Показатели биржевой и внебиржевой торговли опционами

Показатели	Биржа	Внебиржевой рынок
1. Типы опционов	На покупку, на продажу, комбинации	На покупку, на продажу, комбинации, дополнительные условия
2. Цена «страйк»	Должна оканчиваться на 0, 2,5 или 5 (в дол.). Цена новых серий вводится по специальным правилам	Любая по договоренности сторон
3. Срок жизни	3, 6, 9 месяцев	Любой в пределах 9 месяцев по договоренности сторон
4. Начало действия	Начало месяца	Любая дата
5. Продление	Не допускается	Допускается с согласия подписчика
6. Ограничения на куплю-продажу опционов с данными базовыми акциями одним лицом	Устанавливаются администрацией биржи (обычно 1000 опционных контрактов на один вид сделок)	Отсутствуют
7. Торговая единица	1000, реже 100 акций	Любая, однако на практике чаще всего применяется 100 акций
3. Акции, допускаемые к опционам	Подлежат специальному отбору (в США их количество на начало 90-х годов составляло немногим более 200)	Любые
9. Вторичный рынок (перепродажа)	Очень активен	Весьма ограничен; соответствующие предложения делаются через специальные газетные объявления
10. Гарант выполнения контракта	Клиринговая корпорация (центр), функционально связанная с биржей	Брокерская фирма-индоссант
11. Информация о текущих ценах	Представляется в дневных отчетах о биржевых сделках	Публикуется в печати в виде индикативных цен
15. Плата за брокерские услуги по сделкам	Умеренная	Высокая
16. Налогообложение доходов по сделкам	Осуществляется по общим правилам

 

Завершая освещение в основном зарубежного опыта торговли опционами, необходимо отметить, что рынок опционов в России находится в стадии развития, торги ведутся но акциям всего лишь 10-15 эмитентов (1998 г.). Основными препятствиями на его пути являются:

· несовершенство законодательной базы. В законе РФ «О рынке ценных бумаг» отсутствует упоминание об опционах;

· отсутствие квалифицированных кадров, способных работать на рынке опционов;

· отсутствие залогового обеспечения;

· несовершенство налогового законодательства, в соответствии с которым налоги от торговли опционами значительно превышают доходы.

Между тем торговля опционами представляет огромный интерес для зарубежных и отечественных трейдеров. Не случайно ряд зарубежных компаний заинтересованы в оказании консультационной помощи с тем, чтобы создать технологически отлаженный и юридически зафиксированный механизм опционной торговли.

Опционы «колл» и «пут»

 

Как уже отмечалось ранее, опционом называется стандартный контракт, в соответствии с которым одно лицо предоставляет другому лицу право купить определенный актив по определенной цене в рамках определенного периода времени или право продать определенный актив по определенной цене в рамках определенного периода времени. Соответственно лицо, которое получило опцион и таким образом реализовало свое право, называется покупателем опциона или его держателем. Лицо, которое продало опцион и таким образом реализовало свое право, называют продавцом или подписчиком.

В мировой практике существует большое количество разнообразных контрактов, имеющих черты опционов: индексные, валютные, фондовые и фьючерсные. Однако только но отношению к определенным инструментам (акциям, облигациям, индексам) используются термины «опционы», что дословно переводится как «выбор».

Таким образом, существует два вида опционов: опцион на покупку, или, если пользоваться англоязычной терминологией, опцион «колл» (call option), который дает его держателю право купить актив; опцион на продажу, или опцион «пут» (put option). В дореволюционной России на биржевом языке такие контракты назывались соответственно «с премией на прием», или «с предварительной премией», и «с премией на сдачу», или «с обратной премией». В дальнейшем при изложении материала мы будем оперировать понятиями опциона «колл» и «пут».

С точки зрения сроков исполнения, как уже отмечалось, опционы подразделяются на два типа: американские и европейские. Американский опцион может быть исполнен в любой день до срока истечения контракта или в этот день. Европейский — только в день истечения срока контракта. Большая часть контрактов, заключаемых в мировой практике, относятся к американским опционам. При этом названия опционов не имеют отношения к географическому месту совершения сделок.

