Схильність – несхильність до ризику

Особа є несхильною до ризику, якщо можливість одержання детермінованого еквівалента лотереї є для неї пріоритетнішою за участь в лотереї. При цьому:

• ;
• премія за ризик є додатним числом: r(х) > 0;
• графік функції корисності є опуклим догори.

 

Рис.16. Графік функції корисності особи, несхильної до ризику.

Особа є схильною до ризику, якщо для неї пріоритетнішою є участь в лотереї за можливість одержання детермінованого еквівалента лотереї. При цьому:

• ;
• премія за ризик є від”ємним числом: r(х)< 0;
• графік функції корисності є опуклим донизу.

 

 

Рис. 17. Графік функції корисності особи, схильної до ризику.

Нейтральність до ризику проявляється в байдужому ставленні до отримання детермінованого еквівалента лотереї чи участі в лотереї. При цьому:

• ;
• премія за ризик дорівнює нулю: r(х) = 0; бовеличина сподіваного виграшу співпадає з детермінованованим еквівалентом лотереї:
• графік функції корисності є прямою лінією, а фукція корисності U (x) = a·x + b.

 

Існує гіпотеза: схильність до ризику проявляється в разі наявності невеликих грошових сум відносно загального достатку, а несхильність – для існування значних сум.

Несхильність до ризику – основа діяльності страхових компаній.

Схильність до ризику – основа грального бізнесу.

Функція схильності-несхильності до ризику є певною комбінацією локальних функцій корисності (рис.18).

Рис. 18. Графік функції схильномті – несхильності до ризику.

 

Якщо функція схильності - несхильності до ризикує функцією розподілу ймовірностей F(x) i функція щільності розподілу ймовірностей f(x)=F'(x), то матимемо лотерею із неперервним розподілом ймовірностей: L (x є [x_*; x^*]; f(x)). Тоді ставлення до ризику – локальну характеристику особи аналітично можна задати «зрізаною» функцією розподілу ймовірностей:

 

або ,

де х^*, а^*, b^* є нормалізованими значеннями параметрів х, а. b, а Ф(х) – функція Лапласа для нормального розподілу N(m;σ).

 

Приклад. Побудувати інтервально-нейтральну функцію корисності, задану шкалою:

	0	10	20	30	40	50
U(x)	0	0.05	0.2	0.4	0.65	1

 

Для двох точок з відомими координатами A (x_А, U_А), B (x_B, U_B) запишемо рівняння прямої, яка проходить через дві точки: .

 

Виходячи з цього, отримуємо рівняння інтервально- нейтральної функції корисності

0,005x, x [ 0;10 ];

0,015x – 0,1, x [ 10;20 ];

U(x) = 0,020x – 0,2, x [ 20;30 ];

0,025x – 0,35, x [ 30;40 ];

0,035x – 0,75, x [ 40;50 ].

U(х)

 

Рис.19. Графік інтервально- нейтральної функції корисності

х

Стратегічною еквівалентністю вважатимемо існування такої пари фукцій корсності U₁ (x) ~ U₂ (x), якщо вони однаково впорядковують за ступенем привабливості довільну пару лотерей:

 

U₁ (x) ~ U₂ (x) => a, b:

U₁ (x) = a + b ∙U₂ (x).

U₁ (x) = a + b ∙ x ~ U₂ (x) = х

U₁ (x) = a − b ∙е^−сх ~ U₂ (x) = − е^−сх

 

Практикум: Ризик із урахуванням корисності

Задача 1. Особа з функцію корисності U(x)=0.01·x², має альтернативні варіанти вибору місця роботи: 1 – стабільна зарплата 2000 ум. гр.од.

2 – з ймовірністю 0,5 можна отримувати зарплату 1000 і 3000 ум. гр.од.

3 – 4000 ум.гр. одиниць або не отримати нічого з ймовірністю 0,5

Яке рішення слід обрати?

Розв’язання

1. Для першого рішення (ум. гр.од.) – сподівана зарплата

Корисність рішення .

 

2. Для другого рішення (ум. гр.од.).

Корисність

 

3.Для третього рішення (ум,гр.,од.).

Корисність .

Висновок: за умови однакової сподіваної зарплати третє рішення має більшу корисність.

