Конструктивная логика А. А. Маркова

Проблема конструктивного понимания логических связок, в частности отрицания и импликации, требует применения в ло­гике специальных точных формальных языков. В основе конст­руктивной математической логики А. А. Маркова лежит идея ступенчатого построения формальных языков. Сначала вводится формальный язык Я_о , в котором предложения выражаются по

определенным правилам в виде формул; в нем имеется определе­ние смысла выражения этого языка, т. е. семантика. Правила вывода позволяют, исходя из верных предложений, всегда полу­чать верные предложения.

В конструктивной математике формулируются теоремы суще­ствования, утверждающие, что существует объект, удовлетворя­ющий таким-то требованиям. Под этим подразумевается, что построение такого объекта потенциально осуществимо, т. е. мы владеем способом его построения. Это конструктивное понима­ние высказываний о существовании отличается от классического. В конструктивной математике и логике иной является и трактов­ка дизъюнкции, которая понимается как осуществимость указа­ния ее верного члена. «Осуществимость» означает потенциаль­ную осуществимость конструктивного процесса, дающего в ре­зультате один из членов дизъюнкции, который должен быть истинным. Классическое же понимание дизъюнкции не предпола­гает нахождения ее истинного члена.

Новое понимание логических связок требует новой логики. Мы считаем утверждение А. А. Маркова о неединственности логики верным и весьма глубоким: «В самой идее неединствен­ности логики, разумеется, нет ничего удивительного. В самом деле, с какой стати все наши рассуждения, о чем бы мы ни рассуждали, должны управляться одними и теми же законами? Для этого нет никаких оснований. Удивительным, наоборот, было бы, если бы логика была единственна»³⁹.

В конструктивную математическую логику А. А. Марков вводит понятие «разрешимое высказывание» и связанное с ним понятие «прямое отрицание». В логике А. А. Маркова имеется и другой вид отрицания — усиленное отрицание, относящееся к так называемым полуразрешимым высказываниям.

Кроме материальной и усиленной импликации, при установ­лении истинности которых приходится заботиться об истинности посылки и заключения, А. А. Марков вводит дедуктивную имп­ликацию, определяемую по другому принципу. Дедуктивная имп­ликация «если А, то В» выражает возможность выведения В из А по фиксированным правилам, каждое из которых в применении к верным формулам даст верные формулы. Всякое высказывание, выводимое из истинного высказывания, будет истинным.

Через дедуктивную импликацию А. А. Марков определяет редукционное отрицание (reductio ad absurdum). Редукционное отрицание высказывания А (сформулированного на данном язы­ке) понимается как дедуктивная импликация «если А, то Л», где через Л обозначен абсурд. Это определение отрицания соответ­ствует обычной практике рассуждений математика: математик отрицает ту посылку, из которой вытекает абсурд. Для установ­ления истинности редукционного отрицания высказывания не требуется вникать в смысл этого высказывания. Высказывание, для которого установлена истинность редукционного отрицания, не может быть истинным.

Эти три различных понимания отрицания не вступают в конф­ликт друг с другом, они согласованы, что, по мнению А. А. Маркова, даст возможность объединить все эти понимания отрицания.

Показательно такое обстоятельство: А. А. Марков строит свои конструктивные логические системы для обоснования конст­руктивной математики таким образом, что у него получается не одна законченная система, а целая иерархия систем. Это система языков Я ₀, Я ₁ Я ₂, Я ₃, Я ₄, Я ₅,..., Я _N (где N — натуральное число) и объемлющего их языка Я _ωпосле Я _ωстроится язык Я _ω`.

Итак, мы склонны думать, что развивающуюся конструктив­ную логику и математику невозможно вместить в одно формаль­ное исчисление, для этого нужна система, состоящая из целой иерархии систем, в которой будет иерархия отрицаний.

Проблемами конструктивной логики и теории алгоритмов занимается российский математик Н. М. Нагорный и др.

