Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

.Матрицей размера mxn наз-ся прямоуг.таблица чисел,сост.из n-строк и m-столбцов.Эл-ты м-цы – числа,составл.м-цу. М-цы обознач.прописными(загл.)б-ми лат.алфав.,напр.:А,В,С,..,а для обознач.эл-тов м-цы исп.строч.буквы с двойной индексацией:а_ij,где i-номер строки, j – номер ст-ца. М-ца наз-ся невырожденной (неособенной, если |A|≠0. При |А|=0 – вырожденная (особенная) м-ца.

Виды м-цы: м-ца(вектор)столбец – м-ца,сост.из одного столбца; м-ца(вектор)строка – м-ца,сост.из одной строки; квадр.м-ца n-го порядка – м-ца,ч-ло стр.которой=ч-лу ст-в и =n.; диагонал. – все недиагонал.эл-ты квадр.м-цы равны 0.; единич. (обознач.Е) – все диагонал.эл-ты диагонал.м-цы =1; нулевая – м-ца,любого размера, если все её эл-ты равны 0.

Трансп.м-цы – это смена местами строк и ст-в с сох-м порядка следования эл-тов. А – исходная, А’(А^т)-транспонир. Если А м-ца имеет размер mxn, то А’ м-ца – nxm.

Равенство м-ц:две м-цы одинак.размера наз.равными,если они равны поэлементно.

Сложение м-ц: (одинак.размера)Складываем соотв.эл-ты.

Умножение на число: все эл-ты м-цы умнож.на это число. (Общ.множитель всех эл-тов выносится за знак.м-цы).

Умножение 2-х м-ц: произведение м-цы А_mxn на м-цу В_nxp наз-ся м-ца С_mxp,каждый эл-т которой равен сумме произведений эл-в i-строки на соотв.эл. j – столбца. Перемножать можно только такие м-цы,когда число столбцов 1-ой м-цы равно числу строк 2-й м-цы. Произведение м-ц не коммуникативно. 2х3 3х7 не = 3х7 2х3,т.к. 7 не = 2.

Возвед.квадр.м-цы в степень. (только квадр.) А^m = А_* А_*..А. m раз

2. Определители 2, 3 и n -го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

Опред.1-го порядка (м-цы 1-го порядка) наз-ся эл-т этой м-цы а₁₁. Е=(1),|E| = detE=1

A=(0),|A|=0.

Опред.2пор.наз-ся ч-ло,кот.считается след.образом |A|=a_11*a₂₂ – a_12*a_21.

Опред.3пор.наз-ся ч-ло,кот.наход.по ф-ле (когда вычёркивают по пересечению..)

Теор.Лапласа(о разлож.опред.) Опред.квадр.м-цы равен сумме произведений эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца на их алгебраич.дополнения.

_^3 = a_11*A₁₁ + a_12*A₁₂ + a_13*A₁₃ (_^3 = a_{11 *}M₁₁ – a_{12 *}M₁₂ + a_{13 *}M₁₃)

Замечание:Для _^-ной м-цы (то есть такой,в кот.под эл-ми гл.диагонали-нули)опред-ль равен произвед.диагонал.эл-тов(эл-тов гл.диаг.)

Св-ва опред-й: 1) При трансп.опред-ль м-цы не меняется.

2) Если в м-це есть нулевая строка или нулевой столбец,то опред-ль такой м-цы =0.

3) Если в м-це поменять местами 2 ст-ки или ст-ца с сохр-м порядка след.эл-тов,то опред-ль поменяет знак на противопол.

4) Если в м-це есть 2 одинак.строки или столбца,то опред-ль такой м-цы =0.

5) Общ.множ-ль эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца можно вынести за зн.опред-ля.

6) Если к эл-там какой-либо стр.или ст-ца прибавить эл-т др.ст-ки или ст-ца,умноженные на любое число,то опред-ль не изм.

Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

Определители квадр.м-ц:

Опред.1-го порядка (м-цы 1-го порядка) наз-ся эл-т этой м-цы а₁₁. Е=(1),|E| = detE=1

A=(0),|A|=0.

Опред.2пор.наз-ся ч-ло,кот.считается след.образом |A|=a_11*a₂₂ – a_12*a_21.

Опред.3пор.наз-ся ч-ло,кот.наход.по ф-ле (когда вычёркивают по пересечению..)

Св-ва опред-й: 1) При трансп.опред-ль м-цы не меняется.

2) Если в м-це есть нулевая строка или нулевой столбец,то опред-ль такой м-цы =0.

