Теретико – ігрова модель ризику

Критерії обґрунтування прийняття рішень

Для дослідження ситуацій, в яких маркетингове рішення приймається за умов невизначеності, конфліктності й зумовленого ними ризику, використовують схему гри з економічним середовищем, яке може перебувати в одному з n взаємовиключних станів θ_ј.

Матриця гри (платіжна матриця) записується у вигляді функціонала оцінювання F⁺ (з додатним інгредієнтом), елементами якого f_kj⁺ (k =1,…, m; j = 1,…, n) є кількісні оцінки рішення (стратегії) s_k є S =(s₁,s₂,…, s _m) за умови, щоекономічне середовище перебуває в стані θ_ј є Θ = (θ₁., θ₂,,…, θ_n)

F ⁺ = || f_kj⁺ ||.

Розрахунок значень f_kj проводиться з урахуванням можливого рівня попиту на товар, формування ціни на одиницю продукції зі змінними і сталими витратами, можливим дефіцитом або перевиробництвом продукції.

Тоді обґрунтування прийняття оптимального, раціонального (найбільш ефективного, найменш ризикованого) рішення проводиться за допомогою низки спеціальних критеріїв

 

1) ІС₁: характеризується заданим розподілом апріорних імовірностей станів θ_ј економічного середовища Р = (р_1, р_2.... р_n) = (р(θ₁), р(θ₂),..., р(θ_n)), ∑ р_j = 1, j = 1,…, n.

Критерій Байєса – дляфункціонала оцінювання F⁺ (значень прибутку, виграшу, ефективності, корисності) оптимальна стратегія s_kо визначається умовою:

B⁺ (s_kо; P) = B⁺ (s_k; P) = р_j · f_kj, k =1,…,m. (3. 1)

Критерій мінімальної дисперсії – оптимальна стратегія s_k^о визначається умовою:

D^- (s_kо;P) = D^-(s_k;P) = р_j ·(f_kj - B⁺ (s_k;P))², k =1,…, m. (3.2)

Критерій мінімальної семі варіації – оптимальна стратегія s_k^о визначається умовою: SV^- (s_kо;P) = SV(s_k;P) = р_j · α_k ·(f_kj – B⁺ (s_k;P))², k =1,…, m, (3.3)

де α_k = (α_к1, α_к2,..., α_kn) – вектор індикаторів несприятливих відхилень для рішення s_k відносно оцінки B⁺ (s_k;P):

α_k =1 вразі сприятливого відхилення: (f_kj⁺ - B⁺ (s_k;P)) ≥ 0,

і α_k =0 в разі несприятливого відхилення: (f_kj⁺ - B⁺ (s_k;P)) <0.

Критерій мінімального коефіцієнта варіації – оптимальна стратегія s_kо визначається умовою: СV^- (s_kо;P) = СV^-(s_k;P), (3.4)

де СV^-(s_k;P) = σ^-(s_k;P) / B⁺ (s_k;P), σ^-(s_k;P) = .

Критерій мінімального коефіцієнта семі варіації –оптимальна стратегія s_kо визначається умовою: СSV^- (s_kо;P) = СSV^-(s_k;P), (3.5)

де СSV^-(s_k;P) = SSV (s_k;P) / B⁺ (s_k;P), SSV (s_k;P) = .

 

2) ІС₂: існує можливість оцінювання параметрів (числових характеристик), які характеризують розподіл апріорних ймовірностей, на підставі статистичної інформації перевіряється гіпотеза щодо класу функцій розподілу і будується вектор Р ^{^}=(р₁^{^} р₂^{^};_....; р_n).

3) ІС₃: відомі співвідношення пріоритету стосовно станів θ_ј економічного середовища:

р_і1 ≥ р_і2 ≥... ≥ р_іn.

перші оцінки Фішберна – оцінки p^{^}_іj апріорних імовірностей p_іj, будуються у вигляді спадноїгеометричної прогресії: p_іj ≈ p^{^}_іj = , j = 1,…, n. (3.6)

4) ІС₄: за умов повної невизначеності щодо закону розподілу ймовірностей Р (Θ = θ_ј) використовується принцип Бернуллі – Лапласа: p_j ≈ p^{^} _j =1/n, j = 1,…, n (3.7)

5) ІС₅: характеризується антагоністичними інтересами суб’єкта прийняття рішень (СПР) та економічного середовища, тобто конфліктом між ними, а основною стратегією для СПР є забезпечення гарантованого результату.

