Некоторые сведения о последовательностях

Им. Д. И. Менделеева

 

 

Ряды

(Теория и практика)

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши…………….. 4

1.1. Некоторые сведения о последовательностях…………………………. 4

1.2. Числовой ряд. Основные понятия теории числовых рядов: сходмость, расходимость, сумма ряда. Примеры……………………………………… 5

1.3. Основные свойтсва сходящихся рядов, необходимый признак сходимости…………………………………………………………………… 8

1.4. Знакопостоянные ряды, ряды с положительными членами……………… 12

1.5. Интегральный признак Коши сходимости ряда с положительными членами……………………………………... ………………………………. 13

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши… 17

2.1. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд…………….............. 17

2.2. Признаки сравнения рядов с положительными членами……………….... 18

2.3. Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами…… 22

2.4. Радикальный признак Коши сходимости рядов с положительными

членами……………………………………………………………………… 25

Лекция 3. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов……………………………………………………. 27

3.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница........................................... 27

3.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов……………. 29

3.3. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов……………………… 34

Лекция 4. Функциональные ряды. Степенные ряды. Формула Тейлора.. 35

4.1. Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости………. 35

4.2. Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля……………………. 37

4.3. Свойтсва степенных рядов…………………………………………………. 42

4.4. Формула Тейлора…………………………………………………………… 43

Лекция 5. Ряды Тейлора и Маклорена……………………………………. 49

5.1. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости рядов Тейлора к исходной функции…………………………………………………………………. 49

5.2. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды…….. 53

Задания по теме «Ряды»……………………………………………………. 61

1. Числовые ряды. Ряды с положительными членами…………………… 61

2. Знакопеременные ряды……………………………………………....... 66

3. Функциональные ряды………………………………………………… 69

4. Ответы………………………………………………………………… 72

 

 

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

 

Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд

Определение 1. Числовой ряд вида называется рядом Дирихле с показателем р, R. Заметим, что при получаем ряд , который называется гармоническим.

Пример 1. Исследовать ряд Дирихле на сходимость в зависимости от р.

Решение. 1) В случае, если , члены ряда образуют неубывающую последовательность, а сам ряд расходится по необходимому признаку сходимости ().

2) В случае для исследования сходимости ряда используем интегральный признак Коши. Введём функцию , которая удовлетворяет всем условиям теоремы Коши (теорема 3, лекция 1, разд. 1.5): при она непрерывна, положительна и монотонно убывает, . Вычислим несобственный интеграл в двух случаях а) , б) , т.е. когда :

–Если , , то при , тогда , следовательно, несобственный интеграл расходится и расходится исходный ряд.

–Если , , то при , тогда , следовательно, несобственный интеграл сходится и сходится исходный ряд.

3) В случае имеем гармонический ряд , для которого
также применим интегральный признак Коши, т.е. рассмотрим интеграл , следовательно, несобственный интеграл расходится, а значит, гармонический ряд расходится.

Вывод: ряд Дирихле сходится, если , и расходится, если .

Лекция 3. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов

Свойство 1. Если ряд абсолютно сходится, то он абсолютно сходится при любой перестановке его членов, при этом сумма ряда не зависит от порядка расположения членов. Если − сумма всех его положительных членов, а − сумма всех абсолютных величин отрицательных членов, то сумма ряда равна .

Свойство 2. Если ряд абсолютно сходится и , то ряд также абсолютно сходится.

Свойство 3. Если ряды и абсолютно сходятся, то ряды также абсолютно сходятся.

Свойство 4 (теорема Римана). Если ряд условно сходится, то какое бы мы не взяли число А, можно переставить члены данного ряда так, чтобы его сумма оказалась в точности равной А; более того, можно так

переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы после этого он

расходился.

 

 

Свойства степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд , у которого интервал сходимости , тогда сумма степенного ряда определена для всех и можно записать равенство .

Свойство 1. Степенной ряд сходится абсолютно в любом промежутке , лежащем в интервале сходимости, причём сумма степенного ряда является непрерывной функцией при всех .

