Принятие решений при управлении на основе теории игр

 

В экономике иногда приходится сталкиваться с ситуацией, когда при наличии многих участников эффективность реше­ния одного из них зависит от того, какие решения приняли другие участники. Например, доход предприятия от продажи изделия зависит не только от установленной на него цены, но и от количества купленных покупателем изделий. Или при вы­боре ассортимента товаров, выпускаемых предприятием, нуж­но учитывать, какой ассортимент товаров выпускают другие предприятия.

Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут догово­риться о совместных действиях; интересы участников не сов­падают. В этом случае может оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации та­кого типа называются конфликтными. Построением матема­тических моделей конфликтных ситуаций и разработкой мето­дов решения возникающих в этих ситуациях задач занимается теория игр.

В игре могут сталкиваться интересы двух или нескольких противников, поэтому игры разделяются на парные и множес­твенные. Если во множественной игре интересы игроков сов­падают, то они могут объединяться, создавая коалиции. Такие игры называются коалиционными.

Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, то есть определение для них оптимальной стратегии. Стратегией игрока называется система правил, однозначно определяющих поведение игрока на каждом ходе в зависимос­ти от ситуации, сложившейся в процессе игры. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным, в зависимости от это­го игры подразделяются на конечные и бесконечные.

 

Игры с "природой"

В некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется не­определённость, вызванная отсутствием информации об усло­виях, в которых осуществляется действие (покупатель­ский спрос, погода и т. д.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с "природой". Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (покупательский спрос, природа) действует случайно.

Условия игры задаются матрицей

(a_ij) _{m ´ n}.

Существует ряд критериев, которые используются при выборе оптимальной стратегии.

1. Критерий Вальде рекомендуется применять при максиминной стратегии. Она достигается из условия

max (min a_ij)

и совпадает с нижней ценой игры. Критерий является песси­мистическим, считается, что природа будет действовать наи­худшим для человека образом.

2. Критерий максимума выбирается из условия

max (max a_ij).

Критерий является оптимистическим, считается, что при­рода будет наиболее благоприятна для человека.

3. Критерий Гурвица рекомендует стратегию, определяемую по формуле

max { a min a_ij + (1 – a) max a_ij },

где a – степень оптимизма, изменяющаяся в диапазоне [0, 1].

Критерий придерживается некоторой промежуточной по­зиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наи­лучшего для человека поведения природы. При a = 1 критерий превращается в критерий Вальде, при a = 0 – в критерий максимума. На a оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем хуже последствия ошибочных решений, больше желания застрахо­ваться, тем a ближе к единице.

4. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе та­кой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

Элемент матрицы рисков (r_ij) находится по формуле

r_ij = max (a_ij – a_ij),

где max a_ij – максимальный элемент в столбце исходной мат­рицы.

Оптимальная стратегия находится из выражения

min { max (max a_ij – a_ij)}.

 

Задача 5.1

Фирма производит пользующиеся спросом детские пла­тья и костюмы, реализация которых зависит от состояния по­годы. Затраты фирмы в течение апреля-мая на единицу про­дукции составят: платья – А ден. ед., костюмы – В ден. ед. Цена реализации составит С ден. ед. и D ден. ед. соответствен­но.

По данным наблюдений за несколько предыдущих лет фир­ма может реализовать в условиях тёплой погоды Е шт. платьев и К шт. костюмов, при прохладной погоде – М шт. платьев и N шт. костюмов.

В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую ей максимальный доход.

Задачу решить графическим методом и с использованием критериев игр с природой, приняв степень оптимизма a, ука­занную в табл. 9.

Номер варианта определяется по последней цифре номера зачётной книжки.

Таблица 9

Исходные данные для решения задачи 5.1

 

Значения переменных	Вариант
А
В
С
D
E
K
M
N
a	0,4	0,6	0,3	0,7	0,5	0,4	0,3	0,7	0,6	0,5

Пример решения

Определить производственную программу предприятия в условиях риска и неопределённости для фирмы-производителя медикаментов и био­медицинских изделий в регионе. Известно, на летний пе­риод приходится пик спроса на лекарственные препараты сердечно-сосудистой группы и анальгетики, на осенний и весенний периоды – на препараты антиинфекционн­ой группы.