Опционы разделяются па классы и серии. Классом принято называть совокупность всех опционов, в основе которых лежат одни и те же базовые акции. При этом опционы на покупку и опционы на продажу образуют отдельные классы, определяемые: компанией, акции которой участвуют в сделке; ценой исполнения или ценой «страйк»; датой истечения (expiration date).

Серия представляет собой множество опционов из данного класса с одинаковыми ценами «страйк» и сроками исполнения. Формально серия может состоять из одного опциона. Однако, как правило, число предлагаемых опционов превышает спрос, поэтому при каждой покупке администрация биржи путем жребия решает, на счет какого именно поставщика отнести очередную продажу. Причем при постоянстве классов серии могут меняться, т.е. их количество может либо уменьшаться, либо увеличиваться.

Новые серии выпускаются обычно первого числа каждого месяца, а срок их может истекать в зависимости от условий контракта через 3,6 и 9 месяцев, в последний день месяца, за которым следует еще два календарных торговых дня. В ряде случаев для активно продаваемых акций могут вводиться опционы сроком действия только в один или два месяца.

Несмотря на стандартные в биржевой торговле сроки опционов, покупатели последних в силу их перепродажи стремятся к приобретению опционов с более коротким чем 3 месяца остающимся сроком исполнения. В действительности можно купить любой новый опцион на смену истекшему девятимесячному и тем самым продлить условия контракта.

Функцию цены контракта выполняет премия, которую покупатель опциона уплачивает его продавцу за свое право выбора: исполнить опцион, если это ему выгодно, или отказаться от его исполнения, если это принесет покупателю убыток.

На протяжении всего срока исполнения опциона в рыночном статусе базового актива могут происходить различные изменения.

Например, став владельцем опциона, физическое или юридическое лицо приобретает право на дивиденды по базовым акциям. Такая возможность служит дополнительным фактором привлечения покупателей опционов.

Выплата дивидендов по опционам в отличие от денежных выплат акционерам осуществляется не в денежной форме, а в виде дополнительных акций.

Если же объявляется дополнительный выпуск базовых акций, т.е. дополнительная эмиссия, то размер партии акций, указанный в контракте, пропорционально увеличивается, а цена опциона уменьшается.

При дроблении акций, означающем замену корпорацией своих акций на большое их число с меньшим номиналом и выплате дивидендов акциями, не происходит пропорционального изменения цены опциона.

Иногда компания-эмитент объявляет о продаже дополнительных акций старым акционерам. Последние в свою очередь могут перепродавать свои права. Выпуск «рае влечет за собой снижение курса уже действующих акций. Теоретический курс рассчитывается по формуле:

 

 

где X — число льготных акций, которые можно приобрести, имея одну старую акцию; У — цена льготных акций; С — цена старых акций.

Пример. Курс старых акций составлял 100 дол. Компания объявила дополнительный выпуск с правом на покупку 1 новой акции по цене 50 дол. И соотношения — одна новая на одну старую. Согласно формуле (10.1) теоретический курс составит (50 + 100)/2 = 75 дол.

Соответственно этому новому курсу устанавливается новый размер контракта, который рассчитывается по формуле

 

 

В нашем примере новый размер контракта будет равен 133 акциям (100/75 ∙ 100).

Как было сказано ранее, контракты на опционы могут заключаться как на свободном рынке (вне биржи), так и на бирже. При этом биржевая торговля обычно оперирует партиями в 1000 акций, но возможна также и торговля меньшими партиями, например 100.

Акции, по которым разрешается заключение биржевых опционов, как правило являются наиболее ликвидными.

Биржевые опционы могут включать в себя продажу определенного количества одинаковых партий (по 100 акций), из которых лишь часть будет приобретена.

Необходимо особо подчеркнуть, что внутри опционов на покупку и продажу акций «колл» и «пут» существуют три вида различных опционов, каждый из которых имеет присущие ему особенности. К ним следует отнести:

· внутренние опционы;

· рыночные опционы;

· внешние опционы.

