Локальные стратегии в игре Белла

 

Итак, Алиса и Боб сидят каждый перед своим ящиком и раз в минуту принимают независимое и свободное решение, аккуратно записывают свой выбор и результаты, отображаемые на дисплеях. Что могли бы сделать их приборы, чтобы помочь игрокам получить лучший счет?

Давайте представим себе, что расстояние между участниками исключает любую возможность влияния друг на друга. Для этого мы мысленно разнесем Алису и Боба так далеко друг от друга, чтобы любой обмен информацией стал бы невозможным. К примеру, разделим их расстоянием, которое свет преодолевает более чем за минуту, то есть более чем 18 млн км. В этом крайнем случае ни Алиса, ни ее ящик не в состоянии сообщить о сделанном выборе Бобу или его прибору. Таким образом, исключается какое бы то ни было воздействие, и нам придется искать другое объяснение.

Я начну с анализа случая, в котором в результате совпадения оба джойстика оказываются в левом положении. В этом случае Алиса и Боб получат очко лишь тогда, когда показания их приборов одинаковы. Мы уже рассматривали такую ситуацию, где покупатели в магазинах всегда получают одно и то же блюдо на ужин в случае, если выбирают магазин слева. И видели, что при исключении всех прямых воздействий единственно возможным объяснением будет то, что у магазинов нет никакого выбора: они просто предлагают то, что предписано. Применительно к ящикам в игре Белла это означает, что если джойстики передвинуты влево, то они должны выдать один и тот же результат. Эти показания предопределены для каждой отдельной минуты, но могут изменяться от минуты к минуте, точно так же как единственное меню может быть иным на каждый вечер. Так мы получаем объяснение максимальной корреляции в случае, когда оба джойстика отклонены влево. Как мы уже знаем, это объяснение второго рода – через общую локальную причину: предопределенные для каждой минуты результаты должны быть записаны в каждом приборе, то есть локально.

Но продолжим анализ. Те результаты, которые изначально записаны в ящиках, могли быть получены многократным подбрасыванием монеты. Для Алисы они выглядят совершенно произвольными, как и для Боба. Однако когда друзья встретятся и обнаружат, что всегда получали одинаковые результаты, они уже не смогут поверить, что это произошло случайно – разве что если это была нелокальная случайность. Мы вернемся к этому позже.

 

Справка 2. Случайность. Когда мы говорим о результате «случайный», мы имеем в виду «неожиданный». Но неожиданный для кого? Многие вещи происходят неожиданно либо потому, что являются результатом слишком сложных для понимания процессов, либо потому, что мы не учли всех деталей, которые повлияли на результат. Однако истинно случайный результат является неожиданным потому, что он непредсказуем в силу своей природы. Этот результат не обусловлен никакой причинно-следственной цепочкой, даже самой сложной. По-настоящему случайный результат не может быть предугадан – потому что до того, как он возник, он попросту не существовал и не был необходимым. Его реализация предстает как чистый акт творения.

Чтобы наглядно проиллюстрировать эту идею, представим, что Алиса и Боб случайно встречаются на улице. Возможно, Алиса шла в ресторан, который находится на этой улице, а Боб решил зайти к другу, который живет на соседней. Начиная с того момента, когда каждый из них решил пойти пешком, наикратчайшим путем, Алиса – в ресторан, а Боб – к другу, эта встреча стала предсказуема. Это пример двух причинно-следственных цепочек: пути друзей пересекаются, создавая видимость случайной встречи. Но для кого-то, кто видит всю систему в целом, эта встреча предсказуема. Их встреча кажется случайной лишь вследствие недостаточной информации: Боб не знал, куда идет Алиса, и наоборот. Но каково было положение перед тем, как Алиса решила пойти в ресторан? Если мы согласимся, что Алиса свободна в своем выборе, то, перед тем как она приняла это решение, встреча действительно была непредсказуемой. Истинная случайность как раз такова.

Истинная случайность, таким образом, не имеет причины в том смысле, который подразумевается в классической физике. Результат истинного случая никоим образом не предопределен. Но тут необходимо уточнить, что событие, выглядящее как истинно случайное, может иметь причину. Дело лишь в том, что эта причина определяет не результат, а только предрасположенность к реализации определенного результата.