3) Если в м-це поменять местами 2 ст-ки или ст-ца с сохр-м порядка след.эл-тов,то опред-ль поменяет знак на противопол.

4) Если в м-це есть 2 одинак.строки или столбца,то опред-ль такой м-цы =0.

5) Общ.множ-ль эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца можно вынести за зн.опред-ля.

6) Если к эл-там какой-либо стр.или ст-ца прибавить эл-т др.ст-ки или ст-ца,умноженные на любое число,то опред-ль не изм.

Опред.квадр.м-цы равен сумме произведений эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца на их алгебраич.дополнения.

_^3 = a_11*A₁₁ + a_12*A₁₂ + a_13*A₁₃ (_^3 = a_{11 *}M₁₁ – a_{12 *}M₁₂ + a_{13 *}M₁₃)

М-ца наз-ся невырожденной (неособенной, если |A|не=0. При |А|=0 – вырожденная (особенная) м-ца.

Присоедин.м-ца. А^~ присоединённая для м-цы А,если она сост.из алгебраич.дополнений к эл-там транспонир.м-цы. Замеч.:чтобы быстро найти присоедин.м-цу для квадр.м-цы 2-го порядка надо поменять местами эл-ты на гл.диагонали, а перед другими двумя Эл-ми поменять знак на противоп.

Обратная м-ца. А^-1 наз-ся обратной для м-цы А, если произведение этих м-ц в любом порядке есть Единичное. А_*А^-1=А^-1_*А=Е Замечание:если опред-ль м-цы А не равен 0,то такая м-ца наз-ся невырожденной (неособенной).

ТЕОР.для того, чтобы квадр.м-ца А имела обратную,необх.и достат., чтобы она была невырожденной. А^-1 нах-ся о формуле: А^-1=1/|А| _* А^~ (сначала находим опред-ль (|A|), затем присоед.м-цу (А^~), потом по ф-ле находим обр.м-цу А^-1

4. Понятие минора k- го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.

Минором M_ij эл-та a_ij квадр.м-цы A n-ого порядка наз-ся опред-ль квадр.подм-цы n-1-го порядка, полученной из исходной вычёкиванием i-строки и j-ст-ца.

Если в м-це А размера mxn выделить какие-либо k ст-к и k ст-в (k ≤ min (m,n)),то опред-ль подм-цы из получаемых на пересечении этих строк и ст-в эл-в наз-ся минором k-го порядка м-цы А.

Ранг м-цы - это наивысший порядок минора м-цы отличный от нуля. (Минор м-цы – то опред-ль квадр.подм-цы). r(А) = n

Ранг м-цы равен максимал.числу лин.независ.ст-к или ст-в м-цы.

Эл.преобраз.:1)отбрас.нулевой строки или ст-ца. 2)Трансп.м-цы, 3)Сложение(или вычит.)эл-тов какой-либо строки или ст-ца с соотв.эл-ми др.стр.(ст.), умноженными на какое-то(любое)число., 4)Смена местами стр-к или ст-в м-цы с сохран.порядка след.эл-тов в них.

ТЕОР.Ранг м-цы не меняется при эл.преобраз.

Опр:М-ца наз-ся ступенчатой,если под эл-ми гл.диагонали такой м-цы только нул.эл-ты или эл-тов вообще нет. Замечание:Элементарн.преобразованиями любая м-ца приводится к ступенчатой. В такой ступенчатой матрице ранг это число строк в ней. Это число совп.с рангом исх.м-цы,т.к.при элементар.преобр.ранг не меняется.

 

*2 (2 -4 1 5 3)<\

| (0 -1 3 0 2) |

+ (-4 5 7 -10 0) | ~

(-2 1 8 -5 3)</

 

(2 -4 1 5 3) (2 -4 1 5 3)

(0 -1 3 0 2)*3 (0 -1 3 0 2)

~ (0 -3 9 0 6) - ~ (0 0 0 0 0)

(0 -3 9 0 6) - (0 0 0 0 0)

 

(2 -4 1 5 3)

(0 -1 3 0 2)

~ (0 0 0 0 0) > r(A)=2,т.к.

(0 0 0 0 0) 2 строки в ступенч.м-це.

Сумма векторов

Пусть даны два вектора а = OA(вектор) и b = OB(вектор) (рис. 5).

От точки А отложим отрезок АС такой, что AС(вектор) = b. Тогда, вектор с = OС(вектор) называется суммой векторов а и b и обозначается а + b.

Таким образом, OA(вектор) + AС(вектор) = OС(вектор). Это равенство называют правилом треугольника сложения двух векторов.