 

МОДАЛЬНЫЕ ЛОГИКИ

 

В классической двузначной логике рассматривались простые и сложные ассерторические суждения, т. е. такие, в которых не установлен характер связи между субъектом и предикатом. На­пример: «Морская вода — соленая» или «Дождь то начинал хле­стать теплыми крупными каплями, то переставал».В модальных суждениях раскрывается характер связи между субъектом и предикатом или между отдельными простыми суж­дениями в сложном модальном суждении. Например: «Необ­ходимо соблюдать правила уличного движения» или «Если будет дуть попутный ветер, то, возможно, мы приплывем в гавань до наступления темноты».

Модальными являются суждения, которые включают модаль­ные операторы (модальные понятия), т. е. слова «необходимо», «возможно», «невозможно», «случайно», «запрещено», «хорошо» и многие другие (см. гл. Ш, § 6 «Деление суждений по модаль­ности»). Модальные суждения рассматриваются в специальном направлении современной формальной логики — в модальной логике.

Изучение модальных суждений имеет длительную и много­гранную историю. Мы отметим лишь некоторые из ее аспектов. Модальности в логику были введены Аристотелем. Термин «воз­можность», по Аристотелю, имеет различный смысл. Возмож­ным он называет и то, что необходимо, и то, что не необходимо, и то, что возможно. Исходя из понимания модальности «возмож­ность», Аристотель писал о неприменимости закона исключен­ного третьего к будущим единичным событиям.

Наряду с категорическим силлогизмом Аристотель исследует и модальный силлогизм, у которого одна или обе посылки и заключение являются модальными суждениями. Я. Лукасевич в книге «Аристотелевская силлогистика с точки зрения современ­ной формальной логики» две главы посвящает аристотелевой модальной логике предложений и модальной силлогистике Ари­стотеля⁴⁰. Аристотель рассматривает модальную силлогистику по образцу своей ассерторической силлогистики: силлогизмы подразделяются на фигуры и модусы, неправильные модусы отбрасываются с помощью их интерпретации на конкретных терминах.

Согласно Аристотелю, случайность есть то, что не необходи­мо и не невозможно, т. е. р — случайно означает то же самое, что и р — не необходимо и р — не невозможно, но Лукасевич отмечает, что аристотелевская теория случайных силлогизмов полна серьезных ошибок⁴¹. Итог Лукасевича такой: пропозицио­нальная модальная логика Аристотеля имеет огромное значение для философии; в работах Аристотеля можно найти все элемен­ты, необходимые для построения полной системы модальной логики; однако Аристотель исходил из двузначной логики⁴², в то время как модальная логика не может быть двузначной. К идее многозначной логики Аристотель подошел вплотную, рассуждая о «будущем морском сражении». Следуя Аристотелю, Лукасевич в 1920 г. построил первую многозначную (трехзначную) логику. Так осуществляется связь модальных и многозначных логик.

Значительное внимание разработке модальных категорий уделяли философы в Древней Греции и особенно Диодор Крон, рассматривавший модальности в связи с введенной им времен­ной переменной. В средние века модальным категориям также уделялось большое внимание. В XIX в. категорию вероятности разрабатывали Дж. Буль и П. С. Порецкий.

Возникновение модальной логики как системы датируется 1918 годом, когда американский логик и философ Кларенс Ир­винг Льюис (1888—1964) в работе «A Survey of Symbolic Logic» сформулировал модальное исчисление, названное им впоследст­вии 53.

В книге «Symbolic logic», написанной им совместно с К. Лэнгфордом в 1932 г., он сформулировал еще пять модальных логи­ческих систем, связанных с 53 и между собой. Это системы 51, S2, 54, 55, S6.

Приведем описание модальной системы S I⁴³

I. Исходные символы. 1) р, q, r и т. д. — пропозициональные переменные; 2) _~ р — отрицание р;3) — конъюнкция р и q; 4) — строгая импликация льюисовской системы; 5) —

модальный оператор возможности (возможно р); 6) p = q — строгая эквивалентность, p = q равносильно

П. Аксиомы системы S 1:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Аксиома 5 может быть выведена из остальных, как было показано позднее. Так как конъюнкция связывает «сильнее», чем импликация, то скобки можно опустить или заменить их точ­ками, как это сделано у Льюиса.