Свойство 2. Если отрезок , то степенной ряд можно
почленно интегрировать от a до b, т.е. если

, то

 

.
При этом радиус сходимости не меняется:

где − коэффициенты проинтегрированного ряда.

Свойство 3. Сумма степенного ряда есть функция, имеющая внутри интервала сходимости производные любого порядка. Производные от суммы степенного ряда будут суммами рядов, полученных из данного степенного ряда почленным дифференцированием соответствующее число раз, причём радиусы сходимости таких рядов будут те же, что и у исходного ряда.

Если ,
то ,
, …, и т.д.

Формула Тейлора

Рассмотрим важную задачу, которая решается в теории функциональных рядов: по заданной функции найти сходящийся функциональный ряд того или иного типа, сумма которого в области сходимости равнялась бы заданной функции. Такая задача называется разложением функции в ряд, например, степенной.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки

х ₀: , где , причём в этой окрестности функция имеет все производные до -го порядка.

Задача: Подберём многочлен n -й степени

по степеням так, чтобы в точке х ₀ совпадали значения и , а также значения их производных до ()-го порядка включительно. Тогда считаем, что в окрестности точки х ₀ такой многочлен будет приближать данную функцию с некоторой точностью.

Коэффициенты многочлена являются неопределенными коэффициентами, которые необходимо найти исходя из следующих условий:

, , , …, .

Для нахождения этих коэффициентов найдём производные до n -го порядка от :

,

,

…

,

, при всех R.

Подставим в эти соотношения и приравняем , где :

, , ,

, … .

Находим выражения для , решая полученную систему уравнений:

.

Получаем общую формулу для определения коэффициентов многочлена :

, . (4)

Тогда многочлен примет следующий вид: .
Этот многочлен называется многочленом Тейлора для функции

по степеням , где называются коэффициентами многочлена Тейлора, .

Таким образом, для каждой функции , удовлетворяющей поставленным условиям при , можно найти многочлен Тейлора (в точке х ₀ функция и многочлен совпадают со своими производными до n -го порядка).

Разность , обозначенную через , называют остаточным членом формулы Тейлора, которая имеет вид:

(5)

Формула (5) называется формулой Тейлора для функции по степеням порядка n. Отметим, что

.

Величина остаточного члена формулы Тейлора играет важную роль в оценке точности приближения заданной функции многочленом Тейлора. Существует два вида остаточных членов.

1) Остаточный член в форме Пеано. Преобразуем остаточный член формулы Тейлора, используя некоторые понятия из теории пределов.

а) Функция называется бесконечно малой при , если .

б) Бесконечно малая функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости относительно бесконечно малой функции при , если существует и записывается следующим образом: (что читается так: «β есть о малое от α).

Рассмотрим формулу Тейлора для функции по степеням
порядка n: . Остаточный член в формуле Тейлора имеет вид: . Из построения многочлена Тейлора следует Тогда откуда остаточный член формулы Тейлора можно записать в виде: , т.е. величина остаточного члена есть бесконечно малая более высокого порядка малости относительно при .

Формула Тейлора , в которой ,
называется формулой Тейлора с остаточным членов в форме Пеано. Поскольку остаточный член при является бесконечно малой величиной, то можно считать, что разность бесконечно мала, т.е. .

2) Остаточный член в форме Лагранжа. Запишем остаточный член в виде

 

, где Q (x) есть некоторая функция, подлежащая определению. Можно доказать, что , где точка ξ заключена между х и х ₀: , т.е. остаточный член имеет вид: . Тогда формула Тейлора примет вид , который называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Рассмотрим частные случаи формулы Тейлора.

– Если в формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа положить , то получаем формулу конечного приращения: (теорема Лагранжа).

– Если в формуле Тейлора положить , то получим формулу, которую называют формулой Маклорена:

,

где остаточный член можно записать в форме Пеано: или в форме Лагранжа:

.

Формула Маклорена является разложением функции в виде многочлена по степеням х.

