III. Решение логических задач с помощью рассуждений

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Пример 6. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения:

1. Вадим изучает китайский;
2. Сергей не изучает китайский;
3. Михаил не изучает арабский.

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Пример 7. В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:

Дима сказал: "Моя фамилия — Мишин, а фамилия Бориса — Хохлов". Антон сказал: "Мишин — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Белкин". Борис сказал: "Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Мишин". Вадим сказал: "Моя фамилия — Белкин, а фамилия Гриши — Чехов". Гриша сказал: "Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов".

Какую фамилию носит каждый из друзей?

Решение. Обозначим высказывательную форму "юноша по имени А носит фамилию Б" как А_Б, где буквы А и Б соответствуют начальным буквам имени и фамилии.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

1. Д_М и Б_Х;
2. А_М и В_Б;
3. В_Т и Б_М;
4. В_Б и Г_Ч;
5. Г_Ч и А_Т.

Допустим сначала, что истинно Д_М. Но, если истинно Д_М, то у Антона и у Бориса должны быть другие фамилии, значит А_М и Б_М ложно. Но если А_М и Б_М ложны, то должны быть истинны В_Б и В_Т, но В_Б и В_Т одновременно истинными быть не могут.

Значит остается другой случай: истинно Б_Х. Этот случай приводит к цепочке умозаключений:

Б_Х истинно Б_М ложно В_Т истинно А_Т ложно Г_Ч истинно В_Б ложно А_М истинно.

Ответ: Борис — Хохлов, Вадим — Тихонов, Гриша — Чехов, Антон — Мишин, Дима — Белкин.

Пример 8. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят?", министры дали такие ответы:

Россия — "Проект не наш, проект не США";
США — "Проект не России, проект Китая";
Китай — "Проект не наш, проект России".

Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз — неправду.

Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры.

Решение. Для удобства записи пронумеруем высказывания дипломатов:

Россия — "Проект не наш" (1), "Проект не США" (2);
США — "Проект не России" (3), "Проект Китая" (4);
Китай — "Проект не наш" (5), "Проект России" (6).

Узнаем, кто из министров самый откровенный.

Если это российский министр, то из справедливости (1) и (2) следует, что победил китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже справедливы, чего не может быть по условию.

Если самый откровенный — министр США, то тогда вновь получаем, что победил китайский проект, значит оба утверждения российского министра тоже верны, чего не может быть по условию.

Получается, что наиболее откровенным был китайский министр. Действительно, из того, что (5) и (6) справедливы, cледует, что победил российский проект. А тогда получается, что из двух утверждений российского министра первое ложно, а второе верно. Оба же утверждения министра США неверны.

Ответ: Откровеннее был китайский министр, осторожнее — российский, скрытнее — министр США.

Упражнения

5.1. Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие — нет (объясните почему):

• а) " Солнце есть спутник Земли ";
• б) " 2+3? 4 ";
• в) " сегодня отличная погода ";
• г) " в романе Л.Н. Толстого "Война и мир" 3 432 536 слов ";
• д) " Санкт-Петербург расположен на Неве ";
• е) " музыка Баха слишком сложна ";
• ж) " первая космическая скорость равна 7.8 км/сек ";
• з) " железо — металл ";
• и) " если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным ";
• к) " если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный ".

[ Ответ ]

5.2. Укажите, какие из высказываний предыдущего упражнения истинны, какие — ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или невозможно установить.
[ Ответ ]

5.3. Приведите примеры истинных и ложных высказываний:

• а) из арифметики; б) из физики;
• в) из биологии; г) из информатики;
• д) из геометрии; е) из жизни.

[ Ответ ]

5.4. Сформулируйте отрицания следующих высказываний или высказывательных форм:

• а) " Эльбрус — высочайшая горная вершина Европы ";
• б) " 2>=5 ";
• в) " 10<7 ";
• г) " все натуральные числа целые ";
• д) " через любые три точки на плоскости можно провести окружность ";
• е) " теннисист Кафельников не проиграл финальную игру ";
• ж) " мишень поражена первым выстрелом ";
• з) " это утро ясное и теплое ";
• и) " число n делится на 2 или на 3 ";
• к) " этот треугольник равнобедренный и прямоугольный ";
• л) " на контрольной работе каждый ученик писал своей ручкой ".

