрыша). Ситуации: 1. Ситуация равновесия игры (равновесия по Нэшу) – пара страт. игроков, отклон. от которых в одиночку невыгодно ни одному из игроков. Поиск страт., образ.сит. равнов., выполн. на основе индивид. рацион. выбора. 2. Ситуация (пара стратегий игроков) является оптимальной по Парето, если не сущ. др. сит, которая была бы предпочт.этой ситуации для всех игроков (т.е.увел. выигрыша одного из игроков возможно только за счет уменьш. выигрыша другого). Отметим содержат. различие понятий ситуации равнов. и ситуации, оптим. по Парето. В ситуации равнов.ни один игрок, действуя в одиночку, не может увел. своего выигрыша, в оптимальной по Парето ситуации – все игроки, действуя совместно, не могут (даже не строго) увеличить выигрыш каждого. Опред. равнов. сит. при которой обе стороны использ. соответств. (оптим) стратегии, привод. к созд. устойчивого равновесия. Игрокам выгодно сохр. это равн., так как любое откл. от такой равн.стратегии одной из сторон приведет к ухудшению ее положения.