Модели ядра: капельная и оболочечная

Для объяснения свойств ядер, процессов происходящих с их участием, а также для предсказания возможных новых эффектов, требуется построение такой теории ядра, которая корректно и полно описывала бы все ядерные явления. Это весьма сложная задача, поскольку специфика ядра не позволяет простыми путями получать информацию о внутренних процессах и строении. Кроме того, ядро является системой большого числа частиц. Математическая задача уже в случае 3 – 4 взаимодействующих тел становится решаемой только с помощью высокопроизводительной вычислительной техники. Построение качественных моделей – это обходной путь, позволяющий сравнительно простыми математическими законами описать совокупность свойств ядер.

Одна из таких моделей – капельная модель – была предложена Я. И. Френкелем в 1939 г. и затем развита Н. Бором. Френкель обратил внимание на то, что нуклоны в ядре, так же как молекулы в капле жидкости, взаимодействуют с ограниченным числом близлежащих частиц. Крайне малая сжимаемость ядерного вещества дополнила аналогию с жидкостью. Учитывая, что в ядре содержится некоторое количество положительно заряженных протонов, то в рамках данной модели следует считать ядро наэлектризованной каплей.

Рис. 13.2. Капельная модель ядра

Капельная модель позволяет вывести полуэмпирическую формулу для энергии связи в ядре. Системе нуклонов предпочтительнее состояние с максимальным значением энергии связи. При этом существует ряд сил, наличие которых снижает значение полной энергии.

Для определения зависимости удельной энергии связи ядра от числа нуклонов необходимо ввести энергию U, которая характеризует каждую нуклон-нуклонную связь. На каждый из пары нуклонов приходится половина этой энергии. Из геометрических соображений следует, что каждый нуклон окружен 12 нуклонами ближнего порядка. Тогда объемная энергия ядра равна: (13.5)

где A число нуклонов в ядре, положим произведение 6U = а.

В действительности в каждом ядре часть нуклонов находится на поверхности ядра и имеет менее 12 «соседей». Поэтому необходимо учитывать поверхностную энергию. Она играет заметную роль в легких ядрах, в которых большая часть нуклонов находится на поверхности.

Учитывая формулу (13.3), получим, что площадь поверхности ядра равна: (13.6)

Поверхностная энергия отрицательна и пропорциональна площади поверхности ядра, следовательно:

(13.7)

Существование поверхностной энергии определяет стремление ядра принять сферическую форму, которая обеспечивает минимальную площадь поверхности и, следовательно, минимальное значение поверхностной энергии при заданном объеме (количестве нуклонов). Т.о., сферическая форма соответствует минимальному снижению полной энергии связи ядра. Аналогичным образом силы поверхностного натяжения заставляют каплю жидкости принимать вид сферы, если на нее не действуют внешние силы.

Электростатические силы отталкивания между каждой парой протонов в ядре определяют еще одну поправку к полной энергии связи ядра. Она эквивалентна работе, которую нужно совершить, чтобы свести вместе из бесконечности Z протонов в объем, равный объему ядра. В ядре, содержащем Z протонов, эта работа пропорциональна числу протонных пар и обратно пропорциональна радиусу ядра (13.3):

(13.8)

Кулоновская энергия также отрицательна, поскольку обусловлена отталкиванием нуклонов, т.е. направлена на разрушение связей в ядре.

Полная энергия связи ядра E_св является суммой объемной, поверхностной и кулоновской энергий:

(13.9)

Откуда удельная энергия связи ядра, т.е. энергия, приходящаяся на один нуклон, равна:

(13.10)

На рис. 13.3 показаны экспериментальные зависимости разных видов энергий от числа нуклонов в ядре.

Сравнивая соответствующие кривые с теоретическими зависимостями, полученными в рамках капельной модели ядра, можно сказать, что данная теория вполне может быть использована в теоретических расчетах некоторых параметров ядра и для объяснения ряда эффектов.