Внутренние опционы имеют цену исполнения ниже действующей рыночной цены базовых акций для опциона «колл» и выше рыночной цены для опциона «пут». Это означает, что покупатель такого опциона может немедленно воспользоваться своим правом и получить чистый доход. Однако если учесть, что каждый участник торговли опционами заинтересован в выгодных сделках, то, как правило, премия по внутренним опционам всегда перекрывает указанную разницу цен.

Пример. Опцион «колл» сценой исполнения 210 дол. за акцию при рыночной цене акций 240 дол. в зависимости от спроса и предложения, а также возможного роста акций в ближайшие 6 месяцев может иметь премию 35,40,60 дол.

В отношении таких опционов действует понятие внутренняя цена. Она равна разнице между рыночной ценой и ценой исполнения.

В нашем примере она составляет 30 дол. (240-210 дол.). Внутренняя цена может быть самой разной и ее соотношения не регулируются какими-либо правилами.

Рыночные опционы имеют цену исполнения, равную или очень близкую к курсу базовых акций на момент продажи опциона.

Пример. Опцион «пут» по цене исполнения 210 дол. с премией 17 дол. при рыночной цене 215 дол. или опцион «колл» по цене «страйк» 250 дол. с премией 14 дол. при рыночной цене 246 дол.

Внешние опционы характеризуются тем, что их цены исполнения значительно выше курса базовых акций при опционе «колл» и значительно ниже для опциона «пут».

Пример. Опцион «колл» с ценой исполнения 290 дол. с премией 8 дол. при рыночной цене 260 дол.

Нетрудно заметить, что премия в каждом из указанных опционов изменялась в меньшую сторону: от самой большой во внутреннем опционе до наименьшей — во внешнем. И это не случайно, поскольку каждый из приведенных видов опционов отражает зависимость между ценой контракта и риском. Так, например, большая цена и малый риск относятся к внутренним опционам; средние значения платы и риска в большей части выражают рыночные опционы; малая плата и большой риск относится к внешним опционам.

Опционные премии иногда оказываются чаще всего заниженными. Особенно это обстоятельство касается внутренних опционов «колл». Практически все, занимающиеся профессиональной деятельностью на рынке опционов, совершают покупку заниженных опционов в постоянном базисе.

Премия или цена опциона при прочих равных условиях увеличивается с удлинением срока существования опциона. Соответственно, по мере уменьшения сроков жизни опционов цены на них снижаются. Характер этой зависимости обусловлен многими факторами: надежностью эмитентов акций, облигаций и прочих ценных бумаг; целями инвесторов; возможностями альтернативных вариантов вложения средств; ситуацией на рынке. Поскольку не всегда представляется возможным достаточно точно для практических целей оценить влияние каждого из указанных факторов, те или иные опционы оказываются недооцененными.

Нужно указать также на то, что небольшие изменения курсов акций чаще всего никак не сказываются на премиях. В то же время существенное изменение курса базовых акций в одном из направлений, т.е. в уменьшении или в увеличении, влечет за собой изменение размера премии.

Пример. Если рыночный опцион «колл» на акции компании при цене «страйк» 210 дол. и курсе 200 дол. продавался с премией на одну акцию 10 дол. и курс начал расти, то, соответственно, и премия начнет также увеличиваться. Причем если этот процесс будет устойчивым и продолжаться в течение трех-четырех недель, то рыночная цена акций превзойдет цену «страйк». Рыночный же опцион при этом превратится во внутренний.

Как показывает биржевая практика торговли опционами, нередки случаи, когда и внешние опционы «колл» при длительном росте цен базовых акций, проходя стадию рыночных опционов, превращаются во внутренние опционы. Аналогично указанному происходит и с опционами «пут» при снижении цен. Понятно, что до тех пор пока опцион не продан, подписчик вправе снять свою заявку с тем, чтобы избежать серьезной потери средств или изменения планов. В этой связи более привлекательным является внебиржевой рынок, где продавцы опционов в ответ на новую создавшуюся ситуацию могут изменить практически полностью свои предложения.

