Властивості аддитивності в операціях з фінансовими ресурсами

Ресурси, виручка, витрати і можливі втрати банківської діяльності

вимірюються в грошовому виразі. Ця обставина визначає аддитивність моделей банківських операцій.

Загальний вид функціонала, що визначає ефективність виконання проекту F_j, представляється виразом:

 

 

Природно вважати об'єкти вкладення ресурсів незалежними між собою, при цьому загальна очікувана ефективність від вкладення R одиниць ресурсів в М об'єктів визначається сумою:

 

при (1)

 

При виконанні відношення (1) функція F задовольняє властивостям аддитивності і для визначення оптимального значення F може бути використаний апарат динамічного програмування, зокрема, метод функціональних рівнянь [2]. Для цього складається система функціональних рівнянь, що максимізують F:

 

(2)

 

Після побудови системи (2) при заданому значенні R в зворотному порядку визначаються оптимальні рішення:

 

……………..

………………

 

З метою економії часу на розрахунки нумерацію j слід вибирати так, щоб значення N_j із зростанням j зменшувалися (не зростали). При цьому, після рішення x_j = 0 подальші рішення (x_j+1, x_j+2… x_jм) будуть також нульовими.

Якщо при побудові системи (2) не вдається одержати результати в аналітичному вигляді, то функції x_j визначаються табуляцією.

Для вирішення прикладних задач з використанням моделей (1) -(2) необхідно визначити вид виразу (1) для функції F_j. Для цієї мети необхідно розглядати реальні схеми визначення ефективності реалізації проекту F_j із змінними x_j, N_j, t_j и φ_j(t). З цією метою розглянемо моделі А, В, С, Д, що мають прикладну інтерпретацію.

 

Схеми (моделі) визначення ефективності використовування фінансових ресурсів

Модель А. Передбачається, що ресурс x_j інвестується на виконання проекту, дохід від реалізації якого пропорційний x_j. Враховується ймовірність ризику втрати ресурсу r_j і не враховується його залежність від часу φ_j(t). Тоді:

 

 

(3)

 

Модель В. Ресурс x_j інвестується на виконання проекту, дохід пропорційний x_j і N_j. За час виконання проекту кожна одиниця ресурсу втрачається (або витрачається) з вірогідністю r_j. Проект завершується успішно, якщо до його завершення зберігається, хоча б одна одиниця ресурсу. В цьому випадку:

 

 

Модель С. Ресурс x_j інвестується на виконання проекту, дохід пропорційний Nj. Кожна одиниця ресурсу схильна до ризику втрати з вірогідністю rj. Проект виконується успішно, якщо весь ресурс за час виконання проекту зберігається в повному об'ємі. В цьому випадку:

Модель Д. Ресурс інвестується на виконання проекту. Дохід пропорційний N_j і x_j. Кожна одиниця ресурсу може бути втрачена з вірогідністю r_j. Максимізовується дохід, пропорційний N_j і частини ресурсу x_j, яка зберігається. В цьому випадку:

 

 

У всіх розглянутих моделях час виконання проекту не розглядається і вважається фіксованим.

Модель Д найбільшою мірою адекватна опису операції банківського кредитування. Найкритичнішим в моделі до часу t_j є рівень ризику r_j(t) = φ_j(t). Часовова функція φ(t) однозначно визначається часом виконання проекту, вірогідністю втрати одиниці ресурсу у встановлений період часу (наприклад, 1год) і дає можливість вводити в модель часовий параметр t.

Розглянемо використовування представлених моделей.

Модель А. Для визначення значень x_j, що максимізують F відповідно до (1), слідує додатково вводити в модель обмеження x_j ≤ R_j. При цьому може бути використаний алгоритм:

1.Формується масив значень N_j(1- φ_j) і сортується по убуванню;

2.Для відсортованого масиву виконується моніторинг по j і на кожному кроці моніторингу визначається r_j з співвідношення:

 

 

3. Моніторинг припиняється при виконанні умови:

 

4.Рішення має вигляд:

 

Оптимізація розподілу інвестицій (модель В)

Модель В. Найадекватніше описує ситуацію оптимального розподілу інвестиційних (кредитних) ресурсів між замовниками. Такий же розподіл використовується при розподілі виробничих, фінансових і трудових ресурсів в державному масштабі і на нижчих рівнях управління. Розподільні алгоритми цього вигляду знаходять застосування при розподілі інвестиційних ресурсів в процесах реструктуризації.

Позначимо в моделі r_j через р(р_j= r_j - ймовірність співзагублення ресурсу. Тоді модель перетвориться до вигляду:

 

(4)

 

Для вирішення задачі (4) використаємо метод функціональних рівнянь динамічного програмування і позначимо:

 

де G_j – мінімум функції, одержаної в результаті j-крокового процесу при виборі на кожному j- м кроці такого ресурсу x_j, який забезпечить мінімум функції G_j.

В даному випадку має місце система рекурентних рівнянь:

 

(5)

 

У системі рівнянь (5):

 

Після визначення послідовності функцій g_j при заданому значенні R в зворотному порядку визначаємо:

…………….

……………..

 

Визначимо послідовно вирази функцій g_j.

 

(5)

 

Звичними методами визначимо екстремальне значення х₂, для чого знаходимо:

 

 

Обчислимо другу похідну:

 

 

Знак другої похідної указує на наявність мінімуму g₂. З виразу (5) знаходимо значення х₂, що оптимізує g₂:

 

 

Аналогічним методом, дозволяючи систему (5), знаходимо:

 

Остаточно визначаємо для системи (5) рішення у вигляді:

 

В даному випадку рішення одержане в аналітичному вигляді, що значно спрощує розрахунки при використовуванні алгоритму розподілу інвестицій експертами.