III. Правила вывода S 1.

1. Правило подстановки. Любые два эквивалентных друг дру­гу выражения взаимозаменимы.

2. Любая правильно построенная формула может быть под­ставлена вместо р, или q, или r и т. д. в любом выражении.

3. Если выводимо р и выводимо q, то выводимо

4. Если выводимо р и выводимо то выводимо q.

Льюис построил модальную пропозициональную логику S 1 в виде расширения немодального (ассерторического) пропозици­онального исчисления (сокращенно АПИ). При этом основные черты 51 и других его исчислений были скопированы с фор­мализованной логической системы Principia Mathematica Рассела и Уайтхеда, сформулированы с помощью понятий, только терминологически отличающихся от понятий, использованных в Principia Mathematica. Кроме Рассела и Уайтхеда идеи клас­сической логики развивали многие современные математические логики, например американский логик и математик С. Клини⁴⁴. Исчисления Льюиса построены аксиоматически по образцу Principia, по аналогии с Principia Льюис доказывает рад специфи­ческих теорем.

В классической двузначной логике логическое следование ото­ждествляется с материальной импликацией, допускаются такие формы вывода: 1) т. е. истинное суждение следует из любого суждения («истина следует откуда угодно») и 2) т. е. из ложного суждения следует любое суждение («из лжи следует все, что угодно»). Это противоречит нашему содержательному, практическому пониманию логического следо­вания, поэтому данные формулы, а также и некоторые другие, и соответствующие им принципы логического следования назы­ваются парадоксами материальной импликации.

Льюис создал свои новые системы с целью избежать этих парадоксов и ввести новую импликацию, названную им «строгой импликацией», такую, чтобы логическое следование представ­лялось не чисто формально, а по смыслу (содержательно) и новая импликация была бы ближе к союзу естественного языка «если, то». В строгой импликации Льюиса невозможно утверждать антецедент, т. е. р, и отрицать консеквент, т. е. q ⁴⁵.

В системах Льюиса были устранены парадоксы материальной импликации, т. е. формулы 1) и 2) стали невыводимыми, но появились парадоксы строгой импликации. К ним относятся, например, такие формулы: 3) 4)

Итак, отождествлять строгую импликацию Льюиса со следованием нельзя.

С целью исключить парадоксы строгой импликации Льюиса немецкий математик и логик Ф. В. Аккерман (1896—1962) по­строил свою систему модальной логики. Он ввел так называемую сильную импликацию, которая не тождественна строгой имп­ликации Льюиса, и модальные операторы Аккермана и Льюиса также не являются тождественными. Аккерман все логические термины и модальные операторы определяет через сильную имп­ликацию так: NA равносильно МА равносильно Здесь А — любая правильно построенная формула систе­мы Аккермана: N — оператор необходимости; М — оператор возможности; — отрицание А; знак обозначает сильную импликацию. Знак — логическая постоянная, обозначающая «абсурдно». Эта постоянная в свою очередь определяется так: где & обозначает конъюнкцию. И последняя формула читается так: из противоречия, т. е. А и не-А, следует абсурд. В системе Аккермана не выводятся формулы, структурно подобные парадоксам, ни материальной импликации, ни строгой импликации.

Системы Льюиса и Аккермана являются бесконечнозначными. В отличие от этих систем первоначально построенные систе­мы Лукасевича являются конечнозначными: одна — трехзначная (1920), другая — четырехзначная (1953). В четырехзначной систе­ме Лукасевича⁴⁶ также обнаружены парадоксы. Главный из них состоит в том, что ни одно аподиктическое предложение не истинно, т. е. ни одно суждение вида Lot (где L обозначает необходимость, а α — любая формула) не является истинным. Это означало бы, что необходимых суждений нет, т. е. модаль­ный оператор «необходимо» упраздняется. Лукасевич пишет: «Любое аподиктическое предложение должно быть отброше­но»⁴⁷. Сам Лукасевич считает это достоинствοм своей системы, а понятие «необходимость» — псевдопонятием. С такой точкой зрения, конечно, согласиться нельзя.