Критерій Вальда (безризиковий за ситуації, де ризикувати недоцільно) – оптимальна стратегія s_kо визначається умовою: f_ko⁺ = f_k⁺ = ( f_kj⁺ ), j=1,…, n. (3.8)

Критерій Севіджа використовує матрицю ризику (невикористаних можливостей), яка будується так:

· для кожного стану ЕС знаходиться f_k⁺,

· визначається r_kj^- = f_k⁺ - f_k⁺ ,

· оптимальна стратегія s_kо визначається умовою:

r_ko^- = r_k^- = ( r_kj^-), j =1,…, n. (3.9)

6) ІС₆: характеризується наявністю факторів, що зумовлюють “проміжну” інформаційну ситуацію між ІС₁ та ІС₅ , використовує коефіцієнт λ є[0;1] – коефіцієнт схильності – несхильності до ризику.

Критерій Гурвіца є зваженою комбінацією найкращого та найгіршого факторів для часткового антагонізму ЕС і СПР, оптимальна стратегія s_kо визначається умовою:

G⁺(s_ko; λ) = G⁺_kλ = [(1 – λ) · f_kj⁺ + λ · f_kj⁺ ]. (3.10)

Модифікований критерій: оптимальна стратегія s_kо визначається умовою:

Ф⁺(s_ko;Р;λ)= Ф⁺ (s_k;Р;λ) = [(1 – λ) ·B⁺ (s_k;P) -λ Risk ^- (s_k; Р)], (3.11)

де за величину Risk (s_k; Р) можна використовувати σ^-(s_k ;P) або SSV(s_k;P).

Критерій Ходжеса – Лемана дає змогу використати всю наявну інформацію СПР, а оптимальна стратегія s_kо визначається умовою:

HL⁺ (s_ko;Р; λ) = HL ⁺ (s_k; Р; λ) = [(1 – λ) B⁺ (s_k;P) + λ · f_kj⁺ ]. (3.12)

Практикум: Аналіз ризиків за умов розробки нового товару

Розв’язування задач.

Задача: Видавництво “Навігатор” готує до друку підручник “Маркетинг”, який буде цікавим не тільки для студентів і викладачів, але й стане в нагоді практикам. Якою повинна бути ціна книги? Якісний папір, суперобкладинка привернуть увагу потенційного покупця, але це призведе до збільшення ціни, та й бібліотеки надають перевагу книгам у жорстких обкладинках. Практиків більше цікавить видання з більшою практичною спрямованістю. Маркетологи видавництва запропонували видати пробний наклад (1000 примірників) у таких версіях:

- А: підручник “Маркетинг” у жорсткій обкладинці;

- В: підручник “Маркетинг” у м’якій обкладинці;

- С: “Маркетинговий тренінг” у м’якій обкладинці.

Якщо видавати всі ці варіанти, то вартість примірника зростатиме за рахунок додавання низки технологічних операцій заключного циклу. Потрібно змоделювати цю ситуацію для вибору оптимального рішення щодо видання підручника.

Основним критерієм вибору кращого варіанта є максимізація прибутку, який можна розрахувати за такою формулою:

П = Д – В = Ц · К – (ЗЗВ + ФВ) = Ц · К – (ЗВ · К + ФВ),

де Д – виручка від реалізації продукції;

В – повні витрати підприємства, що дорівнюють сумі загальних змінних витрат (ЗЗВ) та фіксованих витрат (ФВ) = 20000 грн.;

ЗВ – змінні витрати на одиницю продукції (відповідно 15 грн. для А, 13 грн. для В, 14 грн. для С);

К – кількість одиниць проданого товару;

Ц – ціна одиниці продукції.

 

Значення умовного прибутку для кожного варіанта можливого попиту наведено в таблиці

Умовний прибуток від реалізації книги “Маркетинг”

Варіанти видання	Попит, шт
3000	5000	7000
А, ціна 28 грн	19000	45000	71000
В, ціна 20 грн	1000	15000	22000
С, ціна 25 грн	10000	40000	57000
Ймовірність	0,3	0,5	0,2

 

Приклад розрахунку умовного прибутку варіанта В можливого попиту в 3000 шт:

П = 20 · 3000 – (13·3000 +20000) = 60000 –59000 =1000(грн.)

Наступним кроком є аналіз отриманого функціонала оцінювання - значень умовного прибутку - за критеріями Байєса, Вальда, Севіджа.

• Критерій Байєса: B⁺ (s_kо; P) = B⁺ (s_k; P) = р_j · f_kj, k =1,…,m.

