Отношения между схемами высказываний

Обсуждение практических и научных вопросов обычно связано с выдвижением различных положений и мнений. В судебно-следственной практике невозможно обойтись без положений, которые называются версиями. Их приходится сопоставлять друг с другом, одни из них противополагаются другим, некоторые оказываются более сильными, чем другие и т.д. Это означает, что высказывания вступают между собой в различные логические отношения.

Логические отношения между высказываниями устанавливаются через отношения схем, которые наполняются содержанием этих высказываний. Будем считать, что две схемы a и b находятся в отношении сопоставимости лишь тогда, когда существует хотя бы одна переменная, содержащаяся как в a, так и в b. Например, схемы A Ù B и С ®Ø B сопоставимы (здесь общая переменная или связь переменных B), а A Ù B и C ® D – нет.

Основные отношения – это отношения совместимости и несовместимости. Совместимость схем определяется наличием хотя бы одного случая, когда при одинаковых логических значениях переменных эти схемы одновременно получают значение «истинно». При отсутствии такого случая схемы несовмести м ы. Так, схемы A Ù B и A Ú B совместимы. Это видно из таблицы 6, в частности из первой ее строки, где при подстановке вместо A и B значения «истинно » как первая, так и вторая схема получает значение «истинно». Схемы A Ú B и A «B несовместимы, так как при одинаковых значениях A и B они не имеют общего значения "истинно" (таблица 7).

Таблица 6

A	B	A Ù B	A Ú B
и	и	и	и
и	л	л	и
л	и	л	и
л	л	л	л

Таблица 7

A	B	A «B	A Ú B
и	и	и	л
и	л	л	и
л	и	л	и
л	л	и	л

Совместимые формы могут находиться в следующих отношениях:

а) отношение следования, или подчинения;

б) полной совместимости, или равнозначности;

в) частичной совместимости.

Отношение следования (подчинения)

Вывести следствие из некоторых положений – значит изъять из них какую-то часть их содержания. Если исходное содержание является истинным, то и следствие также истинно. Из ложного содержания можно получить как ложное, так и истинное содержание. Поэтому отношение следования в логике высказываний можно определить так: логические схемы a и b находятся в отношении следования (из a следует b), если и только если при одинаковых значениях переменных не бывает так, что схема a получает значение «истинно», а схема b получает значение «ложно». В качестве примера возьмем схемы высказываний: “Если электростанция прекратит подачу тока, то предприятие остановится, а если оно остановится, то понесет большие убытки” и “Если электростанция прекратит подачу тока, то предприятие понесет большие убытки”. Сопоставим эти схемы – (A ® B) Ù (B ® C) и (A ® C) - табличным способом (таблица 8).

Таблица 8

A	B	С	(A ® B) Ù (B ® C)	(A ® C)
и	и	и	и	и
и	и	л	л	л
и	л	и	л	и
л	и	и	и	и
и	л	л	л	л
л	л	и	и	и
л	и	л	л	и
л	л	л	и	и

 

Первая схема получает значение «истинно» в четырех случаях (см. строки 1-ю, 4-ю, 6-ю, 8-ю). Но в этих же случаях значение «истинно» получает и вторая схема, и нет такого случая, чтобы высказывание первой схемы было истинным, а второй - ложным. Следовательно, из первой схемы следует вторая, соответственно, из первого высказывания следует второе высказывание.

Отношение полной совместимости (равнозначности)

Схемы a и b находятся в отношении полной совместимости, или равнозначности, если и только из схемы a следует схема b, и наоборот; иными словами, в этом случае при одинаковых значениях переменных схемы a и b принимают одинаковые логические значения, и их таблицы истинности полностью совпадают. Например, в отношении полной совместимости находятся схемы высказываний “Если товарное производство расширяется, то натуральное хозяйство разлагается” и “если натуральное хозяйство не разлагается, то товарное производство не расширяется” (таблица 9).