При покупке и продаже опционов «колл» или «пут» существуют такие понятия как покрытая или непокрытая продажа. Под покрытым, к примеру опционом «колл» понимается ситуация, когда продавец опциона владеет базисными акциями, указанными в контракте.

Если же выписывается непокрытый опцион «колл», то это означает, что продавец опциона не располагает базисными акциями, указанными в контракте. Не следует думать, что непокрытые продажи представляют собой нечто противозаконное и несоответствующее определенной биржевой морали.

Покрытая или непокрытая продажа опционов определяет соответствующие действия брокерских фирм. Так, например, если продавец опциона «пут» или «колл» имеет денежные средства (или другие ценные бумаги) в размере цены исполнения опциона, то внесения маржи не требуется. Напротив, ему перечисляется премия, уплаченная покупателем опциона. Если же срок опциона «колл» истек или продавец закрывает свою позицию покупкой, то продавцу возвращаются его акции. При этом вместо продажи самих акций инвестор может продать внутренний опцион «колл», т.е. отдать разницу между рыночной ценой и ценой исполнения. Если же подписчик не выполнит своих обязательств, то брокерская фирма вправе присвоить себе залог (маржу) подписчика. Размер залога зависит напрямую от курса базовых акций, и в процессе их роста подписчик должен дополнительно вносить соответствующие суммы, так как вместе с ценами растет объем принятых им обязательств.

Как показывает зарубежный опыт, продажа непокрытых опционов «колл» допустима и доходна для крупных дилерских фирм, имеющих наряду с высококвалифицированными специалистами еще и финансовые ресурсы.

Покупка опциона «пут», т.е. приобретение права по цене исполнения, также тесно связана с возможностями покрытия покупателем опциона.

Покрытый покупатель — это, по сути, инвестор, имеющий базовые акции, которые он, согласно контракту, может продать. При этом он может воспользоваться любым из трех опционных видов (внутренним, рыночным, внешним) в зависимости от того, какое именно снижение полагает наиболее реальным и какими именно средствами он располагает для выплаты премии.

Покупка опциона «пут» без покрытия направлена исключительно на то, чтобы заработать на разнице цен покупки и продажи. При этом размер маржи и премии по сравнению с опционами «колл» несколько ниже.

Продажей покрытых опционов «колл» чаще всего занимаются инвесторы, предполагающие, что покупатели опциона не смогут реализовать свое право, а также за счет премии, если курс понизится.

Продажа опционов «колл» без покрытия предполагает высокую профессиональную подготовку инвестора, поскольку при этом потери при неудачных сделках оказываются гораздо выше прибылей при их успешном окончании.

Резкое повышение цен базовых акций угрожает непокрытому подписчику большими потерями, которые нельзя заранее предугадать.

При всех прочих условиях для приобретения опционов «колл» или «пут» существуют определенные правила, выполнение которых позволяет инвесторам избежать потери денежных средств, вложенных в опционную торговлю. К этим правилам относятся следующие.

· Если рынок является стабильным, т.е. отсутствуют явно выраженные тенденции снижения или повышения цен на базовые акции, не следует соблазняться низкими ценами на опционы «пут» или «колл» и покупать их.

· Если курс акций совпал с вашими расчетами, то не следует дожидаться лучшей позиции, поскольку можно в конечном итоге проиграть.

· Нельзя подписывать контракты даже на самые привлекательные внешние опционы, если на рынке появились тенденции к повышению или понижению курса.

· Всегда следует быть готовым выкупить опцион (или заключить противоположную внебиржевую сделку), если ситуация на рынке стала угрожающей для вас. При этом непокрытый подписчик опциона «колл» никогда не должен ждать улучшения рыночной ситуации. Он должен сразу же идти на сравнительно небольшие убытки и выходить из игры.

Наряду с указанными правилами существуют залоговые требования, которые устанавливаются на фондовых биржах ряда стран в целях защиты от действий продавца. Система, получившая название «маржа», является неотъемлемой частью всякого кредита. В США, например, используется следующая методика расчета маржи.