 

Задача 2. Особа з доходом 1,5 тис.гр.од. оцінює можливість перейти на нове місце роботи, повязанез певним ризиком: дохід на новому місці може бути вдвічі більшим або знизитися до 1тис.гр.од. із імовірністю 0,5. СПР має таку шкалу корисності:

х	0	1	2	3	4
U(x)	0	10	16	18	20

 

 

Який варіант слід обрати?

Розв’язання

1). Побудуємо графік інтервально- нейтральної функції корисності і запишемо її аналітичний вигляд:

10 x, x [ 0;1 ];

U(x) = 6x+ 4, x [ 1;2 ];

2x + 12, x [ 2;4 ].

 

 

2). Дохід на старому місці роботи 1,5 тис.гр.од має корисність:

U(x)= 6x+ 4 = 6 ·1,5 =13.

Рівень корисності для нового місця роботи становитиме:

.

Висновок: нове місце роботи матиме вищий рівень користності.

 

3). Детермінований еквівалент лотереї:

, =1,6

 

4). Сподіваний дохід на новому місці складатиме: (тис.гр.од).

Премія за ризик: (тис.гр.од).

Ця величина показує суму, якою особа може знехтувати, вибираючи стабільний дохід у 1,5 тис.гр.од порівняноіз роботою з більшим сподіваним доходом у 2 (тис.гр.од) і з суттєвим ризиком.

Тема 3: ТЕОРЕТИКО – ІГРОВА МОДЕЛЬ РИЗИКУ

3.1. Елементи теорії ігор

Основні поняття теорії ігор

Прийняття маркетингових рішень найчастіше пов’язане з ситуаціями, в яких перетинаються інтереси двох (або більше) конкуруючих сторін, які мають різні цілі. Такі ситуації називають конфліктними. Математичною теорією конфліктних ситуацій є теорія ігор. Розв’язанню задач такого типу передує: визначення правил гри, можливої кількості гравців, можливих виграшів.

Грою називається спрощена формалізована модель реальної конфліктної ситуації з сукупністю правил, які регламентують поведінку гравців. Хід у грі – це вибір гравцем одного з можливих варіантів дій.

Наслідком є рішення гравця під час ходу, значення певної функції виграшу.

Стратегія або дія, до якої вдається гравець, залежить від ситуації. За умов застосування гравцями в процесі гри різних стратегій матимемо гру в мішаних стратегіях, а елементи стратегій називають чистими стратегіями.

Одним з основних видів ігор є матричні ігри – парні ігри з нульовою сумою: виграш одного гравця дорівнює програшу іншого за умови обмеженої кількості стратегій кожного гравця, а спільна сума виграшів дорівнює нулю, наприклад, ігри з природою, коли гравцями є фірма і природа.

Платіжною матрицею гри є прямокутна матриця, елементами якої є числа a_ij, які характеризують виграш – наслідок вибору гравцем А стратегії A_і, а гравцем В – стратегії B_j.

 

Розв’язати гру означає знайти оптимальну стратегію для кожного гравця, яка за умов багаторазового повторення гри забезпечує максимально можливий середній виграш (мінімально можливий середній програш). Критерієм вибору раціональних рішень є критерії мінімакса або максиміна:

· для гравця А оптимальною є стратегія максимізації мінімального виграшу за всіма можливими стратегіями гравця В: А _опт : ;

· для гравця В оптимальною є стратегія мінімізації максимального програшу за всіма можливими стратегіями гравця А: В _опт : ,

де α – мінімально можливий виграш гравця А – нижня ціна гри;

β – максимально можливий програш гравця В – верхня ціна гри.

Оптимального розв ’ язку гра досягає за умови, що кожній стороні невигідно змінювати свою стратегію, бо протилежна сторона може теж обрати іншу стратегію, яка погіршить виграш першого гравця.

Якщо α = β, то гра має сідлову точку, а значення ν = α = β є ціною гри. При цьому сторони обирають чисті стратегії: максимінна для гравця А і мінімаксна для гравця В.

Якщо α ≠ β, то ціна гри дорівнює математичному сподіванню виграшу першого гравця за умов вибору гравцями оптимальних стратегій: V = M (S^*; Θ^*),

де S^*; Θ ^* – оптимальні стратегії першого і другого гравця, і

M (S; Θ ^*) ≤ V ≤ M (S^*; Θ),

де M (S; Θ) – математичне сподівання середнього виграшу першого гравця за умов вибору гравцями стратегій S та Θ. В цьому випадку гра не має сідлової точки, чисті стратегії – неоптимальні: можна покращити стан кожного гравця, обравши мішані стратегії – певні комбінації початкових чистих стратегій з певними частотами (ймовірностями) вибору кожної з них: для гравця А: P = (p_1, p_2,…, p_m), ;

для гравця B: Q = (q_1, q_2,…, q_n), .