[ Ответ ]

5.5. Определите, какие из высказываний (высказывательных форм) в следующих парах являются отрицаниями друг друга, а какие нет:

• а) " 5<10 ", " 5>10 ";
• б) " 10>9 ", " 10<=9 ";
• в) " мишень поражена первым выстрелом ", " мишень поражена вторым выстрелом ";
• г) " машина останавливалась у каждого из двух светофоров ", " машина не останавливалась у каждого из двух светофоров ",
• д) " человечеству известны все планеты Солнечной системы ", " в Солнечной системе есть планеты, неизвестные человечеству ";
• е) " существуют белые слоны ", " все слоны серые ";
• ж) " кит — млекопитающее ", " кит — рыба ";
• з) " неверно, что точка А не лежит на прямой а ", " точка А лежит на прямой а ";
• и) " прямая а параллельна прямой b ", " прямая a перпендикулярна прямой b ";
• к) " этот треугольник равнобедренный и прямоугольный ", " этот треугольник не равнобедренный или он не прямоугольный ".

[ Ответ ]

5.6. Определите значения истинности высказываний:

• а) " наличия аттестата о среднем образовании достаточно для поступления в институт ";
• б) " наличие аттестата о среднем образовании необходимо для поступления в институт ";
• в) " если целое число делится на 6, то оно делится на 3 ";
• г) " подобие треугольников является необходимым условием их равенства ";
• д) " подобие треугольников является необходимым и достаточным условием их равенства ";
• е) " треугольники подобны только в случае их равенства ";
• ж) " треугольники равны только в случае их подобия ";
• з) " равенство треугольников является достаточным условием их подобия ";
• и) " для того, чтобы треугольники были неравны, достаточно, чтобы они были неподобны ";
• к) " для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны ".

[ Ответ ]

5.7. Подставьте в приведённые ниже высказывательные формы вместо логических переменных a, b, c, d такие высказывания, чтобы полученные таким образом составные высказывания имели смысл в повседневной жизни:

• а) если (а или (b и с)), то d;
• б) если (не а и не b), то (с или d);
• в) (а или b) тогда и только тогда, когда (с и не d).

5.8. Формализуйте следующий вывод: "Если a и b истинны, то c — истинно. Но c — ложно: значит, a или b ложны".
[ Ответ ]

5.9. Формализуйте предостережение, которое одна жительница древних Афин сделала своему сыну, собиравшемуся заняться политической деятельностью: " Если ты будешь говорить правду, то тебя возненавидят люди. Если ты будешь лгать, то тебя возненавидят боги. Но ты должен говорить правду или лгать. Значит, тебя возненавидят люди или возненавидят боги ".

Формализуйте также ответ сына: " Если я буду говорить правду, то боги будут любить меня. Если я буду лгать, то люди будут любить меня. Но я должен говорить правду или лгать. Значит, меня будут любить боги или меня будут любить люди ".
[ Ответ ]

5.10. Пусть a = " это утро ясное ", а b = " это утро теплое ". Выразите следующие формулы на обычном языке:

[ Ответ ]

5.11. Из двух данных высказываний a и b постройте составное высказывание, которое было бы:

• а) истинно тогда и только тогда, когда оба данных выказывания ложны;
• б) ложно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания истинны.

[ Ответ ]

5.12. Из трех данных высказываний a, b, c постройте составное высказывание, которое истинно, когда истинно какое-либо одно из данных высказываний, и только в этом случае.

Ответ: .

5.13. Определите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул являются тождественно истинными или тождественно ложными:

а)	д)
б)	е)
в)	ж)
г)

[ Ответ ]

5.14. Упростите следующие формулы, используя законы склеивания:

• а)
• б)
• в)
• г)
• д)
  Решение: .

[ Ответ ]

5.15. Упростите следующие формулы, используя законы поглощения:

• а)
• б)
• в)
• г)

[ Ответ ]

5.16. Постройте таблицы истинности для логических формул и упростите формулы, используя законы алгебры логики:

• а)
• б)
• в)
• г)
• д)
• е)
• ж)
• з)
• и)
• к)

[ Ответ ]

5.17. Приведите примеры переключательных схем, содержащих хотя бы два переключателя, функция проводимости которых

• а) тождественно равна единице;
• б) тождественно равна нулю.