13.3. Зависимость удельной энергии связи атомного ядра от числа нуклонов

Оболочечная модель была развита лауреатами Нобелевской премии американкой Марией Гепперт-Майер и немцем Йоханом Х. Д. Йенсеном.

Согласно этой модели, нуклоны в ядре взаимодействуют не друг с другом (как это предполагается в капельной модели), а с усредненным центрально-симметричным силовым полем. Аналогичная ситуация реализуется в многоэлектронном атоме, где движение каждого электрона происходит в усредненном поле ядра и остальных электронов. В рамках модели нуклоны находятся на некоторых энергетических уровнях, сгруппированных в оболочки. Нуклоны, так же как и электроны, являются ферми-частицами, то есть на каждом уровне могут находиться два нуклона с антипараллельными спинами.

С увеличением числа нуклонов в ядре происходит постепенное заполнение оболочек, при этом некоторые свойства ядер периодически повторяются в зависимости от Z (число протонов) и N (число нейтронов), так же как периодически меняются свойства атомов в зависимости от Z. Напомним, что в атомах с 2, 10, 18, 36, 54 и 86 электронами все оболочки полностью укомплектованы (см. раздел 8). Такие атомы являются инертными газами, причем электронные конфигурации довольно устойчивы, что объясняет их химическую инертность.

В ядрах ситуация такова: ядра с числом нейтронов или протонов, равным 2, 8, 20, 28, 50, 82 и 126, имеют бóльшую распространенность. Эти числа называются магическими. Логично предположить, что ядра с магическим числом протонов или нейтронов более стабильны – такие ядра также называют магическими. Ядра, в которых число и протонов, и нейтронов является магическим, называются дважды магическими. Они особенно устойчивы. Существует всего пять подобных ядер:

(Z = 2, N = 2)

(Z = 8, N = 8)

(Z = 20, N = 20)

(Z = 20, N = 28)

(Z = 82, N = 126)

В частности, ядро гелия является настолько стабильным, что способно как единое целое испускаться тяжелыми ядрами при радиоактивном распаде (см. далее раздел 14). Ядро гелия называется α -частицей.

Поскольку заполнение энергетических состояний ядра происходит по принцип Паули (см. раздел 8), то логичным будет предположить, что ядра, содержащие четное число протонов и нейтронов («четно-четные» ядра), т.е., имеющие заполненные уровни обоих типов, будут более стабильными, чем «нечетно-нечетные» ядра, уровни протонного и нейтронного типов которых являются заполненными наполовину. Это подтверждается фактом существования 160 стабильных «четно-нечетных» нуклидов, тогда как среди «нечетно-нечетных» нуклидов стабильны только четыре: , , и .

Согласно оболочечной модели ядра, как и атомы, могут иметь возбужденные состояния. Переход в одно из таких состояний возможен под действием внешней энергии. Соответственно снятие возбуждения происходит с излучением такой же энергии. В отличие от атомов, энергии, характерные для ядерных переходов, имеют величину порядка нескольких МэВ (1 МэВ = 10⁶ эВ). Описание энергетических переходов в ядре с помощью оболочечной модели хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Таким образом, рассмотренные модели с одной стороны можно считать близкими к верным, т.к. подтверждаются экспериментально. С другой стороны, они противоречат друг другу. В рамках капельной модели нуклоны считаются взаимодействующими (сталкивающимися) между собой, в рамках оболочечной модели нуклоны движутся в силовом поле независимо друг от друга. Даже в плотноупакованном ядре нуклон-нуклонные столкновения отсутствуют из-за принципа запрета Паули. При столкновении один нуклон должен передать свою энергию другому нуклону, переходя в состояние с меньшей энергией, при этом второй нуклон переходит в состояние с большей энергией. Однако все состояния с низкой энергией уже заняты, и такая передача энергии может происходить только при нарушении принципа Паули, т.е. не может произойти.

