Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Знакопостоянные ряды, ряды с положительными членами
Установление сходимости или расходимости числового ряда − . Ряд с положительными членами всегда имеет сумму; если эта сумма конечна, то ряд сходится. Выяснение сходимости рядов с положительными членами опирается на признаки сходимости, которые являются либо необходимыми, либо достаточными, либо необходимыми и достаточными. В частности, к таким рядам применим приведенный выше необходимый признак сходимости рядов (теорема 1). Существует признак, являющийся необходимым и достаточным, который устанавливается следующей теоремой. Теорема 2. Для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Доказательство (необходимость). Пусть ряд сходится, тогда последовательность его частичных сумм сходится, а значит, она ограничена сверху. Доказательство (достаточность). Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел, т.е.соответствующий ряд сходится (теорема Вейерштрасса для числовых последовательностей). Теорема доказана. Следует отметить, что на практике этот признак трудно применим, хотя и представляет собой большой теоретический интерес. Далее рассматриваются некоторые признаки сходимости рядов с положительными членами, удобные для практического применения, которые являются только достаточными признаками (интегральный и радикальный признаки Коши, признаки сравнения, признак Даламбера). 1.5. Интегральный признак Коши сходимости ряда Теорема 3 (интегральный признак Коши). Пусть дан ряд , члены которого удовлетворяют трём условиям: а) , т.е. исходный ряд с положительными членами; б) члены ряда монотонно убывают, т.е. ; в) общий член ряда стремится к нулю: . Пусть существует непрерывная, монотонно убывающая, определённая при функция f (x), такая что , т.е. . Тогда, если несобственный интеграл сходится, то ряд тоже сходится; если указанный интеграл расходится, то этот ряд расходится.
Доказательство. Из условий теоремы следует при . Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линиями , , и осью 0 х (рис.1). Разобьём отрезок точками и рассмотрим n криволинейных трапеций. Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции Из геометрического смысла интеграла площадь криволинейной трапеции . Заменим эту площадь суммой площадей n прямоугольников с единичными основаниями: , , причём , а . Из графика (рис. 1) следует: , т.е. . Рассмотрим два случая. 1) Пусть сходится, т.е. имеет конечный предел . Так как , то и . Итак, частичные суммы ряда ограничены N, тогда по теореме 2 (необходимый и достаточный признак сходимости ряда с положительными членами) ряд сходится, значит, существует . 2) Пусть интеграл расходится, т.е. неограниченно возрастает при . Тогда из неравенства следует, что последовательность неограниченно возрастает: , т.е. ряд расходится. Теорема доказана. Замечание 1. Теорема остаётся верной и тогда, когда её условия выполняются не для всех членов ряда, а лишь начиная с k -го (), в таком случае рассматривается интеграл . Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; просмотров: 478; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.87.156 (0.006 с.) |