В_А = 19000 · 0,3 + 45000 · 0,5 + 71000 · 0,2 = 42100 (грн),

В_В = 1000 · 0,3 + 15000 · 0,5 + 22000 · 0,2 = 12200 (грн),

В_С = 10000 · 0,3 + 40000 · 0,5 + 57000 · 0,2 = 34400 (грн).

За критерієм Байєса кращим є варіант А.

• Критерій мінімальної семі варіації:

SV^- (s_kо;P) = SV(s_k;P) = р_j · α_k ·(f_kj – B⁺ (s_k;P))², k =1,…, m,

SSV (s_k;P) = .

SV^-₁ = (19000 – 42100)² · 0,3 = 160083000, SSV₁ = = 12652,39;

SV^-₂ = (1000 – 12200)² · 0,3 = 376320000, SSV₂ = = 6134,49;

SV^-₃ = (10000 – 34400)² · 0,3 = 178608000, SSV₁ = =13364,43;

За критерієм мінімальної семі варіації кращим є варіант В.

• Критерій мінімального коефіцієнта семі варіації:

СSV^-(s_k;P) = SSV (s_k;P) / B⁺ (s_k;P)

СSV^-₁= SSV ₁ / B⁺ ₁ = 12652,39 / 42100 = 0,3005,

СSV₂ = SSV ₂ / B⁺ ₂ = 6134,49 / 12200 = 0,50 28,

СSV^-₃ = SSV ₃ / B⁺ ₃ = 13364,43 / 34400 = 0,3885

За критерієм мінімального коефіцієнта семі варіації кращим є варіант А.

• Критерій Вальда: f_ko⁺ = f_k⁺ = ( f_kj⁺ ), j=1,…, n

 

варіант	П3000	П5000	П7000	min	max
А	19000	45000	71000	19000	19000
В	1000	15000	22000	1000
С	10000	40000	57000	1000

 

За критерієм Вальда кращим є варіант А.

 

• Критерій Севіджа використовує матрицю ризику (невикористаних можливостей), для кожного стану ЕС знаходиться mах f_kj⁺ і визначається r_kj^- = f_k⁺ - f_k⁺ , а оптимальна стратегія s_k^о визначається умовою:

r_ko^- = r_k^- = ( r_kj^-), j =1,…, n:

варіант	П3000	П5000	П7000	max	min
А	0	0	0	0	0
В	18000	30000	49000	49000
С	9000	5000	14000	50000

 

 

R^- =

 

Мax 1900 5000 71000

За критерієм Севіджа кращим є варіант А.

• Критерій Гурвіца є зваженою комбінацією найкращого та найгіршого факторів для часткового антагонізму ЕС і СПР, оптимальна стратегія s_k^о визначається умовою:

G⁺(s_ko; λ) = G⁺_kλ = [(1 – λ) · f_kj⁺ + λ · f_kj⁺ ].

Видавництво планує виходити на сформований ринок, тобто слід очікувати наявність конкуренції, але в не досить жорсткій формі, тобто коефіцієнт схильності до ризику λ [ 0,4; 0,6 ]. Тоді

G⁺₁ =[(1 – λ) · max f_1j⁺ + λ · min f_1j⁺ ] = (1 – λ)··45000 + λ·1900 = 45000 -26000·λ;

G⁺₂ =[(1 – λ) · max f_2j⁺ + λ · min f_2j⁺ ] = (1 – λ)··22000 + λ·1000 = 22000 -21900·λ;

G⁺₃ =[(1 – λ) · max f_3j⁺ + λ · min f_3j⁺ ] = (1 – λ)··57000 + λ·10000 = 57000 -47000·λ.

 

Будуємо лінії Гурвіца (рис.13) в системі координат з віссю Оλ і відповідними вертикалями – лініями максимальних і мінімальних значень G⁺(s_k; λ) в точках О і 1.

Положення ліній Гурвіца вказує, що кращими для СПР будуть перше і третє рішення, причому для певного значення λ ці рішення будуть рівнозначними:

57000 - 47000·λ. = 45000 - 26000·λ, 21000 λ =12000,

λ =12/21 =4/7 ≈ 0,57.

Для СПР,схильного до ризику з коефіцієнтом λ [ 0,57; 0,6 ], пріоритетнішим буде рішення А, якщо ж λ [ 0,4; 0,57 ], то перевага надаватиметься рішенню С.

 

Рис.13. Положення ліній Гурвіца.

Тема 3.3: Загальна ієрархічна модель