Если выписывается покрытый опцион «колл», т.е. продавец владеет базисными акциями, он не вносит денежный залог. Более того, ему перечисляется премия, уплачиваемая покупателем. При этом акции продавца хранятся у посреднической брокерской фирмы. Тем самым достигается гарантия того, что если покупатель решит исполнить опцион, то требуемые акции будут ему поставлены.

Если выписывается непокрытый опцион «коли», т.е. продавец опциона не располагает базисными акциями, то расчет маржи включает в себя выбор одного из двух вариантов гарантированного взноса по максимуму полученного результата. Расчет выполняется по схеме: премия опциона плюс 20% (I вариант) или 10% (II вариант) рыночной стоимости базисных акций, минус разница между ценой исполнения и рыночным курсом акций только в случае первого варианта расчета при условии, что цена исполнения больше, чем рыночный курс акции.

Пример. Допустим, что выписывается опцион «колл» на 100 акций с премией по 5 дол. за акцию с ценой исполнения 80 дол. и рыночным курсом акции 75 дол.

Тогда согласно первому варианту расчета получим:

Как показали результаты расчетов, маржа в первом варианте больше, чем во втором. Следовательно, продавец должен передать своему брокеру 1500 дол. Поскольку для этой цели может быть использована премия, равная 500 дол., то продавцу следует внести лишь 1000 дол. (1500 дол. - 500 дол.).

Сумма маржи, требуемая для продавца непокрытого опциона «пут», рассчитывается точно так же, как для непокрытого опциона «кол».

Пример. Допустим, что выписывается опцион «колл» на 100 акций с премией 6 дол. за акцию с ценой исполнения 60 дол. и рыночным курсом акции 53 дол.

Тогда согласно первому варианту расчета получим:

 

 

Так как второй вариант расчета дает большую величину, то для гарантийного взноса он и используется. Это значит, что продавец должен передать своему брокеру 1200 дол. При условии, что для этой цели можно использовать премию, продавцу следует внести 600 дол. (1200 дол. - 600 дол.).

В биржевой торговле опционами могут встречаться более сложные случаи, когда клиринговые службы, осуществляя взаимозачеты между покупателями и продавцами, могут уменьшить маржу. При этом в каждом конкретном случае размер сокращения (редукции) маржи устанавливается и уточняется правилами биржи.

Инвестор, внесший маржу, не получает никаких процентных начислений и выплат, в то время как дивиденды, которые выпадают на акции в момент их пребывания в качестве залога, возвращаются инвестору.

В любом случае маржа, временно находясь в распоряжении брокерской фирмы, остается собственностью клиента. При этом фирма может объединить маржу клиентов и внести ее в один из банков. Денежная сумма затем служит дополнительным источником получения дохода.

В качестве залога могут быть использованы:

· деньги в любой твердой валюте;

· депозитные сертификаты;

· акции, по которым осуществляется опционная сделка;

· отдельные ценные бумаги, допускаемые в качестве залога правилами биржи.

Наряду с маржей, учитываемой в сделках с опционами, инвестору необходимо при исполнении контракта уплатить комиссионные и налоги. Размер комиссионных (комиссии) устанавливается брокерскими фирмами и зависит от величины сделки и ценности базовых акций.

Таким образом, основные преимущества опционов состоят в высокой их рентабельности и минимальном риске, достигаемом за счет оптимального выбора стратегии купли и продажи контрактов. Причем в отличие от обычной, традиционной торговли ценными бумагами опционные сделки по способам и приемам биржевой игры значительно богаче. И как следует из сказанного, каждый участник опционной торговли, занимая определенную позицию, в худшем случае может выиграть ровно столько, сколько сможет и проиграть.

Завершая рассмотрение опционов «колл» и «пут», необходимо особо подчеркнуть, что многие инструменты фондового рынка имеют черты опционов на акции и особенно опционов «колл». К примеру, варрант на акцию может быть и варрант на облигацию, который но своей сути является опционом «колл», выписанным эмитентом на свои акции, которые может купить владелец варранта. Отличием варрантов от опционов «колл» является их более длительный срок исполнения, составляющий порой 5 и более лет. Однако обычно варранты могут и исполняются до даты истечения контракта, как американские опционы.