Затраты на 1 усл. ед. продукции за сентябрь-октябрь со­ставили: по первой группе (препараты сердечно-сосудистые и анальгетики) – 20 р.; по второй группе (антиинфекционные препараты) – 15 р.

Маркетинговые исследования позволили установить, что фирма может реали­зовать в течение этих месяцев в услови­ях теплой погоды 3050 усл. ед. продукции первой группы и 1100 усл. ед. продукции второй группы; в условиях хо­лодной погоды – 1525 усл. ед. продукции первой группы и 3690 усл. ед. второй группы.

В связи с возможными изменениями погоды ставится за­дача – определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую максимальный доход от реализации при цене продажи 40 р. за 1 усл. ед. продукции первой группы и 30 р. – второй группы.

 

Решение

 

Устанавливается две стратегии:

А ₁ – в этом году будет теплая погода;

А ₂ – погода будет холодная.

Если фирма примет стратегию А ₁ и в действительности будет теплая погода (стратегия природы B ₁), то выпущенная продукция (3050 усл. ед. препаратов первой группы и 1100 усл. ед. второй группы) будет полностью реализована и доход составит

3050 × (40 – 20) +1100 × (30 – 15) = 77 500 р.

В условиях холодной погоды (стратегия природы В ₂) препараты второй группы будут проданы полностью, а первой группы только в количестве 1525 усл. ед. и часть препаратов останется нереализованной. Доход составит

1525 × (40 – 20) + 1100 × (30 – 15) – 20 × (3050 – 1525) = 16500 р.

Аналогично, если фирма примет стратегию А ₂и в дейст­вительности будет холодная погода, то доход составит

1525 × (40 – 20) + 3690 × (30 – 15) = 85 850 р.

При теплой погоде доход составит

1525 × (40 – 20) + 1100 × (30 – 15) – (3690 – 1100) × 15 = 8150 р.

Рассматривая фирму и погоду в качестве двух игроков, получим платежную матрицу

В ₁ В ₂

(1)

А ₁ 77 500 16 500

А ₂ 8 150 85 850

 

a = max(16 500, 8150) = 16 500 р.,

b = min(77 500, 85 850) = 77 500 р.

Цена игры лежит в диапазоне 16 500 р. £ n £ 77 500 р.

Из платежной матрицы (1) видно, что при всех условиях до­ход фирмы будет не меньше 16 500 р., но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то доход фирмы может со­ставить 77 500 р.

Найдём решение игры графическим методом (2 ´ n).

Для этого обозначаем вероятность применения фирмой стратегии А ₁ через x ₁, стратегии А ₂ – через х ₂, причём x ₂ = 1 – х ₁.

Ожидаемые выигрыши рассчитываются по платёжной матрице (1), в которой доходы обозначаются как коэффициенты a_ij.

 

	2 игрок – "Природа"
	В1	В2
1 игрок (производитель	А1	x1	a11	a12
А2	x2 = 1 – х1	a21	a22

 

При этом ожидаемые выигрыши первого игрока (производителя) в зависимости от стратегии второго игрока (состояния "Природы") рассчитываются по зависимостям:

· для 1-й стратегии – (a ₁₁ – a ₁₂) х ₁ + a ₂₁;

· для 2-й стратегии – (a ₁₂ – a ₂₂) х ₁ + a ₂₂.

Следовательно для платёжной матрицы (1)

Стратегии 2-го игрока	Ожидаемые выигрыши 1-го игрока
	(77 500 – 8 150) ×x1 + 8 150 = 69 350 × x1 + 8 150
	(16 500 – 85 850) ×x1 + 85 850 = –69 350 ×x1 + 85 850

Для графического поиска оптимального значения через точки x ₁ = 0 и x ₁ = 1 на оси X ₁ проводятся перпендикулярные линии (рис. 5). Подставляя значения x ₁ = 0 и x ₁ = 1 выражения ожидаемых выигрышей 1-го игрока, находят значения, которые откладывают на соответствующих перпендикулярах, и соответствующие точки соединяют прямыми.