 

В схеме с общей локальной причиной каждый ящик каждую минуту выдает некий предопределенный результат, и список этих результатов составлен заранее и записан в каждом ящике. Можно представить себе, что внутри каждого ящика спрятан маленький компьютер с большим объемом памяти, часами и программой, которая с интервалом в одну минуту считывает следующую запись из таблицы.

В зависимости от программы результат может зависеть или не зависеть от положения джойстика. Но какие программы исполняют ящики Алисы и Боба? Существует ли бесконечное или, по крайней мере, очень большое количество возможных программ? На самом деле нет, ведь мы применили научный подход и упростили ситуацию до бинарного выбора, что ограничивает количество возможных вариантов до четырех для каждого из ящиков. В самом деле, программа должна выводить один из двух возможных результатов для каждой из двух возможных выборов.

В приборе Алисы могут работать четыре возможных программы[12]:

1. a = 0, вне зависимости от значения x.

2. a = 1, вне зависимости от значения x.

3. Значение результата идентично значению выбора, то есть a = x.

4. Значение результата всегда отличается от значения выбора, то есть a = 1 − x.

 

То же самое справедливо для прибора Боба. Это означает, что общее количество комбинаций программ для обоих приборов равно: 4 × 4 = 16. Конечно, программа Алисы, как и программа Боба, может меняться от минуты к минуте, но для каждой конкретной минуты одна из четырех программ в ящике Алисы определяет результат а и одна из четырех программ в приборе Боба определяет результат b.

Давайте изучим эти 16 возможных комбинаций и рассчитаем соответствующие им результаты игры. Помните, что наша цель – найти максимально возможный счет в рамках локального объяснения. Мы увидим, что невозможно создать аппараты, использующие локальные стратегии, которые бы давали счет больше 3. Вы можете принять мои слова на веру и сразу перейти к странице разделу «Победить в игре Белла: нелокальные корреляции» или убедиться в этом самостоятельно, потратив время на рассуждения в следующем абзаце. И я настоятельно рекомендую сделать именно так.

 

 

Начнем с сочетания программы № 1 для Алисы и программы № 1 для Боба. В этом случае оба результата всегда будут равны 0, то есть a = b = 0, и Алиса и Боб выигрывают три раза из четырех. В самом деле, они проигрывают лишь в том случае когда оба выбирают 1. Возьмем второе сочетание, скажем программу № 1 для Алисы (и поэтому всегда a = 0) и программу № 3 для Боба (поэтому b = y). Рассмотрим четыре пары возможных выборов, которые они могут сделать. При x = 0 и y = 0 значение результата будет (0, 0), и Алиса и Боб выигрывают – в смысле зарабатывают очко. При x = 0 и y = 1 участники проигрывают, так как результат будет (0, 1). При x = 1 и y = 0 результатом является (0, 0), значит, Алиса и Боб выигрывают. И наконец, при x = 1 и y = 1 значение результата будет (0, 1), что снова означает выигрыш, ведь при x = y = 1 цель состоит в том, чтобы получить разные результаты. Суммируем и получаем, что Алиса и Боб снова заработают 3 очка.

Теперь вы можете самостоятельно завершить доказательство для оставшихся 14 комбинаций вариантов программ. Или просмотреть готовые результаты, представленные в таблице 2.1.

Подведем итог. Какова бы ни была локальная стратегия создателя ящиков и какова бы ни была вследствие этого комбинация программ, Алиса и Боб никогда не смогут выиграть игру Белла более трех раз из четырех возможных. Физики предпочитают выражать это в виде неравенства. Оно называется неравенством Белла[13]. Учитывая, что это неравенство самым прямым образом относится к теме книги, я выпишу его здесь. Если даже вы не сможете полностью уяснить его значение, попытайтесь оценить его восхитительное изящество, в чем-то похожее на красоту музыкальной партитуры:

 

 

P (a = b |0, 0) + P (a = b |0, 1) + P (a = b |1, 0) + P (a ≠ b |1, 1) ≤ 3.

 

Выражение P (a = b | x, y) читается следующим образом: вероятность того, что a равно b, при условии, что сделан определенный выбор x и y. Выражение P (a ≠ b |1, 1) читается так: вероятность того, что a отличается от b, при сделанном выборе x = y = 1. Неравенство Белла утверждает как раз то, что мы только что обнаружили, а именно что сумма всех четырех вероятностей в игре Белла, которая дает счет игры, не может быть больше 3. Для локальных корреляций неравенство Белла всегда удовлетворяется.