Цена исполнения, или цена «страйк», может быть как фиксированной, так и переменной в течение срока действия контракта. Как правило, начальная цена исполнения в момент выпуска варранта устанавливается выше рыночной цены базисного актива. Один варрант дает право держателю купить одну акцию по соответствующей цене исполнения. Цену варранта акций можно определить по формуле:

 

 

где Р_в — цена варранта; Е_а — цена исполнения; К — коэффициент, характеризующий увеличение количества акций в случае исполнения варранта; N — число единиц актива, дающее право приобрести варрант.

Оценка стоимости опционов

 

Стоимость опциона непосредственно связана со стоимостью базисного актива акций. Эта связь становится наиболее очевидной непосредственно в период истечения опциона. Для выявления этой связи воспользуемся такими понятиями, как внутренняя и временная стоимость опциона. Под внутренней стоимостью опциона, как уже упоминалось, понимается разница между рыночной ценой актива и ценой исполнения, или ценой «страйк». Если цена исполнения больше или равна рыночной цене актива, то внутренняя стоимость опциона равна нулю, т.е. чистый выигрыш не является для покупателя опциона привлекательным. Указанную зависимость можно записать в виде:

 

Временная стоимость опциона при одном и том же сроке исполнения может существенно отличаться: по мере завершения опциона уменьшаться, в начальный момент времени может быть максимальной. Для покупателя опциона, занявшего длинную позицию, каждый день действия опциона сокращает возможность с выгодой для себя его реализовать. Продавцу же ситуация удешевления опциона весьма выгодна, поскольку он, продав его первоначально за одну цену, с приближением срока действия опциона может выгодно его выкупить. Разница между ценой продажи и покупки является прибылью продавца.

 

Пример. Текущий курс акции равен 10 дол. Цена исполнения 9,8 дол. Премия за опцион «колл» была уплачена 0,5 дол. за акцию.

Внутренняя стоимость одной акции по формуле 10.4 составит:

10 дол. - 9,8 дол. = 0,2 дол.

Тогда временная стоимость согласно формуле 10.5 будет равна:

0,5 дол. - 0,2 дол. = 0,3 дол.

В ряде случаев опцион «колл» называют опционом без выигрыша (at the money), поскольку цена рыночного базисного актива примерно равна цене исполнения опциона «колл». Если цена актива ниже цены исполнения, то такой опцион исполнения называют опцион с проигрышем (out of the money). Существует и такое понятие как опцион с выигрышем (in the money). В этом случае рыночная цена опциона выше цены исполнения.

Опционы «колл» и «пут» не могут быть меньше их внутренней стоимости. Однако они могут продаваться по более высокой цене, чем их внутренняя стоимость, с учетом наличия временной стоимости. Используемая при этом цена актива, лежащего в основе опциона в случае его роста, влечет за собой повышение риска, а следовательно, и увеличение премии, выплачиваемой продавцу. Уменьшение же цены актива сказывается на понижении риска и, соответственно, на сокращении премии, выплачиваемой продавцу. Поэтому до недавнего времени для прогнозирования размера колебаний цены актива и премии использовалась экстраполяция, т.е. «перенос» прошлых значений актива, премий на будущее с некоторыми поправками.

Если возникает необходимость узнать, чему равна внутренняя (действительная) стоимость опциона в момент времени 0, то для оценки стоимости опциона «колл» или «пут» может быть использована «биноминальная» модель (ВОРМ) оценки стоимости американского опциона, состоящего из акций, по которым не выплачиваются дивиденды, и акций с дивидендами.

Биноминальная модель основывается на концепции формирования инвестиционного портфеля без риска (более подробно рассмотрено в главе 12). Поэтому для дисконтирования используется процент, равный ставке без риска для инвестиций, соответствующих времени действия опционного контракта. Для этого весь период действия опционного контракта разбивается на ряд интервалов времени t, в течение каждого из которых курс акций может «пойти» вверх с вероятностью р или вниз с вероятностью 1- р (см. рис. 10.1). В конце периода акция соответственно стоит Р_и или Р_d, где и - процент прироста курсовой стоимости акций, поэтому u > 1, a d - процент падения курсовой стоимости, т.е. d < 1.