Интерпретации модальных логик различны. Известный авст­рийский философ и логик Р. Карнап (1891—1970) пытался ин­терпретировать модальные понятия (операторы) с помощью так называемой теории «возможных миров», в которой допускается наличие множества «миров», один из которых — действитель­ный, реальный мир, а остальные — возможные миры. Необходи­мым объявляется то, что существует во всех мирах, возмож­ным — то, что существует хотя бы в одном.

Р. Карнап в 1946 г., используя понятие «описание состояния», предложил интерпретацию модальных операторов, в основе ко­торой лежала идея различия возможного и действительного ми­ров.

В ином направлении шел финский логик Я. Хинтикка. Крити­чески переосмыслив введенное Карнапом понятие «описание со­стояния», он разрабатывал технику «модальных множеств», т. е. миров (1957), — оригинальную семантическую концепцию воз­можных миров. Разработка семантики возможных миров для модальных логик продолжается.

Разнообразными проблемами модальной логики занимается американский логик Р. Фейс⁴⁸.

В настоящее время разработаны многие виды модальностей (см. табл. 7).

Теорией модальных логик и построением новых модальных логических систем в нашей стране активно занимаются логики А. А. Ивин⁴⁹, Я. А. Слинин⁵⁰, О. Ф. Серебряников, В. Т. Пав­лов и др.

 

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЛОГИКИ

 

Положительные логики — это логики, построенные без опе­рации отрицания. Их можно разделить на два вида: 1) положительные логики в широком смысле слова, или квазипозитивные логики. Они построены без операции отрицания, но отрицание может быть выражено средствами этой логической системы; 2) положительные логики в узком смысле слова, т. е. логики, построенные без операции отрицания, причем отрицание не мо­жет быть выражено средствами этой системы. Можно предло­жить классификацию и по другому основанию: числу логических операций, с помощью которых построена положительная логика. Квазипозитивными логиками, построенными на одной операции, являются логика, построенная на операции «штрих Шеффера» (антиконъюнкции), и логика, основанная на операции антидизъ­юнкции. Квазипозитивная логика, построенная на операции ан­тидизъюнкции, которая соответствует сложному союзу «ни..., ни...» и обозначается («ни а, ни b»), таблично определена так (табл. 24):

Ряд квазипозитивных логик основан на двух операциях. Поло­жительными логиками в узком смысле, основанными на одной операции, являются импликативная логика, основанная на опера­ции импликации, и логика, построенная на операции эквиваленции. Ряд положительных логик основан на двух операциях: а) на импликации и конъюнкции; б) на дизъюнкции и конъюнкции; в) на импликации и дизъюнкции.

Положительная логика (в узком смысле) является подсисте­мой (частичной системой) более сильных логик — интуицио­нистской и классической. Все утверждения положительных логик имеют силу как в интуиционистской логике, так и в классической логике. Внутри самих положительных логик также имеются раз­личные по силе системы. Так, импликативная логика, включа­ющая две аксиомы, слабее, чем положительная логика, включа­ющая, кроме этих двух, аксиомы, характеризующие конъюнкцию и дизъюнкцию. Аксиоматическое построение подтверждает это соотношение: самой сильной является классическая, слабее — ин­туиционистская, еще слабее — положительная логика.

Общее между положительной логикой в широком смысле и положительной логикой в узком смысле в том, что среди логических констант этих систем нет операции отрицания.

Отличия этих систем следующие: 1) в квазипозитивных логиках операция отрицания выразима средствами этой логики, а в положительных логиках в узком смысле операция отрицания не выразима; 2) квазипозитивные логики являются моделями классической логики, т. е. они эквивалентны классической логике высказываний. Положительные логики в узком смысле не эк­вивалентны классической логике, а являются ее подсистемой (частичной системой), а следовательно, слабее классической логи­ки высказываний.