5.18. Найдите функции проводимости следующих переключательных схем:

а)		б)
в)		г)

[ Ответ ]

5.19. Проверьте равносильность следующих переключательных схем:

• а)
• б)
• в)
• г)
• д)

[ Ответ ]

5.20. Постройте переключательные схемы с заданными функциями проводимости:

5.21. Упростите функции проводимости и постройте переключательные схемы, соответствующие упрощенным функциям:

 

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)
[ Ответ ]

5.22. Упростите следующие переключательные схемы:

• а)
• б)
• в)
• г)

[ Ответ ]

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

5.23. Три девочки — Роза, Маргарита и Анюта представили на конкурс цветоводов корзины выращенных ими роз, маргариток и анютиных глазок. Девочка, вырастившая маргаритки, обратила внимание Розы на то, что ни у одной из девочек имя не совпадает с названием любимых цветов.
Какие цветы вырастила каждая из девочек?
[ Ответ ]

5.24. Виновник ночного дорожно-транспортного происшествия скрылся с места аварии.
Первый из опрошенных свидетелей сказал работникам ГАИ, что это были "Жигули", первая цифра номера машины — единица.
Второй свидетель сказал, что машина была марки "Москвич", а номер начинался с семёрки.
Третий свидетель заявил, что машина была иностранная, номер начинался не с единицы.
При дальнейшем расследовании выяснилось, что каждый из свидетелей правильно указал либо только марку машины, либо только первую цифру номера.
Какой марки была машина и с какой цифры начинался номер?
[ Ответ ]

5.25. Пятеро одноклассников: Ирена, Тимур, Камилла, Эльдар и Залим стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии.
Известно, что:

• победитель олимпиады по информатике учит Ирену и Тимура работе на компьютере;
• Камилла и Эльдар тоже заинтересовались информатикой;
• Тимур всегда побаивался физики;
• Камилла, Тимур и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием;
• Тимур и Камилла поздравили победителя олимпиады по математике;
• Ирена cожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу.

Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?
[ Ответ ]

5.26. Ирена любит мороженое с фруктами. В кафе был выбор из таких вариантов:

• пломбир с орехами;
• пломбир с бананами;
• пломбир с черникой;
• шоколадное с черникой;
• шоколадное с клубникой.

В четырёх вариантах Ирене не нравились или тип мороженого, или наполнитель, а в одном варианте ей не нравились ни мороженое, ни наполнитель. Она попросила приготовить из имеющихся продуктов порцию по своему вкусу.
Какое же мороженое и с какими фруктами любит Ирена?
[ Ответ ]

5.27. На очередном этапе автогонок "Формула 1" первые четыре места заняли Шумахер, Алези, Хилл и Кулхардт. Опоздавший к месту награждения телерепортёр успел заснять пилотов, занявших второе и третье места, которые поливали друг друга шампанским. В это время Шумахер с четвёртым гонщиком пожимали друг другу руки. Далее в кадр попал мокрый Хилл, поздравляющий пилота, занявшего второе место. Напоследок оператор снял сцену, в которой Шумахер и Кулхардт пытались втащить на пьедестал почёта пилота, занявшего четвёртое место.
Просматривая отснятый материал, режиссёр спортивного выпуска быстро разобрался, кто из пилотов какое место занял. Он знал, что, в соответствии с церемонией награждения победителей гонок, пилоты, занявшие первые три места, поливают друг друга шампанским из огромных бутылок знаменитой фирмы — спонсора соревнований.
Какое же место занял каждый пилот?
[ Ответ ]

