Изучение движения тел по наклонной плоскости

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 3

ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ ПО НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ

Ц е л ь р а б о т ы: определение скорости движения тел на наклонной плоскости и сравнение теоретических результатов с экспериментальными.

П р и б о р ы: наклонная плоскость, шар, цилиндр, линейка, ящик с песком.

Т е о р и я м е т о д а

Рассмотрим движение тела по наклонной плоскости длиною (рис.1). Тело, скатываясь с наклонной плоскости, участвуют в поступательном и вращательном движениях.

рис.1.

В точке А тело обладает запасом потенциальной энергии По закону сохранения энергии, по-тенциальная энергия уменьшается и переходит в кинетическую энергию. В точке В тело приобрело кинетическую энергию поступа-тельного движения и вращательного движения

По закону сохранения энергии (1)

где υ - линейная скорость, ω - угловая скорость тела, J – момент инерции тел, h - высота наклонной плоскости. Теоретическая скорость

υ_Т определяется из соотношения (1). Для этого угловая скорость заменяется линейной с учетом формулы , а момент инерции шара и цилиндра выражается формулами

После постановки w и J_ш, J_ц в уравнение (1), получаем расчётные формулы скорости шара и цилиндра

, (2)

Измерив высоту наклонной плоскости, вычисляем теоретические значения скоростей в точке В.

Экспериментальное определение скорости проводят так. В точке В тело имеет скорость υ, которая может быть представлена в виде двух компонент υ_х и υ_у – скорости в горизонтальном и вертикальном направлениях

Из законов поступательного движения находим

х = у = (3)

Время движения в обоих направлениях одинаково и равно (4)

Подставив время (4) в уравнение (3), получим выражение для экспериментальной скорости в точке В

(5)

а по найденному выражению скорости, окончательно находим время

(6)

Порядок работы

1. Измерить длину ℓ наклонной плоскости, высоту h и основание b, вычислить и

2. Пустить тело из точки Aпо наклонной плоскости и измерить расстояние: х = СД и у = ВС

3.Вычислить экспериментальное значение скорости по формуле (5) и сравнить со значением теоретической скорости, вычисленной по формуле (2). По формуле (6) вычислить время движения. Опыт повторить три раза при разных высотах. Данные занести в таблицу.

№ п/п	ℓ= (м)	тело	у = (м)
		cosα		х(м)			t (c)
					шар
					цилиндр

Контрольные вопросы

1. Сформулировать и записать закон сохранения и превращения энергии

в данной работе.

2. Дать определение и записать формулу мгновенной скорости, указать

направление.

3. Что характеризует нормальное, тангенциальное и полное ускорение и

чему они равны?

4. Вывести формулу экспериментальной и теоретической скоростей.

 

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 5

ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

Ц е л ь р а б о т ы: изучение упругих колебаний

П р и б о р ы: пружина, набор грузов, штатив, линейка, секундомер

Т е о р и я м е т о д а

Колебания – движения или процессы, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени.

Колебания, происходящие за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему, называются свободными или собственными.

Колебания считаются периодическими, если система приходит в положение равновесия через равные промежутки времени. Простейшими периодическими колебаниями являются гармонические, в которых смещение тела или системы от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса.

Груз массой m, подвешенный на упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F_упр = -kx представляет собой пружинный маятник.

При рассмотрении колебаний пружинного маятника необходимо: пренебречь сопротивлением среды; учесть, что на маятник, находящийся в положении равновесия, действуют две силы: сила тяжести и сила упругости пружины, равные друг другу, но направленные противоположно; при перемещениях маятника вниз от положения равновесия возникает дополнительная сила упругости, направленная к положению равновесия

То же самое будет при отклонении маятника вверх, но природа силы будет иная. Это– равнодействующая силы тяжести и (не полностью компенсирующей ее) силы упругости пружины. По величине эта равнодействующая пропорциональна величине смещения x от положения равновесия маятника. Таким образом, возвращающая сила, действующая на отклоненный маятник - это сила квазиупругая, равная по закону Гука

F_упр = - kx, (1)

где k – коэффициент упругости или жесткость пружины.

Тогда по II закону Ньютона - kx = m (2)

где m – масса маятника, a = - ускорение, равное второй производной смещения по времени.

Преобразовав это уравнение к виду (3)

и представив w₀², получим динамическое уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний (4)

Решением этого дифференциального уравнения является функция

 

х = А sin (w₀t+j₀) или х = А сos (w₀t + j₀) (5)

 

Формула (5) выражает смещение х пружинного маятника в любой момент времени t и является кинематическим уравнением гармонического колебания в общем виде.

А – амплитуда -. максимальное отклонение от положения равновесия

(w₀t + j₀) – фаза - величина, определяющая положение колеблющейся системы в любой момент времени t

j₀ – начальная фаза колебания, определяющая положение системы в начальный момент времени t = 0

w₀ – круговая (циклическая) частота - количество полных колебаний за 2 p секунды

Время одного полного колебания - период Т

Число полных колебаний, совершаемых в единицу времени – частота колебания ν. Они связаны Т = w₀ = 2p n

Учитывая, что w₀² = получим период колебаний пружинного маятника Т = 2p (6)

Выясним физический смысл коэффициента упругости k:

k = - (7)

где F_q - внешняя деформирующая сила, в соответствии с III- законом Ньютона F_q = -F_упр. Следовательно, коэффициент упругости k численно равен внешней силе, вызывающей деформацию пружины, равную единице длины.

Свободные колебания, амплитуда которых из–за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается, называются затухающими. Такие колебания совершаются при одновременном действии силы упругости F_упр= - kх и силы сопротивления F_с = - r× u

где r – коэффициент сопротивления среды, u - скорость колеблющейся системы. Динамическое дифференциальное уравнение затухающих колебаний (8)

решением которого является кинематическое уравнение:

 

х = А₀е ^-bt× sin(wt+j₀) (9)

 

А₀ – начальная амплитуда при t = 0

е - основание натурального логарифма

b = - коэффициент затухания j₀ – начальная фаза

w - циклическая частота свободных затухающих колебаний.

Величины циклических частот затухающих и незатухающих колебаний связаны соотношением w² = w²₀ - b². Амплитуда при затухающих свободных колебаниях уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону:

А_t = A₀e ^-bt (10)

Скорость затухания колебательного движения характеризуется декрементом затухания, который равен отношению двух последующих амплитуд, разделенных интервалом времени, равным одному периоду колебания (рис. 2)

d = (11)

Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания:

l = ln (12)

Определив опытным путем период затухающих колебаний можно вычислить коэффициент затухания b и логарифмический декремент затухания l.

Для этого измеряют две амплитуды, отстающие во времени на n периодов, т.е. t = nT.

Равенство отношений позволяет записать (13)

следовательно ln (14)

Отсюда коэффициент затухания b = (15)

Порядок работы