Роль положительных логик в искусственных языках весьма значительна, особенно конструктивной логики А. А. Маркова, которая строится на иерархии языков. В алфавите языка Я\ нет

отрицания, и в нем нельзя выразить отрицание, ибо нет имп­ликации. Марковым был построен язык Я ₁ ,который хотя и узок, но приспособлен для описания работы нормальных алгоритмов. Этот язык пригоден для выражения некоторых отношений между словами, встречающимися в чистой семиотике и в теории ал­горитмов. С помощью языка Я\ (языка без отрицания) можно дать описание работы различных алгоритмов — и в этом состо­ит важное значение языка без операции отрицания.

Итак, логическая система без операции логического отрица­ния находит свое применение при построении машинных про­грамм. Но если взять искусственные языки, такие, как ФОРТРАН или КОБОЛ и др., которые позволяют воспользоваться высоко­эффективным способом программирования, то в их состав, кро­ме логического сложения и логического умножения, входит и ло­гическое отрицание, соответствующее частице «не» и обознача­емое обычно знаком . Все инструкции о том, как произвести сборку замков, мебели, машин, инструментов, технических при­боров и др., основаны на содержательном (не формализованном) использовании положительной логики.

 

ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ ЛОГИКА

 

Эта логика представляет одно из направлений современной неклассической математической логики. Объективными основа­ми появления паранепротиворечивых логик является стремление отразить средствами логики специфику мышления человека о пе­реходных состояниях, которые наряду с устойчивостью и от­носительным покоем наблюдаются в природе, обществе и позна­нии. В природе и обществе происходят изменения, предметы и их свойства переходят в свою противоположность, поэтому нередки переходные состояния, промежуточные ситуации, неопределен­ность в познании, переход от незнания или неполного знания к более полному и точному. Действие законов двузначной логи­ки — закона исключенного третьего и закона непротиворечия — в этих ситуациях ограничено или вообще неприменимо. На необщезначимость этих законов указывал еще Аристотель. Го­воря о будущих единичных случайных событиях, по Аристотелю, нельзя считать суждение истинным или ложным, оно неопре­деленно.

Закон непротиворечия утверждает, что два противоположных суждения не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том же отношении. Но в разное время они могут быть оба истинными. Аристотель писал: «Все изменяющееся необходимо должно быть делимым... необходимо, чтобы часть изменяющегося предмета находилась в одном (состоянии), часть — в другом, так как невозможно сразу быть в обоих или ни в одном»⁵¹.

Вследствие неопределенности интервалов и неопределенности состояний изменяющегося предмета предполагается временная интервальная паранепротиворечивая семантика, допускающая истинность как высказывания А, так и не-А. Кроме временных интервалов с переходными состояниями наше мышление имеет дело с так называемыми нечеткими понятиями (нежесткими, расплывчатыми, размытыми — fuzzy), отражающими нежесткие множества, концепция которых предложена в 1965 г. американс­ким математиком Л. Заде. Все это обусловило необходимость и возможность появления паранепротиворечивых логик (paraconsistent logics) — логических исчислений, которые могут лежать в основе противоречивых формальных теорий. Проти­воречивые данные возникают в судебных заседаниях, дискуссиях, полемике, постановке диагноза болезни, в научных теориях (пре­жних и новых), в ситуациях, связанных с решением нравственных проблем, и в других сферах интеллектуальной деятельности. В связи с этим встала проблема создания информационной систе­мы, работающей с противоречивыми данными.

Предшественниками паранепротиворечивой логики как ново­го вида неклассической формальной логики явились Н. А. Васи­льева и Я. Лукасевич. Как новый вид математической логики паранепротиворечивая логика разрабатывалась в работах польского логика Ст. Яськовского (1948) и бразильского мате­матика Ньютона да Коста (начиная с 1958 г.). История паранепротиворечивой логики изложена бразильским логиком А. И. Аррудой в работе «Обзор паранепротиворечивой логики. Матема­тическая логика в Латинской Америке»⁵³.