Рис. 5 Графический поиск оптимального значения

 

Оптимальная стратегия первого игрока определяется из равенства выражений (69 350 × x ₁ + 8 150) и (–69 350 × x ₁ + 85 850).

x ₁ = 0,56; x ₂ = 0,44.

Цена игры определяется из выражения

n = 69 350 × x ₁ + 8 150 = 46 986 р.

Оптимальный план производства лекарственных препара­тов составит

0,56 × (3050; 1100) + 0,44 × (1525; 3690) = (2379; 2239,6).

Таким образом, фирме целесообразно производить в тече­ние сентября и октября 2379 усл. ед. препаратов первой группы и 2239,6 усл. ед. препаратов второй группы, тогда при любой погоде она получит доход не менее 46 986 р.

 

В условиях неопределённости, если не представляется воз­можным фирме использовать смешанную стратегию (догово­ры с другими организациями), для определения оптимальной стратегии фирмы используем критерии природы и платежную матрицу (1).

1. Критерий Вальде

max (min a_ij) = max (16 500, 8 150) = 16 500 р.

Фирме целесообразно использовать стратегию А ₁.

2. Критерий максимума

max (max a_ij) = max (77 500, 85 850) = 85 850 р.

Фирме целесообразно использовать стратегию А ₂.

3. Критерий Гурвица

Для определённости примем критерий оптимизма a = 0,4, тогда для стратегии фирмы А ₁.

a min a_ij + (1 – a) max a_ij = 0,4 × 16500 + (1 – 0,4) × 77500 = 53100 р.;

для стратегии А ₂

a min a_ij + (1 – a) max a_ij = 0,4 × 8150 + (1 – 0,4) × 85850 = 54770 p.,

max (53 100, 54 770) = 54 770 p.

Фирме целесообразно использовать стратегию А ₂.

4. Критерий Сэвиджа.

Максимальный элемент в первом столбце платёжной матрицы (1) – 77 500, во втором столбце – 85 850.

Элементы матрицы рисков находятся из выражения

r_ij = max (a_ij – a_ij),

откуда

r ₁₁ = 77 500 – 77 500 = 0; r ₁₂ = 85 850 – 16 500 = 69 350;

r ₂₁ = 77 500 – 8 150 = 69 350; r ₂₂ = 85 850 – 85 850 = 0.

Матрица рисков имеет вид

0 69350

69350 0

min { max (max a_ij – a_ij)} = min(69 350, 69 350) = 69 350 p.

Итак, можно использовать любую стратегию А ₁ или А ₂.

Каждый из рассмотренных критериев не мо­жет быть признан вполне удовлетворительным для оконча­тельного выбора решений, однако их совместный анализ поз­воляет наглядно представить последствия принятия тех или иных управленческих решений.

При известном распределении вероятностей различных со­стояний природы критерием принятия решения является мак­симум математического ожидания выигрыша.

"Дерево" решений

На практике результат одного решения приводит к необходимости принятия следую­щего решения и т. д. Эту последовательность принятия реше­ний нельзя выразить таблицей доходов, поэтому приходится использовать другой алгоритм принятия управленческих ре­шений.

Графически подобные процессы могут быть представлены с помощью "дерева" решений. Такое представление облегчает описание многоэтапного процесса принятия управленческого решения в целом.

Рассмотрим "дерево" решений, которое применяют тогда, когда нужно принять несколько взаимосвязанных решений в условиях неопределённости в случае принятия решения, зави­сящего от исхода предыдущего или исходов испытаний.

Составляя дерево решений, рисуют "ствол" и "ветви", отображающие структуру проблемы. "Дерево" ре­шений располагают слева направо. "Ветви" обозначают возможные альтер­нативные решения, которые могут быть приняты, и возмож­ные исходы, возникающие в результате этих решений.