Пример 5. Разложить функцию в виде многочлена третьего

порядка по степеням с остаточным членом в форме Лагранжа.

Решение. Запишем формулу Тейлора для функции в точке в

виде многочлена 3-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа

,

где .

Находим производные нужного порядка в точке :

, ; , ;
, ; , ; , , где .

Полученные данные подставляем в формулу Тейлора и вычисляем .

Можно сказать, что функция заменяется многочленом с точностью, которую можно определить, оценив остаточный член формулы Тейлора при .

 

 

Задания по теме «Ряды»

Выражение вида

,

где – члены ряда, – n-й или общий член ряда, называется бесконечным рядом.

Если члены ряда:

· числа, то ряд называется числовым;

• числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;
• числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;
• положительные числа, то ряд называется знакоположительным;

· числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;

• функции, то ряд называется функциональным;
• степени х, то ряд называется степенным;

· тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.

Основные понятия числового ряда

Числовым рядом называется сумма вида

, (1)

где называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда.

Суммы:

составленные из первых членов ряда (1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм

Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S – суммой сходящегося ряда, т.е.

и .

Эта запись равносильна записи

.

Если частичная сумма ряда (1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к или ), то такой ряд называется расходящимся.

Задание 1. Найти общий член числового ряда:

1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)

Ряд Дирихле

Ряд где p>0, называется рядом Дирихле. Этот ряд сходится при и расходится при . Частным случаем ряда Дирихле (при ) является гармонический ряд .

Задание 3. Исследовать на сходимость по признакам сравнения:

1)	6)
2)	7)
3)	8)
4)	9)
5)	10)

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами выполняется условие то ряд сходится при и расходится при .

Признак Даламбера не даёт решения, если . В этом случае для исследования ряда применяются другие признаки.

Задание 4. Исследовать на сходимость по признаку Даламбера:

 

1)	6)
2)	7)
3)	8)
4)	9)
5)	10)

Интегральный признак Коши. Пусть функция f(x) при x ≥1 удовлетворяет условиям:

1) непрерывна,

2) положительна,

3) монотонно убывает.

Тогда числовой ряд , где = f(n), n ≥1 сходится или расходится

одновременно со сходимостью или расходимостью интеграла

Задание 5. Исследовать на сходимость по интегральному признаку Коши следующие ряды:

1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)

Знакопеременные ряды

Функциональные ряды

Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида:

.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений , при которых данный ряд сходится.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, если при ряд сходится и притом абсолютно, а при ряд расходится. Радиус сходимости найдем, используя признак Даламбера:

т.е. если степенной ряд сходится при любых , удовлетворяющих данному условию и расходится при . Отсюда следует, что если существует предел ,то радиус сходимости ряда равен этому пределу и степенной ряд сходится при , т.е. в промежутке , который называется промежутком (интервалом) сходимости.

Если , то степенной ряд сходится в единственной точке . На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться.

Сходимость степенного ряда при и исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

Пример 2. Найти область сходимости ряда. Решение. Найдём радиус сходимости ряда:

Следовательно, ряд сходится при , т.е. при . При имеем ряд , который сходится по признаку Лейбница.

При имеем расходящийся ряд: . Ответ: областью сходимости исходного ряда является промежуток Задание 7. Найти область сходимости степенного ряда:

1)	6)
2)	7)
3)	8)
4)	9)
5)	10)

Ответы:

Задание 1. 1) , 2) , 3) , 4), 5) , 6) , 7) ,

8) , 9) , 10) .

Задание 2. 1) да, 2) да, 3) да, 4) нет, 5) нет, 6) да, 7) да, 8) нет, 9) нет, 10) да.

Задание 3. 1)сходится, 2) расходится, 3) расходится, 4) расходится, 5) сходится, 6) сходится, 7) расходится, 8) расходится, 9) сходится, 10) сходится.

Задание 4. 1) расходится, 2) сходится, 3) сходится, 4) сходится, 5) сходится, 6) сходится, 7) сходится, 8) расходится, 9) сходится, 10) расходится.

