Диапазон значений знаковых чисел

Рассмотрим однобайтовое представление. Возможные дополнительные коды знаковых чисел:

0111 1111

...

0000 0001

0000 0000

1111 1111

1111 1110 Отрицательные числа

...

1000 0000

Рассмотрим десятичные значения этих чисел:

0111 1111 = 2⁷ – 1 = 128 - 1 = 127

0000 0001 = 1

0000 0000 = 0

1111 1111 -> -(000 0000 + 1) = -1

1111 1110 -> -(000 0001 + 1) = -2

1000 0000 -> -(111 1111 + 1) = -(1000 0000) = -2⁷ = -128

Таким образом диапазон значений знаковых однобайтовых чисел:
от -128 до 127.

Аналогично, диапазон значений двухбайтовых целых чисел:
-2¹⁵ - +(2¹⁵ -1) (от -32768 до 32767).

Диапазон значений четырехбайтовых целых чисел со знаком:
-2³¹ - +(2³¹ – 1) (от -2 147 483 648 до 2 147 483 647)

Сложение и вычитание целых чисел

 

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию арифметико-логического устройства процессора.

Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:

 

 

Получен правильный результат.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

 

 

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = –7₁₀.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

 

 

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

 

4. А и В отрицательные. Например:

 

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код чис­ла –11₁₀ вместо обратного кода числа –10₁₀) компьютер исправляет перено­сом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = –10₁₀.

Переполнение

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды ре­зуль­тата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Та­кая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в ком­пью­тере используются специальные средства. Ниже приведены два возмож­ных случая переполнения.

5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2^n–1, где n — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2^n–1 = 2⁷ = 128). Например:

 

Обратите внимание: в результате сложения положительных чисел полу­чен отрицательный результат!

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для раз­мещения восьмиразрядной суммы (162₁₀ = 10100010₂), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несов­па­де­ние знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством пере­полнения разрядной сетки.

6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2^n–1. Например:

 

В результате сложения отрицательных чисел полу­чен результат > 0!

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что сви­де­тельствует о переполнении разрядной сетки.

 

Сложение дополнительных кодов. Здесь также имеют место рассмот­рен­ные выше шесть случаев:

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотрен­но­го для обратного кода (коды неотрицательных чисел совпадают).

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

 

Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в пря­мой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему раз­ря­ду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –7₁₀.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

 

 

Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4. А и В отрицательные. Например:

 

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу пере­носа из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения

Для обнаружения переполнения разрядной сетки знаковый разряд дуб­ли­руется. Такое представление чисел называется модифицированным допол­нительным кодом:

1) 65 00 100 0001

⁺ 97⁺ 00 110 0001

162 01 010 0010

Разные цифры в знаковых разрядах свидетельствуют о том, что произошло переполнение.

2) -65 11 011 1111

⁺ -97⁺ 11 001 1111

-162 10 101 1110

Переполнение!

Для проверки знаковых разрядов используют результат операции “ис­клю­­чающее ИЛИ”, которая дает значение 1 только если операнды различны.

Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со зна­ком показывает:

на преобразование отрицательного числа в обратный код компью­тер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнитель­ный код, так как последнее состоит из двух шагов — образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;

время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел мень­ше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет пе­реноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата, поэтому для ускорения выполнения расчетов используют дополнительный код.

 

Умножение и деление

Во многих компьютерах умножение производится как последователь­ность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции со­держит число ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно раз­мещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завер­ше­нии операции — окончательный результат.

Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вна­ча­ле содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержа­ще­еся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.

Для иллюстрации умножим 110011₂ на 101101₂.

 

 

 

Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реа­лизуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного ко­да делителя.