Квадратные "узлы" на дереве решений обозначают места, в которых принимаются решения, круглые "узлы" – места исходов. Так как не представляется возможным влиять на по­явление исходов, то в круглых узлах вычисляют вероятнос­ти их появления. Когда все решения и их исходы указаны, оценивается каждый из вариантов и проставляются денежные доходы. Все расходы, вызванные решениями, про­ставляются на соответствующих "ветвях".

Задача 5.2

 

Решить задачу с использованием "дерева" решений.

Фирма планирует построить среднее или малое предпри­ятие по производству пользующейся спросом продукции. Ре­шение о строительстве определяется будущим спросом на про­дукцию, которую предполагается выпускать на планируемом предприятии.

Строительство среднего предприятия экономически оправ­дано при высоком спросе, но можно построить малое пред­приятие и через 2 года его расширить.

Фирма рассматривает данную задачу на десятилетний пе­риод. Анализ рыночной ситуации, проведенный службой мар­кетинга, показывает, что вероятности высокого и низкого уров­ней спроса составляют А и В соответственно.

Строительство среднего предприятия составит С млн р., малого – D млн р. Затраты на расширение малого предприя­тия оцениваются в Е млн р.

Ожидаемые ежегодные доходы для каждой из возможных альтернатив:

· среднее предприятие при высоком (низком) спросе – F (K) млн р.;

· малое предприятие при низком спросе – L млн р.;

· малое предприятие при высоком спросе – М млн р.;

· расширенное предприятие при высоком (низком) спросе дает N (P) млн р.;

· малое предприятие без расширения при высоком спросе в течение первых двух лет и последующем низком спросе дает R млн р. за остальные 8 лет.

Определить оптимальную стратегию фирмы в строитель­стве предприятий по выпуску продукции.

Исходные данные для решения задачи представлены в табл. 10. Номер варианта определяется по последней цифре номера зачётной книжки.

Таблица 10

Исходные данные для решения задачи 5.2

 

Значения переменных	Вариант
А	0,7	0,8	0,75	0,6	0,65	0,7	0,8	0,75	0,6	0,65
В	0,3	0,2	0,25	0,4	0,35	0,3	0,2	0,25	0,4	0,35
С						8,5	7,5	9,5	6,5	7,5
D		2,5		1,5		2,8	1,7	2,6	1,2	1,8
E						4,6	3,8	5,2	2,3	3,4
F		1,8	1,6	1,4	1,2	1,7	1,5	1,9	1,3	1,4
K	0,5	0,45	0,4	0,3	0,2	0,4	0,35	0,5	0,25	0,38
L	0,4	0,35	0,3	0,2	0,15	0,32	0,22	0,36	0,15	0,25
M	0,5		0,3	0,25	0,2	0,33	0,28	0,45	0,25	0,27
N	1,8	1,7	1,6	1,5	1,3	1,65	1,55	1,75	1,4	1,6
P	0,4	0,3	0,25	0,2	0,15	0,26	0,22	0,35	0,18	0,24
R	0,4	0,35	0,28	0,18	0,1	0,32	0,21	0,37	0,15	0,2

 

Пример решения

 

Например, требуется принять решение о замене старого оборудо­вания на новое того же вида или его ремонте. Отремонтиро­ванное оборудование впоследствии можно частично заменить на новое, более современное, или отремонтировать его заново.

Решение определяется будущим спросом на продукцию, ко­торую производят на этом оборудовании.

Полная замена оборудования экономически оправдана при высоком уровне спроса. С другой стороны, можно отремонти­ровать старое оборудование и через один год, например, заме­нить его на новое, более совершенное, или заново его отремон­тировать.

В данной задаче процесс принятия решения состоит из двух этапов: решение в настоящий момент времени о замене или ремонте оборудования и решение, принимаемое через один год, относительно частичной его замены и ремонта.

Предполагается, что спрос может оказаться высоким, сред­ним и низким.