Задание 5. 1) расходится, 2) сходится, 3) сходится, 4) расходится, 5)

сходится, 6) расходится, 7) сходится, 8) расходится, 9) расходится, 10)

расходится.

Задание 6. 1) абсолютно сходится, 2) условно сходится, 3) условно сходится, 4) условно сходится, 5) абсолютно сходится, 6) абсолютно сходится, 7) абсолютно сходится, 8) абсолютно сходится, 9) условно сходится, 10) условно сходится.

Задание 7. 1) (-2;2], 2) , 3) , 4) (-4;4), 5) [-3;1), 6) [-1;5], 7) (-6;2), 8) (-2;1), 9) , 10) (0;4).

Им. Д. И. Менделеева

 

 

Ряды

(Теория и практика)

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши…………….. 4

1.1. Некоторые сведения о последовательностях…………………………. 4

1.2. Числовой ряд. Основные понятия теории числовых рядов: сходмость, расходимость, сумма ряда. Примеры……………………………………… 5

1.3. Основные свойтсва сходящихся рядов, необходимый признак сходимости…………………………………………………………………… 8

1.4. Знакопостоянные ряды, ряды с положительными членами……………… 12

1.5. Интегральный признак Коши сходимости ряда с положительными членами……………………………………... ………………………………. 13

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши… 17

2.1. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд…………….............. 17

2.2. Признаки сравнения рядов с положительными членами……………….... 18

2.3. Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами…… 22

2.4. Радикальный признак Коши сходимости рядов с положительными

членами……………………………………………………………………… 25

Лекция 3. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов……………………………………………………. 27

3.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница........................................... 27

3.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов……………. 29

3.3. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов……………………… 34

Лекция 4. Функциональные ряды. Степенные ряды. Формула Тейлора.. 35

4.1. Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости………. 35

4.2. Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля……………………. 37

4.3. Свойтсва степенных рядов…………………………………………………. 42

4.4. Формула Тейлора…………………………………………………………… 43

Лекция 5. Ряды Тейлора и Маклорена……………………………………. 49

5.1. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости рядов Тейлора к исходной функции…………………………………………………………………. 49

5.2. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды…….. 53

Задания по теме «Ряды»……………………………………………………. 61

1. Числовые ряды. Ряды с положительными членами…………………… 61

2. Знакопеременные ряды……………………………………………....... 66

3. Функциональные ряды………………………………………………… 69

4. Ответы………………………………………………………………… 72

 

 

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Некоторые сведения о последовательностях

Пусть каждому значению N поставлено в соответствие (по определённым правилам) определённое действительное число R; тогда множество упорядоченных действительных чисел называется числовой последовательностью и обозначается , где − общий член последовательности. Например, последовательность имеет общий член , где N.

Определение 1. Последовательность называется убывающей, если N, и возрастающей, если N.

Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число М, R, что N, и ограниченной снизу, если существует такое число М, R, что N.

Определение 3. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена как снизу, так и сверху, т.е. существует такое число М > 0

( R), что .

Определение 4. Число а называется пределом последовательности ,
если для любого сколь угодно малого положительного числа
найдётся такой номер N, зависящий от , что для всех натуральных чисел выполняется неравенство . Тогда означает,

 

что N такое, что для всех N: . При

этом говорят, что последовательность сходится к числу а.

Приведём некоторые свойства сходящихся последовательностей.

–Если последовательность имеет предел, то он единственен.

–Если последовательность имеет конечный предел, то эта последовательность ограничена.

–Если последовательность возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

–Если последовательность возрастает (убывает) и не ограничена сверху (снизу), то она имеет бесконечный предел + ¥ (− ¥).

1.2. Числовой ряд. Основные понятия теории числовых рядов:
сходимость, расходимость, сумма ряда. Примеры

Пусть задана бесконечная последовательность чисел R.

Определение 5. Бесконечным числовым рядом называется выражение вида , обозначаемое как