5.28. В некотором царстве-государстве повадился Змей Горыныч разбойничать. Послал царь четырёх богатырей погубить Змея, а награду за то обещал великую. Вернулись богатыри с победой и спрашивает их царь: "Так кто же из вас главный победитель, кому достанется царёва дочь и полцарства?"
Засмущались добры молодцы и ответы дали туманные:
Сказал Илья Муромец: "Это все Алеша Попович, царь-батюшка".
Алеша Попович возразил: "То был Микула Селянинович".
Микула Селянинович: "Не прав Алеша, не я это".
Добрыня Никитич: "И не я, батюшка".
Подвернулась тут баба Яга и говорит царю: "А прав то лишь один из богатырей, видела я всю битву своими глазами".
Кто же из богатырей победил Змея Горыныча?
[ Ответ ]

5.29. При составлении расписания на пятницу были высказаны пожелания, чтобы информатика была первым или вторым уроком, физика — первым или третьим, история — вторым или третьим.
Можно ли удовлетворить одновременно все высказанные пожелания?
[ Ответ ]

5.30. Обсуждая конструкцию нового трёхмоторного самолёта, трое конструкторов поочередно высказали следующие предположения:
1) при отказе второго двигателя надо приземляться, а при отказе третьего можно продолжать полёт;
2) при отказе первого двигателя лететь можно, или при отказе третьего двигателя лететь нельзя;
3) при отказе третьего двигателя лететь можно, но при отказе хотя бы одного из остальных надо садиться.
Лётные испытания подтвердили правоту каждого из конструкторов. Определите, при отказе какого из двигателей нельзя продолжать полёт.
[ Ответ ]

5.31. В соревнованиях по плаванию участвовали Андрей, Виктор, Саша и Дима. Их друзья высказали предположения о возможных победителях:
1) первым будет Саша, Виктор будет вторым;
2) вторым будет Саша, Дима будет третьим;
3) Андрей будет вторым, Дима будет четвёртым.
По окончании соревнований оказалось, что в каждом из предположений только одно из высказываний истинно, другое ложно.
Какое место на соревнованиях занял каждый из юношей, если все они заняли разные места.
[ Ответ ]

5.32. Для длительной международной экспедиции на околоземной космической станции надо из восьми претендентов отобрать шесть специалистов: по аэронавтике, космонавигации, биомеханике, энергетике, медицине и астрофизике. Условия полёта не позволяют совмещать работы по разным специальностям, хотя некоторые претенденты владеют двумя специальностями. Обязанности аэронавта могут выполнять Геррети и Нам; космонавигатора — Кларк и Фриш; биомеханика — Фриш и Нам; энергетика — Депардье и Леонов; врача — Депардье и Хорхес; астрофизика — Волков и Леонов.
По особенностям психологической совместимости врачи рекомендуют совместные полеты Фриша и Кларка, а также Леонова с Хорхесом и Депардье. Напротив, нежелательно, чтобы Депардье оказался в одной экспедиции с Намом, а Волков — с Кларком.
Кого следует включить в состав экспедиции?
[ Ответ ]

 

Ответы — Раздел 5. Логические основы компьютеров

5.1. Являются высказываниями: а), г), д), ж), з), и), к);
не являются высказываниями: б); в); е).

5.2. Истинные: д), з), к);
ложные: а), и);
истинность трудно установить: г);
можно рассматривать и как истинное, и как ложное в зависимости от требуемой точности представления: ж).

5.3. Образцы.
Истинные высказывания: а) “ 2+2=4 ”; б) “сила притяжения тел обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними” в) “зайцы питаются растениями”; г) “бит - фундаментальная единица информации, используемая в теории информации”; д) “два треугольника равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника”; е) “понедельник - первый день недели”.

Ложные высказывания: а) “4+3=5”; б) “тело падает на Землю с ускорением, пропорциональным своей массе”; в) “животные это неживая природа" г) “информатика - наука о термической обработке металлов”; д) “квадрат это фигура у которой пять сторон”; е) “лев - домашнее животное”.

5.4. а) “Эльбрус – не высочайшая горная вершина Европы”; б) “2<5”; в) “10>=7”; г) “не все натуральные числа целые”; д) “не через любые три точки на плоскости можно провести окружность”; е) “теннисист Кафельников проиграл финальную игру”; ж) “мишень не поражена первым выстрелом”; з) “это утро не ясное или оно не теплое” (Пояснение. Пусть А = “это утро ясное”, а B = “это утро теплое”. Тогда “это утро ясное и теплое” можно записать как А • В, отрицанием чего является , что соответствует высказывательной форме “это утро не ясное или оно не не теплое ”; и) “число n не делится на 2 и оно делится на 3”; к) “этот треугольник не равнобедренный или он не прямоугольный”; л) “не каждый ученик писал контрольную своей ручкой” (вариант: "кто-то писал контрольную не своей ручкой").