В паранепротиворечивых системах принцип (закон) непроти­воречия лишен всеобщей значимости. Логике не присущи ни единство, ни абсолютность — эту мысль мы встречаем у многих современных логиков, в том числе у II. да Коста. В статье, специально написанной для журнала «Философские науки» («Фи­лософское значение паранепротиворечивой логики»), Н. да Ко­ста пишет: «Допустим, что имеющийся у нас язык дедуктивной теории Т содержит в себе символ отрицания. Т называют проти­воречивой (inconsistent) теорией, если и только если в Т имеются две теоремы, одна из которых есть отрицание другой; в проти­воположном случае Т считается непротиворечивой (consistent). Т считают тривиальной, если и только если все формулы (или все высказывания [sentences]) языка Т являются также теоремами Г; в противном случае мы называем Т нетривиальной.... Система логики паранепротиворечива, если она может быть использована как логика, лежащая в основе противоречивых, но нетривиаль­ных теорий»⁵⁴. Н. да Коста полагает, что вместо стандартных теорий множеств могут быть использованы паранепротиворечивые теории множеств. Система паранепротиворечивой логики в общем случае должна удовлетворять следующим условиям: 1) из двух противоречащих формул А и в общем случае нельзя вывести произвольную формулу В; 2) дедуктивные сред­ства классической логики должны быть максимально сохранены, поскольку они — основа всех обычных рассуждений. В первую очередь должен быть сохранен modus ponens, т. е. рассуждение по формуле

Паранепротиворечивая логика связана со многими видами неклассических логик: с модальной логикой (т. е. системой S5) К. И. Льюиса, с многозначными логиками, с релевантной логи­кой, где тоже не принимается принцип «из противоречия следует все, что угодно». Исследование многозначных логик показало, что закон непротиворечия, т. е. формула не является тавтологией в следующих системах: трехзначных логиках — Я. Лукасевича, Г. Рейхенбаха (для циклического и диаметрального от­рицаний), Р. П. Гудстейна, Д. Бочвара (для внутреннего отрица­ния); m -значной логике Э. Л. Поста. В исследованных нами (А. Г.) 13 формализованных логических системах из 17 имеющих­ся в них видов отрицания для 10 видов закон непротиворечия является тавтологией (доказуемой формулой), для остальных же 7 он не является тавтологией. Это происходит потому, что кроме значений истинности — «истина» и «ложь» в многозначных логи­ках имеется значение «неопределенно». Но в классической, конст­руктивных и интуиционистских логиках от закона непротиворе­чия нельзя отказаться, ибо в этих логиках отражены жесткие ситуации «или—или» («истина—ложь»), конструктивный процесс присутствует или его нет, одновременно то и другое не может быть. Поэтому классическая, интуиционистская, конструктивная и ряд других логик не годятся в качестве логик, которые могут быть основанием противоречивых, но нетривиальных теорий. Положительные логики также для этого не годятся, ибо в них нет операции отрицания. Некоторые современные логики (например, немецкий логик К. Вессель) не признают паранепротиворечивые логики. Построением паранепротиворечивых логических системи анализом их философского значения занимаются А. С. Карпенко, А. Т. Ишмуратов и другие ученые.

Интересны и оригинальны статьи американского математика Н. Белнапа «Как нужно рассуждать компьютеру» (1976) и «Об одной полезной четырехзначной логике» (1976), посвященные формализации общения с информационными системами, в кото­рых содержится противоречивая информация. Белнап построил четырехзначную логику, значениями истинности которой явля­ются следующие: Т — «говорит только Истину»; F — «говорит только Ложь»; None — «Не говорит ни Истины, ни Лжи»; Both — «говорит и Истину, и Ложь»⁵⁵. Н. Белнап отмечает, что входные данные поступают в компьютер из нескольких независи­мых источников, и в таких условиях проявляется типичная осо­бенность информационной ситуации: угроза противоречивости информации. Что в таком случае должен делать компьютер, особенно если в системе содержится необнаруженное противоре­чие? Свою четырехзначную логику Белнап и предлагает в качест­ве практического руководства в рассуждениях⁵⁶.

Итак, паранепротиворечивые логики демонстрируют возмож­ность наличия очень сильных противоречивых, но нетривиальных (т. е. паранепротиворечивых) теорий.

 

КОНЕЦ.