Оптимальні значення визначають умову існування очікуваного оптимального значення ціни гри .

§2. Графічний спосіб розв`язання гри

1). Звести гру (m х n) до (m х 2) або (2 х n) відкиданням невигідних стратегій для кожного гравця.

		q1	q2	q3	q4	…	q­n	В
А:	р1	а11	а12	а13	а14	…	а1n
	р2	а21	а22	а23	а24	…	а2n

 

2). Очікувані виграші гравця А будуть лінійно залежними від частоти вибору ним першої стратегії (р₁) для всіх варіантів чистих стратегій В:

 

гравець В	гравець А (очікуваний виграш)
1	a11·p1 + a21·p2 = a11·p1 + a21·(1–p1)
2	a12·p1 + a22·p2 = a12·p1 + a22·(1–p1)
…	…
n	a1n·p1 + a2n·p2 = a1n·p1 + a2n·(1–p1)

 

3). На горизонтальній осі р відкласти відрізок [0;1], через кінці якого провести вертикальні лінії – лінії стратегій А₁ і А₂.

В обраному масштабі побудувати лінії очікуваних виграшів гравця А для різних можливих стратегій В_к, гравця В за правилом:

_. a_1n·p₁ + a_2n·p_2., к = 1,2,..., п.

 

Нижню межу виграшу, який може отримати гравець А, визначити з положення ламаної лінії, на якій вибирається найвища точка (в ній перетинаються певні прямі – лінії стратегій В_п).

Координати цієї точки знаходяться як розв’язки системи лінійних рівнянь, що характеризують відповідні прямі. Крім того, слід пам’ятати, що

Практикум: Елементи теорії ігор

Задача 1. Розв’язати гру, задану платіжною матрицею

 

	В1	В2	В3	В4	В5	В6
А1	6	5	3	2	1	4
А2	2	7	8	6	5	2
А3	1	3	2	1	0	1

1). Стратегія А₃ є невигідною для гравця А: А₁, А₂ >А₃, а стратегії В₃,В₄ є невигідними для гравця В: В₃, В₄ >В₅, тому складаємо нову платіжну матрицю гри:

 

	В1	В2	В5	В6	тіп
А1	6	5	1	4	1
А2	2	7	5	2	2
тах	6	5	5	4

2). Визначаємо ціну гри:

α = тіп (тах a_ij) = min {6;5;5;4} = 4;

β = max(min a_ij) =max{1;2}= 2; α ≠ β, тому α ≤ ν ≤ β, тобто 2 ≤ ν ≤ 4.

3). Будуємо лінії очікуваних виграшів для гравця А на рис. 12:

 

Стратегії гравця В	Очікувані виграші гравця А
В1	6· р1 + 2· р2
В2	5· р1 + 7· р2
В5	1· р1 + 5· р2
В6	4·р1 + 2· р2

 

4). Нижньою межею виграшу є ламана МNK на рис.12, у верхній точці якої – точці N виграш досягає максимуму. Ця точка є точкою перетину прямих В₅ і В₆, тому маємо таку систему рівнянь:

1·р₁ + 5· р₂ = ν, 1·р₁ + 5· р₂ = 4·р₁ + 2· р_2,

4·р₁ + 2· р₂ = ν, р₂ = 1- р₁.

р₁ + р₂ = 1.

Звідки отримуємо розв’язки системи – оптимальні значення частот (імовірностей) вибору стратегій А₁, А₂ для гравця А: . Ціна гри ν^* = 1· + 5 = 3.

 

 

 

 

Рис.12. Лінії виграшів гри

5). Для визначення оптимальних стратегій гравця В, які він може застосовувати з частотами , аналізуємо рис.12: через точку N проходять прямі стратегій В₅ і В_{6 ,} а застосування стратегій В₁ і В₂ призводить до програшу більших сум, тому

Стратегії гр.А	Очікувані програші гр.В
А1	1· q5 + 4· q6
А2	5· q5 + 2· q6

 

Аналогічно до попереднього знаходимо: ,

Висновок: Для максимізації мінімального виграшу гравцеві А доцільно застосовувати стратегії А₁, А₂ з частотами , а для мінімізації максимального програшу гравцеві В доцільно застосовувати стратегію В₅ з частотою , а стратегію В₆ – з частотою Ціна гри дорівнює 3.