Oчевидно, что это правило справедливо и в том случае, когда точки О, А и В лежат на одной прямой (рис. 6, 7). В частности, а + 0 = а.

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора а на число х =/= 0 называется вектор, длина которого равна | x | • | а |, а направление совпадает с направлением а, если х > 0, и противоположно ему, если х < 0.

Произведением нулевого вектора на любое число х и произведением любого вектора на число нуль называется нулевой вектор.

Произведение вектора а на число х обозначается х • а (числовой множитель пишется слева).

Согласно определению | x • а | = | x | • | а | для любого вектора а и любого числа х.

 

12. Скалярное произведение двух векторов(определение) и его выражениев координатной форме. Угол между векторами.

 

13. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов.

Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

.Матрицей размера mxn наз-ся прямоуг.таблица чисел,сост.из n-строк и m-столбцов.Эл-ты м-цы – числа,составл.м-цу. М-цы обознач.прописными(загл.)б-ми лат.алфав.,напр.:А,В,С,..,а для обознач.эл-тов м-цы исп.строч.буквы с двойной индексацией:а_ij,где i-номер строки, j – номер ст-ца. М-ца наз-ся невырожденной (неособенной, если |A|≠0. При |А|=0 – вырожденная (особенная) м-ца.

Виды м-цы: м-ца(вектор)столбец – м-ца,сост.из одного столбца; м-ца(вектор)строка – м-ца,сост.из одной строки; квадр.м-ца n-го порядка – м-ца,ч-ло стр.которой=ч-лу ст-в и =n.; диагонал. – все недиагонал.эл-ты квадр.м-цы равны 0.; единич. (обознач.Е) – все диагонал.эл-ты диагонал.м-цы =1; нулевая – м-ца,любого размера, если все её эл-ты равны 0.

Трансп.м-цы – это смена местами строк и ст-в с сох-м порядка следования эл-тов. А – исходная, А’(А^т)-транспонир. Если А м-ца имеет размер mxn, то А’ м-ца – nxm.

Равенство м-ц:две м-цы одинак.размера наз.равными,если они равны поэлементно.

Сложение м-ц: (одинак.размера)Складываем соотв.эл-ты.

Умножение на число: все эл-ты м-цы умнож.на это число. (Общ.множитель всех эл-тов выносится за знак.м-цы).

Умножение 2-х м-ц: произведение м-цы А_mxn на м-цу В_nxp наз-ся м-ца С_mxp,каждый эл-т которой равен сумме произведений эл-в i-строки на соотв.эл. j – столбца. Перемножать можно только такие м-цы,когда число столбцов 1-ой м-цы равно числу строк 2-й м-цы. Произведение м-ц не коммуникативно. 2х3 3х7 не = 3х7 2х3,т.к. 7 не = 2.

Возвед.квадр.м-цы в степень. (только квадр.) А^m = А_* А_*..А. m раз

2. Определители 2, 3 и n -го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

Опред.1-го порядка (м-цы 1-го порядка) наз-ся эл-т этой м-цы а₁₁. Е=(1),|E| = detE=1

A=(0),|A|=0.

Опред.2пор.наз-ся ч-ло,кот.считается след.образом |A|=a_11*a₂₂ – a_12*a_21.

Опред.3пор.наз-ся ч-ло,кот.наход.по ф-ле (когда вычёркивают по пересечению..)

Теор.Лапласа(о разлож.опред.) Опред.квадр.м-цы равен сумме произведений эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца на их алгебраич.дополнения.

_^3 = a_11*A₁₁ + a_12*A₁₂ + a_13*A₁₃ (_^3 = a_{11 *}M₁₁ – a_{12 *}M₁₂ + a_{13 *}M₁₃)

Замечание:Для _^-ной м-цы (то есть такой,в кот.под эл-ми гл.диагонали-нули)опред-ль равен произвед.диагонал.эл-тов(эл-тов гл.диаг.)

Св-ва опред-й: 1) При трансп.опред-ль м-цы не меняется.

2) Если в м-це есть нулевая строка или нулевой столбец,то опред-ль такой м-цы =0.

3) Если в м-це поменять местами 2 ст-ки или ст-ца с сохр-м порядка след.эл-тов,то опред-ль поменяет знак на противопол.

4) Если в м-це есть 2 одинак.строки или столбца,то опред-ль такой м-цы =0.

5) Общ.множ-ль эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца можно вынести за зн.опред-ля.

6) Если к эл-там какой-либо стр.или ст-ца прибавить эл-т др.ст-ки или ст-ца,умноженные на любое число,то опред-ль не изм.