Логические операции и базовые элементы компьютера

В алгебре высказываний над высказываниями можно произ­водить определенные логические операции, в результате кото­рых получаются новые высказывания. Истинность результирую­щих высказываний зависит от истинности исходных и использованных для их преобразования логических операций. „

Схемные элементы ЭВМ. Преобразование информации в ЭВМ осуществляется элементами (схемами) двух классов:

- комбинационными;

- последовательностными (схемами с памятью).

Состояние выходов комбинационных схем однозначно определяется состояниями входов в данный момент времени.

Состояние выходов в последовательных схемах оп­ределяется не только состоянием входов, но и внутренними со­стояниями, имевшими место в предыдущие моменты времени.

Комбинационные схемы являются техническим аналогом булевых функций. Подобно тому, как сложная булева функция мо­жет быть получена суперпозицией более простых функций, так и комбинационная схема может строиться из более простых схем.

Существует следующее определение — систему логических элементов, с помощью которых путем су­перпозиции можно представить любую сколь угодно сложную комбинационную схему, называют функционально полной. Известны различные функционально полные системы элементов, но наибольшее распростра­нение получили системы, использующие логические операции, выражаемые предлогами НЕ, и, или.

Логический элемент компьютера — это часть электронной схе­мы, которая реализует элементарную логическую функцию. Ло­гическими элементами компьютеров являются электронные схе­мы «И», «ИЛИ», «НЕ», «И-НЕ», «ИЛИ-НЕ» или другие (называе­мые также вентилями), а также триггер. Можно показать, что с помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вен­тилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода.

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Рассмотрим логические операции и соответствующие им элементы логических схем.

Конъюнкция. Соединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза и (or) называется операцией логи­ческого умножения, или конъюнкцией. Эту операцию принято обозначать знаками «^, &» или знаком умножения «х». Сложное высказывание А ^ В истинно только в том случае, когда истин­ны оба входящих в него высказывания. Истинность такого вы­сказывания задается табл.

 

Коньюнкция	Дизъюнкция
A	B	A&B	A	B	AvB	AxorB(исключающее или)

 

Логическая схема «И» реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных диаграммах схемы «И» с двумя входами представлено на рис.

Единица на выходе схемы «И» будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет нуль, на выходе также будет нуль.

Связь между выходом z этой схемы и входами х и у описывается соотношением z = x&y (читается как «х и у»). Операция конъюнкции на структурных схемах обозначается знаком «&».

Дизъюнкция. Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза или (OR) называется операцией логического сложения, или дизъюнкцией. Эту операцию обозначают знаками «I, v» или знаком сложения «+». Сложное высказывание A v В истинно, если истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний (см. табл. 1.14).

В последнем столбце табл. 1.14 размещены результаты модифицированной операции ИЛИ — Исключающее или (XOR). Отличается от обычного или последней строкой (см. также рис. 1.7, е).

Схема «ИЛИ» реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы «ИЛИ» будет единица, на ее выходе также будет единица.

Условное обозначение на структурных схемах схемы «ИЛИ» с двумя входами представлено на рис. 1.7, б. Знак «1» на схеме происходит от классического обозначения дизъюнкции как «>=» (т. е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1). Связь между выходом z этой схемы и входами х и у описывается соотношением z = x v у (читается как «х или у»).

Инверсия. Присоединение частицы НЕ (not) к некоторому высказыванию_ называется операцией отрицания (инверсии) и обозначается А (или ­ А). Если высказывание А истинно, то В ложно, и наоборот (табл. 1.15)

Схема «НЕ» (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь между входом х этой схемы и выходом z можно записать соотношением z = х, где х читается как «не х» или «Инверсия х».

Если на входе схемы «О», то на выходе «1», и наоборот. Условное обозначение на структурных схемах инвертора — на рис. 1.7, в.

Вентили. Кроме схемных элементов, соответствующих перечисленным логическим операторам, в состав логических схем ходят комбинированные связки, именуемые вентилями, напри­мер, следующие.

Схема «И-НЕ» состоит из элемента «И» и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы «И» (табл. 1.16). Связь между выходом z и входами х и у схемы записывают как , или «Инверсия х и у». Условное обозначение на структурных схемах схемы «И-НЕ» с двумя входами приведено на рис. 1.7, г.

Таблица 1.16. Таблица истинности схем «И-НЕ», «ИЛИ-НЕ»

 

Инверсия х и у	Инверсия x или у
x	y		x	y
	0

Схема «ИЛИ-НЕ» состоит из элемента «ИЛИ» и инвер­тора и осуществляет отрицание результата схемы «ИЛИ» (табл. 1.16). Связь между выходом z и входами хну схемы запи­сывают как х v у, или «Инверсия х или у». Условное обозначе­ние на структурных схемах схемы «ИЛИ-НЕ» с двумя входами представлено на рис. 1.7, д.

Схема «Исключающее ИЛИ» (рис. 1.7, е) соответству­ет «сложению по модулю два» (см. также табл. 1.14).

Следует отметить, что помимо операций и, или, не в алгебре высказываний существует ряд и других операций. Например, операция эквивалентности (эквиваленции)

А ~ В (А = В, или A eqv В ) (табл. 1.17).

Таблица 1.17. Таблицы истинности операций эквивалентности и импликации

Эквивалентность	Импликация
А	В	А~В	А	В	А В
	----

Другим примером может служить логическая операция им­пликации или логического следования (А —> В, A IMP В)_у иначе говоря, «если А, то В» (табл. 1.17).

Высказывания, образованные с помощью логических опера­ций, называются сложными. Истинность сложных высказыва­ний можно установить, используя таблицы истинности. Напри­мер, истинность сложного высказывания ( ^ )определяется табл. 1.18.

Таблица 1.18. Таблица истинности высказывания (A&B)v( & )

А	В			&

Высказывания, у которых таблицы истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных вы­сказываний используют знак «=» (А = В). Рассмотрим сложное высказывание

(А ^ В) v ( ^ )— табл. 1.19.

Таблица 1.19. Таблица истинности выражения (А & В) v ( & )

А		B		А&В	&	(А & В) v (А &B)

Если сравнить эту таблицу с таблицей истинности операции эквивалентности высказываний A v В(см. табл. 1.17), то можно увидеть, что высказывания (А ^ В) v (А ^ В) и А ~ В тождест­венны, т. е. (А ~ В) = (А л В) v (А л В).

В алгебре высказываний можно проводить тождественные преобразования, заменяя одни высказывания равносильными им другими высказываниями.

Свойства операций. Исходя из определений дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, устанавливаются свойства этих операций и взаимные распределительные свойства. Приведем примеры некоторых из этих свойств:

Высказывания, образованные с помощью нескольких опера­ций логического сложения, умножения и отрицания, называют­ся сложными. Истинность всякого сложного высказывания устанавливается с помощью таблиц истинности. Сложные вы­сказывания, истинные (true) для любых значений истинности входящих в них простых высказываний, называются тождест­венно-истинными. Наоборот, тождественно-лож­ными являются формулы, принимающие значение false для любых значений входящих в него простых высказываний.

В табл. 1.20 приведено доказательство истинности дистрибутивного закона. Аналогичным образом могут быть доказаны и другие тождества.

 

Таблица 1.20. Доказательство истинности
А	B	C	BvC	A^(BvC )	А^B	А^C	(A ^B)v(A ^С)