Товар	Тепла погода	Прохолодна погода	Витрати на зберігання 1 од.прод.(ум.гр.од.)	Ціна реалізації 1од.прод.(ум.гр.од.)
Сукні
Костюми

Задача 2. Визначити оптимальну стратегію підприємства, яка забезпечуватиме певний середній дохід від реалізації товару за будь-якої погоди: середній очікуваний прибуток і розмір оптимальної партії товару. Дані про придбання товару й умови реалізації наведено в таблиці

 

 

Розв’язання

1). Маємо гру з природою: фірма – погода.

Фірма має 2 чисті стратегії:

стратегія А – реалізація товару з розрахунком на теплу погоду;

стратегія В – реалізація товару з розрахунком на прохолодну погоду.

Природа, як другий гравець, теж має 2 чисті стратегії:

стратегія С – тепла погода;

стратегія D – прохолодна погода.

 

2). Розрахуємо таблицю 6 – таблицю стратегій фірми і погоди:

Стратегія фірми	Стратегія погоди	Витрати на 1одиницюпродукції. (ум.гр.од.)	Ціна реалізації 1одиниці продукції. (ум.гр.од.)
С	D
А	Товар	Закуп.	Попит	Прод.	Дефіцит (залишок)	Попит	Прод.	Дефіцит (залишок)
Сукні				--			1950-625 =1325 (з)
Костюми				--			1000-600= =400 (д)
В	Сукні				1950-625= =1325(д)			--
Костюми				1000-600= =400 (з)			--

 

3).Розраховуємо платіжну матрицю гри:

· За умови вибору стратегії А у випадку теплої погоди дохід складатиме:

(А; С) → 1950·(16 - 8) + 600· (48 – 27) = 28200 (ум. гр.од.).

· За умови вибору стратегії А у випадку прохолодної погоди дохід буде меншим за рахунок втрат від нереалізованої продукції – суконь:

(А; D) → 625·(16 - 8) + 600· (48 – 27) - (1950 – 625) · 8 = 7000 (ум гр.од.).

· За умови вибору стратегії В у випадку прохолодної погоди дохід складатиме

(В; D) → 625·(16 - 8) + 10000· (48 – 27) = 26000 (ум. гр.од.).

· За умови вибору стратегії В у випадку теплої погоди дохід буде меншим за рахунок втрат від нереалізованої продукції – костюмів:

(В;С) → 625·(16 - 8) + 600· (48 – 27) - (1000 – 600) · 27 = 6800 (ум. гр.од.).

 

Таким чином, платіжна матриця грн має вигляд:

Перший гравець (фірма) не отримає прибутку менше за 6800 ум. гр..од., а за умов співпадання погодних умов з обраною стратегією виграш – дохід складатиме 27800 ум. гр.од. або 26000 ум. гр.од. Ціна гри при цьому –середній очікуваний прибуток знаходитиметься в межах [7000; 26000].

	C	D	min	max
A	28200	7000	7000	7000
B	6800	26000	6800
max	28200	2600
min	26000

 

4). За умов невизначеності майбутніх погодних умов найбільш гарантований дохід фірмі забезпечує комбіноване застосування стратегій А та В, тобто мішану стратегію гри, а середній дохід складається з урахуванням відносної частоти застосування стратегій: стратегії А з імовірністю р, стратегії В з імовірністю (1- р).

 

Тоді дохід для теплої погоди становитиме: 28200 · p + 6800 · (1- p);

дохід для прохолодної погоди: 7000 · p + 26000 · (1- p).

28200 · p + 6800 · (1- p) = 7000 · p + 26000 · (1- p).

40000 · р = 19200,

р = 19200/40400 ≈ 0,48.

Перший гравець (фірма), застосовуючи стратегії А та В у відношенні 48: 100, матиме мішану стратегію, яка забезпечить у будь-якому випадку середній дохід в розмірі:

 

28200 · 0,48 + 6800 · 0,52 = 13344 + 3536 = 168000 (ум. гр..од.).

При цьому можна обчислити розмір оптимальної партії товару:

(1950 с. + 600 к.) · 0,48 + (625 с.. + 1000 к.) · 0,52 = 1261 с.. + 808 к.