 

 

Анализируя динамику курса акций без дивидендов на каждом временном периоде, можно построить дерево распределения цены акции для всего периода действия опционного контракта (рис. 10.2). Если известна начальная цена акции, равная Р_а, то за первый период t _lее курс может составить Р_и или P_d. За второй период t ₂соответственно или Р_и ²или Р_d ²и т. д.

 

 

Поскольку период действия опционного контракта рассчитан, как правило, на большое число интервалов времени, то делается допущение, что прирост курсовой стоимости и равен 1, деленной на процент падения курсовой стоимости, т.е. и = 1 /d.

К моменту истечения срока действия контракта цена опциона может принимать два значения, а именно, О или Р-Е для опциона «колл» и О или E-P для опциона «пут», где Е — цена исполнения опциона; Р — курс акции. Для того чтобы рассчитать стоимость опциона в начале периода Т, необходимо определить стоимость опциона для начала каждого периода t, т.е. в каждой точке пересечения ветвей дерева. Эту задачу решают последовательным дисконтированием.

Если известна стоимость опциона в конце периода Т, то для получения его стоимости в начальном периоде выполняется дисконтирование.

В условиях отсутствия риска ожидаемый доход от акции на период t должен составить Се^rt, где r — непрерывно начисляемая с помощью сложных процентов ставка без риска. С учетом значения математического ожидания ожидаемый доход будет равен:

 

 

или

 

 

Из формулы (10.7) найдем:

 

 

Прирост или падение курсовой стоимости акции, как отмечалось ранее, зависит от фактора времени, в течение которого могут наблюдаться изменения курса ценной бумаги и ее стандартного отклонения. Отсюда вытекают следующие зависимости:

 

где и и d — соответственно «верхнее» и нижнее положение курсовой стоимости акции.

Таким образом, формулы (10.8) позволяет оценить вероятность повышения или понижения курса акций.

Пример. Пусть курс акций в начале периода равен 40 дол., стандартное отклонение цены акции — 35%, непрерывно начисляемая ставка без риска 10%. Определить вероятность повышения и понижения курса акций через месяц.

Используя указанные формулы (10.8 и 10.9) расчета, получим:

 

Следовательно, вероятность повышения курса акции через один месяц составляет 0,5163, а вероятность его понижения — 0,4837.

Зная значения и и d, можно рассчитать курсовую стоимость акции для любого периода времени, т.е. для каждой точки пересечения ветвей дерева, к примеру указанного на рис. 10.2.

Если же рассматривается биноминальная модель для акций, по которым выплачиваются дивиденды, что в основном сказывается на размере премии, то курс акций на дату учета снижается на величину выплачиваемого дивиденда. Соответственно, дерево распределения цены акции принимает с учетом допущения вид, аналогичный указанному выше. При этом чистая цена акции уменьшается на величину приведенной (дисконтированной) стоимости дивиденда, имеющего место в течение срока исполнения опциона.

Американскими профессорами Фишером Блэком и Майроном Шоулзом в 1973 г. была опубликована статья, в которой авторы предлагали расчет стоимости (теоретической премии) опциона «колл» при большом числе возможных стоимостей актива (больше чем два), часть из которых может быть ниже цены исполнения опциона.

Получившая в честь своих авторов название формула Блэка-Шоулза имеет следующий вид:

 

где

 

 

где V _с — текущая цена опциона «колл»; Р_а — текущая рыночная цена базисного актива; Е — цена исполнения опциона; R — непрерывно начисляемая ставка без риска в расчете на год; Т — время до истечения, представленное в долях в расчете на год; σ — риск базисной обыкновенной акции, измеренный стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент в расчет на год; Е/е^Rt — дисконтированная стоимость цены исполнения на базе непрерывно начисляемого процента; N(d ₁ ) и N(d ₂ ) — вероятности того, что при нормальном распределении со средней величиной, равной 0, и стандартным отклонением, равным 1, результат будет соответственно меньше d ₁и d ₂.