Несмотря на очень разный подход и модель жидкой капли, и оболочечная модель ядра позволяют объяснить большое количество свойств ядер. В последнее время делались успешные попытки создания теорий, обладающих достоинствами каждой из этих моделей. Одной из самых удачных является обобщенная модель, совмещающая принципы капельной и оболочечной моделей.

Ядерные силы

Упомянутые ядерные силы характеризуют одно из фундаментальных взаимодействий, которое получило название сильного взаимодействия. Существует 4 вида фундаментальных взаимодействий – по порядку убывания их силы: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное (последнее является универсальным и действует между любыми частицами, но в мире микрочастиц существенной роли не играет).

Ядерные силы являются силами притяжения. Именно они удерживают в ядре нуклоны, не смотря на довольно внушительное кулоновское отталкивание. При расстояниях, меньших 0.5 Ферми, притяжение сменяется отталкиванием, благодаря чему нуклоны в ядре не слипаются.

Ядерные силы являются короткодействующими – это означает, что они действуют только на очень коротких расстояниях (~ 10^–15м). Поэтому в обычных условиях ядра различных атомов «не замечают» друг друга.

Все силы, возникающие между различными парами нуклонов, одинаковы. Зарядовая независимость ядерных сил – это следствие того, что ядерное взаимодействие имеет неэлектростатическую природу. Величина ядерной силы не зависит от наличия или отсутствия у нуклона электрического заряда.

Ядерные силы не являются центральными, их нельзя представлять направленными вдоль прямой, соединяющей два нуклона.

Силы взаимодействия между нуклонами обладают свойством насыщения. Это означает, что каждый нуклон взаимодействует с ограниченным количеством соседних нуклонов. Поскольку кулоновское отталкивание существенно по всему объему ядра, то в тяжелых ядрах нейтроны не в состоянии полностью скомпенсировать это отталкивание. Поэтому в природе не существует стабильных ядер с числом нуклонов больше 209, из них протонов не больше 83. Последний стабильный элемент в таблице Менделеева имеет порядковый номер 83 – это изотоп висмута . Все более тяжелые ядра являются радиоактивными, для них наблюдается спонтанное превращение в более легкие ядра с испусканием α -частицы.

Взаимодействие между нуклонами в ядре осуществляется при помощи обмена особыми частицами, которые называются π-мезонами. Поэтому такое взаимодействие носит обменный характер. Все π-мезоны, находящиеся в свободном состоянии, подразделяются на три группы, которые отличаются между собой электрическим зарядом, массой и временем жизни: π⁰, π⁺, π ^–. Находясь в свободном состоянии, они имеют следующие свойства:

m_π± = 273.2· m_е, электрический заряд q = ± e, время жизни τ = 2.6·10^–8c,

m_π0 = 264.2 m_e, электрический заряд q = 0, время жизни τ = 1.9·10^–16c,

где m_e – масса электрона.

Протоны и нейтроны обладают так называемым барионным зарядом B = +1. У π-мезонов барионный заряд отсутствует (В = 0), поэтому при обмене этими частицами барионный заряд нуклонов сохраняется, что является фундаментальным законом природы.

Если имеет место взаимодействие между двумя нуклонами, это означает, что эти два нуклона непрерывно обмениваются между собой другими частицами. Итак, нуклоны и протоны непрерывно испускают и поглощают π -мезоны, точнее:

а) нейтрон, испуская π ^– -мезон, теряет отрицательный электрический заряд и превращается из нейтрального в положительно заряженный нуклон, т.е. в протон; нейтрон может поглотить соответственно только π ⁺ -мезон, превратившись при этом в протон;

б) протон, наоборот, испускает только π ⁺ -мезон, соответственно превращается из положительно заряженного нейтральный нуклон, т.е. в нейтрон; поглотить же протон может только π ^– -мезон, получив при этом отрицательный заряд, компенсирующий собственный положительный, и став нейтроном;

в) протоны и нейтроны могут также испускать и поглощать π ⁰ -мезон, при этом взаимных превращений не происходит – протон остается протоном, нейтрон – нейтроном.