 

Модель С. Привикористовуванні цієї моделі рішення x_j = 0 виглядають очевидними, тому необхідні додаткові обмеження x_j ≥ x_jmin, які і визначають рішення.

 

Динамічна модель розподілу ресурсів (модель Д)

Модель Д. Ценайбільш широко використовувана модель розподілу банківських ресурсів, оскільки в ній відображається вимога заощадження ресурсів, а дохід прямо пропорційний їх об'єму.

Розподіл банківських ресурсів відбувається при виконанні операцій в часі. При цьому набувають актуальність динамічні розподільні моделі, що враховують ризик.

Постановка такої задачі має вигляд:

 

 

де х_j - об'єм виділеного ресурсу;

N_j – питомий дохід на одиницю ресурсу (процентна ставка);

φ_j(t_j) – функція ризику втрати доходу за час t_j.

В даному випадку F_j характеризує дохід від вкладення j-го активу. Якщо розв'язується задача розподілу ресурсів між М активами, то постановка задачі прийме вигляд:

Визначити х_j, що максимізують загальний дохід F, причому

 

при

При визначенні часовового критерію ризику показано, що:

 

 

де I – дисконтна ставка в десяткових дробах;

φ(t) – щільність ймовірності зниження ефективності використовування ресурсу при вкладенні його в актив х_j.

При цьому:

 

. (6)

Визначимо першу похідну

 

. (7)

 

Рішення рівняння (7) має вигляд:

 

.

 

Рішення х⁽¹⁾ не має сенсу, тому приймаємо х⁽²⁾.

 

 

Розглянемо

 

 

і в точці екстремуму маємо максимум.

Результати розрахунку х_opt при різних значеннях t_j λ_j(P_j) приведені в табл.4.1.

 

Таблиця 4.1. Розрахунок оптимального х_j

Pj tj	0,5
0,01				33,3	19,8
0,1	18,85	9,48	4,75	3,17	1,85
0,5	2,89	1,44	0,72	0,48	0,29

 

 

У табл.4.1. час вимірюється в роках, а значення х вимірюється в одиницях, щодо яких визначається ризик P_j і значення N_j.

Аналіз результатів, приведених в табл.1, дозволяє зробити висновки:

1.При визначенні величини ресурсу, видаваного як кредит, існує його оптимальне значення (табл.4.1.).

2.Величина кредиту, що виділяється, в значній мірі визначається рівнем ризику, особливо при великих часовових інтервалах.

3.Величина оптимального об'єму кредиту обернено пропорційна часу, на яке він видається.

Досліджуємо розподіл ресурсів між об'єктами, спочатку розглянемо випадки М = 2, тоді j = 1,2. При цьому з (6) слідує:

 

(8)

 

Оскільки х₁+ х₂ ≤ R, замість х₁ використовуємо позначення х, а замість х₂ підставимо у формулу (8) R-х, в результаті одержимо:

 

(9)

 

Знайдемо екстремальне рішення для (9), для чого визначимо:

 

(10)

 

У явному вигляді знайти значення коріння рівняння (10) не вдається, тому визначимо характер рішення (10).

Виберемо довільну крапку і розглянемо значення в крапках, де - мала величина. З рівняння (10) безпосередньо визначаємо:

 

,

 

отже, функція - зростаюча, що дає можливість припустити існування максимуму.

Для з'ясування характеру функції F_1,2(x) побудуємо графік залежності F_1,2(x) за даними, приведеними в табл. 4.2.

 

Таблиця 4.2. Значення параметрів функції.

 

X Варіанти
R=20, P1=0,05, P2=0,25, N1=0,1, N2=0,5, t1=t2=1час I1=0,01 I2=0,1	0,0359	0,2545	0,4388	0,611	0,78	0,953	1,104	1,261	1,458	1,412	0,768
R=20, P1=0,05, P2=0,1 N1=0,05, N2=0,5, t1=t2=1час I1=0,07 I2=0,1	3,97	4,1594	4,23	4,2532	4,152	3,972	3,666	-	2,532	-	0,792

 

 

 

Рис.4.1. Графік залежності F_1,2(x) = f (x)

Аналіз графіків залежності F_1,2(x) дозволяє зробити висновки:

1.Варіант 1 показує, що оптимальний розподіл допускається при х = 16-18, коли основний ресурс вкладається в менш прибутковий (N₁) об'єкт, але менш ризикований.

2.Варіант 2 показує корисність диверсифікації, коли частина ресурсу (х = 4-6) прямує в менш прибутковий об'єкт при однаковому рівні ризику.

3.Порівняння варіантів 1 і 2 також підтверджує корисність диверсифікації: загальний дохід максимізується при розподілі ресурсу між більш прибутковим (R-x) і менш прибутковим, оскільки при цьому відбувається розподіл ризику.

4.Найбільше значення на розподіл ресурсу надає не значення N_j, а рівень ризику (P_j) і час надання кредиту.

Дослідження (формули (6), (9) і рис.4.1.) показали залежність об'єму виділення ресурсу від значень P_j і t_j. Але результати розподілу ресурсів по об'єктах можуть не співпадати з індивідуально певними значеннями (диверсифікація).

Наприклад, на графіках рис.4.1. при індивідуальному розрахунку х_opt = 19,5; (R-x)_opt = 3,5. Одночасне при сумісному розрахунку х_opt = 16; (R-x)_opt = 4 для першого варіанту. Для другого варіанту х_opt = 6; (R-x)_opt = 14.