Сложение чисел в двоичном дополнительном коде

 

Чтобы сложить числа, представленные в двоичном дополнительном коде, сле­дует использовать тот же алгоритм, что и для сложения обычных двоичных чи­сел. Однако нужно учесть тот факт, что в этом коде все представляемые числа, включая и искомый результат, имеют одинаковую длину. Это означает, что, при суммировании представленных в этом коде чисел, любой бит переноса, появ­ляющийся на левом конце результирующего значения при сложении самых старших разрядов, должен отбрасываться. Например, при суммировании бито­вых комбинаций 0101 и 0010 будет получен результат 0111, а при сложении комбинаций 0111 и 1011 — результат 0010 (0111 + 1011 = 10010, после чего результат усекается до 0010).

Учитывая сказанное выше, рассмотрим три примера сложения, показанные на рис. 1.21. В каждом случае исходные числовые значения сначала преобразо­вываются в четырехразрядный двоичный дополнительный код, а затем выполня­ется операция суммирования, согласно описанному выше алгоритму. Получен­ный результат вновь преобразуется в десятичное значение.

Обратите внимание, если бы при сложении использовался традиционный ме­тод, которому нас обучали еще в начальной школе, то для решения третьей за­дачи потребовались бы совершенно иные действия (операция вычитания), от­личные от используемых в двух предыдущих задачах. Однако за счет преобразования исходных данных в двоичные дополнительные коды можно вычислить результат с помощью одного и того же алгоритма сложения. Таким образом, ос­новным преимуществом двоичного дополнительного кода является то, что опе­рация сложения для любых целых чисел со знаком осуществляется с помощью одного и того же алгоритма.

 

Рис. 1.21 Сложение чисел в двоичном дополнительном коде

 

В отличие от учеников начальной школы, которые должны вначале освоить опе­рацию сложения, а затем операцию вычитания, машины, в которых используется двоичный дополнительный код, должны уметь только суммировать числа и изме­нять знак числа на обратный. Например, операция вычитания 7-5 аналогична операции сложения 7 + (-5). Если машине потребуется вычесть число 5 (представленное битовой комбинацией 0101) из числа 7 (представленного битовой комбинацией 0111), то она сначала поменяет знак числа 5 на -5 (представляемое как битовая комбинация 1011), а затем выполнит операцию сложения для значений 0111 и 1011. В результате будет получено значение 0010, представляющее десятич­ное число 2. Все это будет выглядеть следующим образом:

 

Из этого примера видно, что при использовании двоичного дополнительного кода необходимо реализовать электронные схемы только для осуществления операций сложения и отрицания. Этого будет достаточно для выполнения как операций сло­жения, так и вычитания.

 

Двоичная нотация с избытком

 

Теперь давайте рассмотрим двоичную нотацию с избытком, которая является еще одним способом представления целых чисел. Каждое число в этой нотации представлено битовой комбинацией одной и той же длины. Чтобы сформировать представление числа в двоичной нотации с избытком, сначала выбирается длина битовой комбинации, а затем в порядке счета в обычной двоичной системе последовательно записываются все возможные битовые комбинации, имеющие установленную длину. При анализе полученного результата можно заметить, что первая битовая комбинация с единицей в старшем разряде находится почти в середине списка. Именно она выбирается в этой нотации для представления чис­ла 0. Все последующие комбинации с единицей в старшем разряде будут пред­ставлять числа 1, 2, 3,... соответственно. Предыдущие комбинации в обрат­ном направлении используются для представления чисел -1, -2, -3,.... Кодо­вые значения, получаемые при использовании четырехразрядных битовых комбинаций, показаны на рис. 1.22. В частности, число 5 представлено комби­нацией 1101, а число -5 представлено комбинацией 0011. (Обратите внимание, что различие между двоичной нотацией с избытком и двоичным дополнитель­ным кодом состоит только в противоположности значений знаковых битов.)

Рис 1.22

 

Таблица значений, представленная на рис. 1.22, известна как двоичная нота­ция с избытком восемь. Чтобы понять, почему она так называется, сначала оп­ределим значения кодовых комбинаций как обычных двоичных значений, а за­тем сравним полученный результат с тем значением, которое присвоено каждой кодовой комбинации в двоичной нотации с избытком восемь. В результате мы обнаружим, что соответствующее кодовой комбинации двоичное число превыша­ет представляемое этой комбинацией значение на 8. Например, комбинация 1100 обычно используется для представления числа 12, а в двоичной нотации с избытком восемь эта же комбинация представляет число 4. Это же справедливо и для комбинации 0000, которая обычно представляет число 0, а в данной нотации — число -8. Если же двоичная нотация с избытком создается для комбина­ций длиной пять битов, она будет называться двоичной нотацией с избытком 16. В этом случае комбинация 10000 будет представлять число 0, а не 16, как в обычной двоичной системе. Этот же принцип может быть использован для име­нования любой конкретной схемы двоичной нотации с избытком. Например, схему с тремя двоичными разрядами, представленную на рис. 1.23, можно на­звать двоичной нотацией с избытком четыре.

Рис 1.23