 

Справка 3. Неравенство Белла. В общем смысле вероятность P (a, b | x, y) возникает из статистической смеси различных возможных ситуаций. К примеру, первая возможная ситуация, традиционно обозначаемая λ1, может произойти с вероятностью ρ (λ1), вторая возможная ситуация λ2 – с вероятностью ρ (λ2) и так далее. Эти вероятности ρ (λ) также могут использоваться для анализа в случаях, когда мы не знаем точно реальную ситуацию. На самом деле нам даже не нужно знать вероятность наступления конкретной ситуации. Достаточно знать, что разные ситуации возникают с разной вероятностью.

Эти ситуации λ могут включать квантово-механическое состояние системы, обычно обозначаемое как ψ. То есть они могут включать всю прошлую жизнь Алисы и Боба или даже состояние всей вселенной, кроме одного – выбор x и y должен быть независим от λ. С другой стороны, λ может быть очень и очень ограничено, подобно выбору стратегий Алисы и Боба в игре Белла. Когда-то λ назвали локальными скрытыми переменными, но лучше рассматривать их как физическое состояние систем (к примеру, ящиков Алисы и Боба), описываемое любой современной или будущей теорией. Итак, неравенства Белла что-то сообщают нам о структуре любой будущей физической теории, совместимой с сегодняшними экспериментами. При этом единственное допущение относительно λ состоит в том, что они не содержат информации о выборе x и y.

Для каждой ситуации λ условная вероятность всегда может быть выражена как

 

P (a, b | x, y, λ) = P (a | x, y, λ) · P (b | x, y, a, λ).

Предположение о локальности позволяет утверждать, что для любой λ происходящее в приборе Алисы не зависит от происходящего в приборе Боба, что выражается как P (a | x, y, λ) = P (a | x, λ) и наоборот: P (b | x, y, a, λ) = P (b |y, λ).

В итоге допущение, лежащее в основе всех неравенств Белла, может быть найдено путем усреднения по всем возможным ситуациям λ:

 

 

где ρ (λ) означает вероятность наступления ситуации λ.

 

До сих пор мы считали, что ящики Алисы и Боба содержат предустановленные программы, которые определяют результаты как следствие выбора x и y. (В информатике x и y называются входными данными). Но что будет, если эти программы не полностью определяют результат, но оставляют некоторое место случаю? Представим себе, например, что время от времени прибор Алисы случайно выбирает, исполнять ли ему программу № 1 или программу № 3, или же он время от времени просто выдает случайный результат. Можно ли это помочь им выиграть в игру Белла?

Нужно отметить, что выдать случайный результат – это, в сущности, то же самое, что осуществить случайный выбор между программой № 1 (которая выдает a = 0) и программой № 2 (которая выдает a = 1). Оказывается, эта стратегия бесполезна. Игра Белла подразумевает большое количество повторений и расчетов средних значений. Если в данную минуту прибор Алисы случайно выбирает одну программу из некоторого набора программ, то счет игры не будет отличаться от того, что мы получили бы, если бы ящик в каждую минуту использовал одну конкретную программу, выбранную случайным образом из этого набора. Учитывая, что в каждую минуту ящики используют одну специфическую программу, это не является ограничением. Введение случайных стратегий никак не поможет Алисе и Бобу выиграть игру Белла; на самом деле наоборот. Как мы уже видели, если приборы Алисы и Боба независимо производят случайные результаты, они получают только 2 очка.

Подводя итог, скажем, что никакая локальная стратегия не поможет выиграть в игру Белла более чем три раза из четырех. Как сказал бы физик, никакая локальная корреляция не может нарушить неравенство Белла. Другими словами, если бы Алиса и Боб все же сумели выиграть более часто, чем три раза из четырех, этому явлению не было бы локального объяснения.

Как мы уже знаем, существует только два типа локальных объяснений: первый основан на непрерывном распространении воздействия от одной точки к другой через пространство, а второй основан на существовании общей причины, что также подразумевает непрерывное распространение воздействия в пространстве из некоего общего момента в прошлом. В нашем случае объяснения первого типа исключаются огромным расстоянием между Алисой и Бобом и, как мы только что видели, объяснение второго типа не позволяет выиграть в игру Белла более чем три раза из четырех.