Определение коэффициента динамической вязкости

Предположим, что газ течет неперемешивающимися слоями. Опыт показывает, что если скорость V движения газа меняется от слоя к слою, то между двумя смежными слоями действует сила внутреннего трения F:

, (1)

где – градиент скорости, т.е. величина, показывающая, как быстро меняется скорость движения газа V в направлении, перпендикулярном к поверхности, разделяющей слои, S – величина поверхности, вдоль которой действует сила, h – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом динамической вязкости. В системе СГС он измеряется в пуазах (Пз): 1 Пз = 1 г/ (см×с), а в системе СИ – в Па×с или в кг/(м×с).

Молекулярно–кинетическая теория устанавливает следующее выражение для коэффициента динамической вязкости идеальных газов:

. (2)

На практике эта зависимость выполняется с точностью до коэффициента. Более точной является формула:

. (3)

Здесь, как и в предыдущей формуле, h – коэффициент внутреннего трения газа, r – плотность газа, – средняя длина свободного пробега молекул газа, – средняя арифметическая скорость молекул, k – коэффициент пропорциональности, который зависит от числа степеней свободы газа и учитывает распределение по скоростям. Для воздуха k = 0.5, соотношение (3) имеет вид:

. (4)

Для ламинарного течения несжимаемого газа через цилиндрическую трубу длины l и диаметра d справедлива формула Пуазейля:

, (5)

где D V – объем газа, протекающий за время D t через эту трубу, D p – разность давлений на концах трубы, h – коэффициент вязкости газа.

Для бесконечно малого промежутка времени dt формулу (5) можно переписать в виде:

. (6)

Формула (6) является основой для определения коэффициента динамической вязкости.

Экспериментальная установка (рис. 15) состоит из двух сообщающихся сосудов: длинной стеклянной трубки А, закрытой пробкой П с капилляром, и широкого сосуда В, который можно перемещать по стойке С установки в вертикальном направлении. Сосуд В снабжен пробкой с трехходовым краном К, который посредством резиновой трубки соединен с ручным насосом. Существует три положения крана: а) сосуд В соединен с насосом (); б) сосуд соединен с атмосферой и отключен от насоса (); в) сосуд соединен с атмосферой и насосом (). Положения а) и б) являются рабочими. Имеется также шкала, по которой можно отмечать положение жидкости в узком сосуде и поддерживать ее в широком сосуде на одном уровне.

Рис. 15

 

Рассмотрим течение газа через капилляр под действием разностей уровней жидкости в широком и узком сосуде (рис. 15). При этом разность давлений на входе и выходе капилляра невелика, поэтому можно пользоваться формулой (6).

Если широкий сосуд сообщен с атмосферой, то через капилляр просачивается воздух, так как разность уровней жидкости создает на концах капилляра разность давлений:

, (7)

где r – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, h – разность уровней жидкости в сосудах.

Пусть V – объем воздуха в узком сосуде. Очевидно, что

, (8)

где S – сечение сосуда, t – время. Знак (–) указывает, что объем газа растет, а высота жидкости уменьшается.

Подставляя (7) и (8) в (6) и вводя обозначение

, (9)

после простых преобразований получим:

. (10)

Это – дифференциальное уравнение экспоненциально затухающего процесса. Если при t ₀ = 0 h = h ₀, тогда решение его имеет вид:

. (11)

Измерив через равные промежутки времени высоту столба жидкости в трубе, можно по этим данным построить график линейной зависимости между и t. По графику легко найти коэффициент b, а зная b, по формуле (9). можно вычислить коэффициент динамической вязкости газа h:

. (12)

Определение длины свободного пробега молекул

Для определения средней длины свободного пробега молекул можно воспользоваться соотношением (4). При этом плотность воздуха в тех условиях, в которых определяется коэффициент вязкости, можно найти из уравнения Клапейрона–Менделеева:

, (13)

где p – атмосферное давление, m – молярная масса воздуха, R – универсальная газовая постоянная, Т – температура воздуха.

Среднеарифметическая скорость воздуха вычисляется по формуле:

. (14)

Объединяя (4), (13), (14), получаем:

. (15)