5.5. Являются отрицаниями друг друга: б), г), д), к);
не являются отрицаниями друг друга: а), в), е), ж), з), и).

5.6. Истинны: б), в), г), з), к), и);
ложны: а), д), е), ж).

5.8. .

5.9. Решение. Введем обозначения для логических высказываний: а – “ты будешь говорить правду”; b – “тебя возненавидят люди”; c – “тебя возненавидят боги”. Договоримся считать, что некоторое заданное высказывание x истинно, если нет оговорки. Тогда предостережение матери можно записать так:
. А ответ сына – так:
.

5.10.

а) “это утро ясное и тёплое”;	ж) “это утро не ясное или не тёплое”;
б) “это утро ясное и оно не тёплое”;	з) “это утро не ясное и не тёплое”;
в) “это утро не ясное и оно не тёплое”;	и) “это утро ясное или не тёплое”;
г) “это утро не ясное или оно тёплое”;	к) “если это тро ясное, то оно не тёплое”;
д) “это утро ясное или оно не тёплое”;	л) “если это утро не ясное, то оно тёплое”;
е) “это утро не ясное или оно не тёплое”;	м) “это утро ясное и не тёплое”.

5.11. а) ; б) .

5.13. Тождественно истинные: а), в), е);
тождественно ложные: г), д), ж).

5.14. а) b•c; б) a; в) c•(a v b) v a•b (Указание: повторить четвертое логическое слагаемое 3 раза); г) a v c.

5.15. а) a; б) a•b; в) a; г) a•b;

5.16. а) a v c; б) ; в) ; г) a v c; д) a•(c v b•d); е) ; ж) ; з) ; и) a•(b v c•d); к) .

5.18.

5.19. Равносильны: б), в), д);
неравносильны: а), г).
Пояснения. Обозначим функции проводимости рассматриваемых переключательных схем как F₁ и F₂, соответственно. Тогда: а) ; ;
б) ; ;
в) ; ;
д) ; .

5.21. Упрощенные функции:

5.22. Функции проводимости упрощенных схем:

5.23. Аня вырастила маргаритки, Роза – анютины глазки, Маргарита – розы.

5.24. “Жигули”, номер начинается с семерки.

5.25. Ирена – победитель олимпиады по математике, Тимур – по географии, Камилла – по физике, Эльдар – по литературе, Залим – по информатике.

5.26. Пломбир с клубникой. Пояснение. Два других возможных варианта – шоколадное с орехами и шоколадное с бананами, не подходят по условию задачи (число вариантов, в которых не нравятся и тип мороженого и наполнитель, в этих случаях равно двум вместо одного).

5.27. Шумахер пришел первым, Кулхардт – вторым, Хилл – третьим и Алези – четвертым. Пояснение. Шумахер не четвертый, так как он пожимал четвертому руку; он не второй и не третий, так как пилоты, занявшие эти места поливали друг друга шампанским в то время как он пожимал руку. Следовательно, Шумахер первый. Далее, раз Хилл мокрый, то он занял одно из призовых мест, но не первое и не второе (поздравлял пилота, занявшего второе место). Следовательно, Хилл – третий. Кулхардт занял не четвертое место, так как он втаскивал на пьедестал пилота, занявшего четвертое место. Следовательно, он второй.

5.28. Добрыня Никитич.

5.29. Есть две возможности:
а) первый урок – информатика, второй – история, третий – физика;
б) первый урок – физика, второй – информатика, третий – история.

5.30. При отказе второго двигателя нельзя продолжать полет.

5.31. Первое место занял Саша, второе – Андрей, третье – Дима, четвертое – Виктор.

5.32. В экспедицию следует включить: аэронавтом – Геррети, космонавигатором – Кларка, биомехаником – Фриша, энергетиком – Депардье, врачом – Хорхеса, астрофизиком – Леонова.