Построение кривых Бернштейна-Безье



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Построение кривых Бернштейна-Безье



Кривая Безье задается многоугольником и имеет математическое параметрическое представление вида:


где базис Безье или Бернштейна, или функция аппроксимации


- это i-тая функция базиса Бернштейна порядка n. Здесь i — порядковый номер опорной вершины, n — порядок определяющей функции базиса Бернштейна — и, следовательно, сегмента полиномиальной кривой, на единицу меньше количества точек определяющего многоугольника.

Рис. 2.1. Кривая Безье и, образующий ее, многоугольник


- биномиальные коэффициенты.
- функция компонент векторов опорных вершин (координаты вершин многоугольника Безье).
Метод de Casteljau основан на разбиении отрезков, соединяющих исходные точки в отношении t (значение параметра), а затем в рекурсивном повторении этого процесса для полученных отрезков.
Кривые Безье бывают линейные, квадратичные, кубические и т.д. - кривые высших степеней. Линейная кривая Безье является отрезком и задается двумя опорными точками, которые являются концами этого отрезка; квадратичная кривая имеет 3 опорные точки; далее аналогично.
Примеры математического писания сплайнов 1,2,3-его порядков:



Преобразование квадратичных кривых Безье в кубические:
Квадратичная кривая Безье с координатами преобразовывается в кубическую кривую Безье с координатами

 

Алгоритм де Кастельжопа

В вычислительной математике алгоритм де Кастельжо, названный в честь его изобретателя Поля де Кастельжо — рекурсивный метод определения формы многочленов Бернштейна или кривых Безье. Алгоритм де Кастельжо также может быть использован для разделения кривой Безье на две части по произвольному значению параметра .

Достоинством алгоритма является его более высокая вычислительная устойчивость по сравнению с прямым методом.

 

Неоднородные рациональные B-сплайны

Неоднородный рациональный В-сплайн (NURBS – nonuniform rational B-spline curve) подобен обычному неоднородному В-сплайну, так как основан на тех же функциях сопряжения, получаемых для неоднородных узлов.

Впервые описание рациональных кривых и поверхностей было предложено Кунсом (Coons, 1967).

Рациональные В-сплайны это единственное точное математическое представление, охватывающее все аналитические формы: прямые, плоскости, конические сечения (включая окружности), кривые произвольной формы, квадрики и трехмерные модели, используемые в компьютерной графике и проектировании.

Рациональные В-сплайны применяются в ряде систем геометрического моделирования и реализованы аппаратно в некоторых рабочих станциях.

32. Преобразования кривых Бернштейна-Безье

Кривы́е Безье́ или Кривы́е Бернште́йна-Безье́ были разработаны в 60-х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье (Pierre Bézier) из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастельжо (Paul de Faget de Casteljau) из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов автомобилей.

Линейные кривые

Параметр t в функции, описывающей линейный случай кривой Безье, определяет, где именно на расстоянии от P0 до P1 находится B(t). Например, при t = 0,25 значение функции B(t) соответствует четверти расстояния между точками P0 и P1. Параметр t изменяется от 0 до 1, а B(t) описывает отрезок прямой между точкамиP0 и P1.

Квадратичные кривые

Для построения квадратичных кривых Безье требуется выделение двух промежуточных точек Q0 и Q1 из условия, чтобы параметр t изменялся от 0 до 1:

Кривые высших степеней

Для построения кривых высших порядков соответственно требуется и больше промежуточных точек. Для кубической кривой это промежуточные точки Q0, Q1 и Q2, описывающие линейные кривые, а также точки R0 и R1, которые описывают квадратичные кривые: более простое уравнение p0q0/p0q1=q1p1/p1p2=bq0/q1q0

 

33. Аффинное преобразование и его матричное представление

Аффинным называется преобразование плоскости, переводящее каждую прямую в прямую и параллельные прямые а параллельные.

Преобразование называется взаимно однозначным, если

- разные точки переходят в разные;

- в каждую точку переходит какая-то точка.

, например, сжатие 0 разжатие, поворот, перенос и тд

 

Матрица 3x3, последний столбец которой равен ( 0 0 1 )T, задает аффинное преобразование плоскости:

[ * * 0 ]

[ * * 0 ]

[ * * 1 ]

По одному из свойств, аффинное преобразование можно записать в виде:

f(x) = x * R + t,

где R – обратимая матрица 2x2, а t – произвольный вектор.

34. Виды аффинных преобразований

 

Сжатие, растяжение, поворот, перенос, движение, наклон, отображение

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.238.117.56 (0.004 с.)