Данная формула (10.10) до недавнего времени имела ограниченное применение, поскольку в США опционы являются американскими, т.е. могут исполняться в любой момент времени до даты истечения, тогда как модель Блэка-Шоулза применима для европейских опционов. Вместе с тем это ограничение легко снимается, поскольку инвестору, купившему американский опцион, нет смысла исполнять его раньше даты истечения из-за отсутствия дивидендов на акции.

Опцион, который продается по гораздо более низкой цене, чем полученной по формуле Блэка-Шоулза, является кандидатом на покупку. Опцион, который продается по более высокой цене, — кандидат на продажу.

Формула Блэка-Шоулза, как показано выше, применима только к опционам на акции, по которым не выплачиваются дивиденды в течение срока действия опциона. Однако по большинству обыкновенных акций, на которые выписываются опционы, дивиденды, как правило, уже выплачены. Вместе с тем, чтобы обойти этот недостаток применения указанной формулы расчета стоимости опциона, в нее должны быть внесены некоторые изменения, связанные с ценой исполнения опциона.

Пример. Рассмотрим опцион «колл», который истекает через три месяца (Т = 0,25) и имеет цену исполнения 40 дол. (Е = 40 дол.), текущий курс 36 дол. (V _с = 36 дол.), риск базисной обыкновенной акции 50% (σ = 0,5), a ставка без риска равна 5% (R = 0,05).

С помощью уравнений (10.11) и (10.12) получим следующие значения d ₁, и d ₂:

 

 

По специальной таблице находим величины N(d ₁ ) и N (d ₂)

 

Используя уравнение (10.10), получим действительную стоимость опциона «колл»:

 

 

Если учесть то, что в настоящее время опцион продается за 5 дол. и в ближайшее время цена его, по-видимому, упадет, то продавец получит премию 5 дол. и сможет также рассчитывать на закрывающую позицию покупки по более низкой цене, что принесет вред доходу от разницы цен. До тех пор пока цена акции не превысит 40 дол., покупатель опциона «колл» не будет его исполнять, а следовательно, ему нет смысла платить высокую премию за опцион.

Действительная стоимость опциона «колл» зависит от пяти переменных, к которым следует отнести:

· рыночную стоимость обыкновенной акции (Р_а);

· цену исполнения опциона (E);

· продолжительность времени до даты истечения (T);

· ставку без риска (R);

· риск обыкновенной акции (σ).

Каждая из указанных переменных оказывает разное влияние на действительную цену опциона «колл». Так, чем выше цена базисной акции, тем больше стоимость опциона «пут». При высокой цене исполнения — меньше стоимость опциона «колл». Чем больше времени остается до даты истечения опциона «колл», тем больше его стоимость. Высокая ставка без риска обыкновенной акции а определяет повышенную стоимость опциона «колл». Высокий риск обыкновенной акции соответствует большей стоимости опциона «колл».

Из указанных пяти переменных влияние первых трех (Р_a, Е_u, Т) определить сравнительно легко. Для оценки ставки без риска и риска обыкновенной акции используются другие методы. Так, например, для определения ставки без риска производится сравнение анализируемого опциона «колл» с доходностью к погашению векселя, дата которого близка к дате истечения опциона.

Для нахождения риска обыкновенной акции, как правило, используется множество методов: сравнения, аналогий, экстраполяции, экспертные, моделирования. Каждый из указанных методов позволяет получить оценку s, которая затем анализируется с точки зрения достоверности и надежности на других прошлых опционах «колл». Полученное значение s не является само по себе точным, поскольку всегда были и будут существовать факторы, определяющие вероятность наступления какого-то события, влияющего на курс ценных бумаг.

Анализ действительной стоимости опциона «пут» показывает, что он зависит от тех же пяти переменных, которые формируют опцион «колл». При этом стоимость опциона «пут» зависит от них следующим образом:

· чем выше цена базисной акции Р_a, тем меньше стоимость опциона «пут»;

· чем больше цена исполнения Е, тем боль