Дерево решений имеет два типа вершин: "решающие" и "случайные" (рис. 6).

 

Рис. 6 Дерево решений

 

Начиная с "решающей" вершины 1 необходимо принять ре­шение о полной замене оборудования или его ремонте.

Вершины 2 и 3 являются "случайными". Фирма будет рассматривать возможность установления более совершенного оборудования или повторного ремонта старого в том случае, если спрос по истечении одного года установится на высоком уровне. Поэтому в вершине 4 принимается решение о частич­ной замене старого оборудования более совершенным или ре­монте старого. Вершины 5 и 6 "случайные".

Допускается, что фирма рассматривает эту задачу на пя­тилетний период. Анализ рыночной ситуации показывает, что вероятности высокого, среднего и низкого уровней спроса со­ставляют соответственно 0,6, 0,3 и 0,1. Замена новым обору­дованием того же вида, что и старое, обойдется в 2,5 млн р., а ремонт старого – в 0,8 млн р.

Затраты на частичную замену оборудования более совершенным оцениваются в 1,5 млн р., а повторный ремонт старого – в 0,8 млн р.

Ежегодные доходы для каждой стратегии фирмы следую­щие.

1. Замена старого оборудования на новое того же вида при высоком, среднем и низком уровнях спроса даёт соответственно 0,95; 0,7 и 0,45 млн р..

2. Ремонт старого оборудования при высоком, среднем и низком уровнях спроса оценивается соответственно в 0,3; 0,15 и 0,1 млн р..

3. Частичная замена оборудования на более совершенное при высоком, среднем и низком уровнях спроса составит соответственно 0,9; 0,6 и 0,4 млн р.

4. Повторный ремонт старого оборудования при высоком, среднем и низком уровнях спроса предполагает 0,3; 0,2 и 0,1 млн р. соответственно.

Определим оптимальную стратегию фирмы в замене обо­рудования.

 

Решение

 

Оценим результаты каждой стратегии и опре­делим, какие решения следует принимать в "решающих" вер­шинах 1 и 4.

Вычисления начнем с этапа 2. Для последних 4 лет альтер­нативы, относящиеся к вершине 4, оцениваются так:

ДЧЗ = (0,9 × 0,6 + 0,6 × 0,3 + 0,4 × 0,1) × 4 – 1,5 = 1,54 млн р.,

ДДР = (0,3 × 0,6 + 0,2 × 0,3 + 0,1 × 0,1) × 4 – 0,8 = 0,2 млн р.,

где ДЧЗ – доход от частичной замены оборудования на более совершенное, ДДР – доход от замены оборудования, прошед­шего дважды ремонт.

Так как ДЧЗ > ДДР, то в вершине 4 выгоднее произвести частичную замену оборудования на более совершенное, при этом доход составит 1,54 млн р.

Для дальнейших расчетов в вершине 4 можно оставить од­ну ветвь, которой соответствует доход в 1,54 млн р. за 4 года.

Вычислим доходы на 1-м этапе для "решающей" верши­ны 1:

ДЗН = (0,95 × 0,6 + 0,7 × 0,3 + 0,45 × 0,1) × 5 – 2,5 = 1,625 млн р.,

ДЗО = 0,3 × 0,6 × 1 + 0,15 × 0,3 × 5 + 0,1 × 0,1 × 5 +

+ 1,54 – 0,8 = 1,195 млн р.,

где ДЗН – доход от замены старого оборудования на новое того же вида, ДЗО — доход от отремонтированного оборудо­вания и дальнейшей замены на более совершенное.

Так как ДЗН > ДЗО,то оптимальным решением в верши­не 1 является полная замена старого оборудования на новое того же вида.

Итак, оптимальной стратегией фирмы в замене обору­дования является полная замена старого оборудования на новое того же вида, при этом доход составит 1,625 млн р.

 

 

Методы принятия управленческих решений: методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направления 080200 – "Менеджмент". – Брянск: БГТУ, 2013. – 44 с.