π-мезоны настолько быстро переходят из нуклона в нуклон, что увидеть их в переходном состоянии невозможно. Чтобы их зарегистрировать, необходимо разрушить целостность ядра, для чего нужна колоссальная энергия.

Теория π-мезонного обмена обладает рядом достоинств, в качестве которых можно выделить следующие: 1) объяснение наличия короткодействия ядерных сил, 2) объяснение причины независимости действия ядерных сил от величины и знака электрического заряда. В тоже время до сих пор не объяснена физическую причина возникновения сил отталкивания между нуклонами на расстояниях, меньших 0.2 Ферми, не объяснена физическая причина насыщения ядерных сил и не учитывается влияние спина нуклонов на особенности взаимодействия между ними. Следовательно, изучение природы ядерных сил продолжается.

Образование ядер. Дефект масс

Рассмотрим процесс образования ядра. Природа образования любого ядра такова, что масса стабильного ядра всегда меньше суммы масс составляющих это ядро нуклонов.

Например, ядро дейтерия, называемое дейтроном, состоит из протона и нейтрона. Масса атома дейтерия = 2.014102 атомных единиц массы (а.е.м.), атом дейтерия от атома водорода отличается одним лишь нейтроном. Подсчеты показывают, что сумма масс атома водорода и нейтрона больше массы дейтерия:

m_H + m_n = 1.007825 а.е.м. + 1.008665 а.е.м. = 2.016490 а.е.м. > 2.014102 а.е.м.

Разница масс составляет 0.002388 а.е.м., если перевести эту величину в единицы энергии, то получим: 0.002388 а.е.м. · 931 МэВ/а.е.м. = 2.23 МэВ.

Полученное значение энергии и будет энергией связи ядра. Входящие в его состав нуклоны удерживаются вместе очень мощными силами. Чтобы разделить ядро на части, необходимо совершить работу против действия этих сил. Величина именно этой работы является мерой прочности ядра и называется энергией связи.

Рис. 13.4. Реакция деления дейтрона (ядра дейтерия)

Эксперименты по расщеплению ядер показали, что для разрушения дейтрона фотон γ -излучения должен иметь энергию не менее 2.23 МэВ (рис. 13.4). Энергия связи меняется от 2.23 МэВ для дейтрона (самого легкого составного ядра) до 1640 МэВ для (самого тяжелого стабильного ядра).

Так как для расщепления ядра необходимо затратить энергию, равную энергии связи, то реакция синтеза ядер из отдельных нуклонов должна сопровождаться выделением той же самой энергии. Изменение энергии полученной системы оказывается эквивалентным изменению массы полученной системы:

(13.11)

Разницу между массой конечного ядра и массой нуклонов, из которых это ядро образовалось, принято называть дефектом массы:

(13.12)

где m_p – масса протона, m_n – масса нейтрона, М_я – масса ядра.

Если сравнить энергию связи ядра с энергией связи молекул, то оказывается что энергия, выделяющаяся при синтезе стабильных ядер, в миллионы раз больше, чем энергия, освобождающаяся при образовании молекулы.

Важной характеристикой ядра является также средняя энергия связи – энергия связи, приходящаяся на один нуклон:

(13.13)

где N – число нуклонов в ядре. Наибольшей энергией связи, приходящейся на каждый нуклон в ядре, обладают элементы со средними массами, максимальной из них – . Ядра этих атомов обладают наибольшей стабильностью. Большинство ядер имеют среднюю энергию связи порядка 8 МэВ на каждый нуклон, что соответствует энергии 1.85·10¹¹ ккал на каждый кг вещества. Чтобы оценить эту величину, сравним ее с энергией, выделяющейся при сжигании бензина, она составляет 1.13·10⁴ ккал на кг топлива, что в 10 миллионов раз меньше энергии, которая выделилась бы при синтезе 1 кг ядер.

РАДИОАКТИВНОСТЬ И ЕЕ ВИДЫ