Таблица 9

A	B	A ® B	Ø B ® Ø A
и	и	и	и
и	л	л	л
л	и	и	и
л	л	и	и

 

Если отношении равнозначности обозначить знаком Û, то верны по крайней мере следующие утверждения:

(1) Ø(A Ù B) ÛØ A Ú Ø B;

(2) Ø(A Ú B) Û Ø A Ù Ø B;

(3) A Ú B Û (A Ù Ø B) Ú (Ø A Ù B);

(4) A ® B ÛØ B ® Ø A;

(5) A ® B Û Ø(A Ù Ø B);

(6) Ø(A ® B) Û A ÙØ B;

(7) A ® B ÛØ A Ú B;

(8) A «B Û (A ® B)Ù(B ® A);

(9) Ø(A «B) Û A Ú B;

(10) A Û ØØ A;

(11) A Û A Ù(A Ú B);

(12) A Û (A Ú B)Ù(A ÚØ B);

(13) A Û (A Ù B)Ú(A ÙØ B);

(14) (A Ú C) Ù (B Ú Ø C) Û (A Ú C)Ù(B Ú Ø C)Ù(A Ú B);

(15) (A Ù C) Ú (B Ù Ø C) Û (A Ù C)Ú(B ÙØ C)Ú A Ù B);

(16) A Ù A Û A;

(17) A Ú A Û A;

(18) A ÙØ A Û л;

(19) A ÚØ A Û и;

(20) A Ù (B Ù C) Û (A Ù B)Ù C;

(21) A Ú (B Ú C) Û (A Ú B) Ú C.

 

Отношение равнозначности позволяет без ущерба для истинности некоторого текста взаимозаменять высказывания соответствующих схем (для этого пригодны все названные случаи равнозначности), устранять избыточную информацию (случаи (10) – (13), (16) – (19)), выделять новые схемы, если это нужно для познавательных целей (случаи (12)-(15)).

Отношение частичной совместимости

Схемы a и b находятся в отношении частичной совместимости, если и только если при одинаковых значениях переменных они вместе получают значение «истинно», но не получают значение «ложно». Таковы, например, схемы высказываний "Если план выполним, то он обеспечен ресурсами" и "Если план обеспечен ресурсами, то он выполним". Из них получаются высказывания, истинные в двух случаях (см. таблицу 10, строки 1-ю и 4-ю), но совместная ложность высказываний исключена. Говоря языком математики, в отношении частичной совместимости находятся прямая и обратная теоремы.

Таблица 10

A	B	A ® B	B ® A
и	и	и	и
и	л	л	и
л	и	и	л
л	л	и	и

 

Теперь рассмотрим отношение несовместимости. В качестве разновидностей этого отношения нужно выделить отношения противоречия и противности.

Отношение противоречия

Схемы a и b находятся в отношении противоречия, если и только если при одинаковых значениях переменных они получают разные логические значения. Это значит, что с их помощью порождаются высказывания, которые не могут быть вместе истинными, как и не могут быть вместе ложными. Таковы, например, схемы A Ú B и A«B. Какие бы значения мы ни придавали A и B, если A Ú B получает значение «истинно», то A«B - значение «ложно», и наоборот (см. табл.11). В любом случае высказывания, соответствующие схемам, находящимся в отношении противоречия, будут иметь противоположные логические значения, отрицая, таким образом, друг друга.

Таблица 11

A	B	A Ú B	A «B
и	и	л	и
и	л	и	л
л	и	и	л
л	л	л	и

 

Отношение противности

Схемы a и b находятся в отношении противности, если и только если при одинаковых значениях они вместе получают значение «ложно», но не получают значение «истинно». Например, в отношении противности находятся схемы AÙB и AÙØB (см. табл.12). Соответствующие им высказывания "9 – четное число и делится на 3" и "9 – четное число и не делится на 3" – оба ложны, а высказывания "Он поехал на красный свет и нарушил правила дорожного движения” и “Он поехал на красный свет и не нарушил правила дорожного движения" не являются вместе истинными: если одно истинно, то второе ложно, и наоборот. Схемы этих высказываний, как и сами высказывания, не отрицают друг друга.

Таблица 12

A	B	A Ù B	A Ù Ø B
и	и	и	л
и	л	л	и
л	и	л	л
л	л	л	л

 

Установление отношений между логическими формами облегчает содержательный анализ, обеспечивает точность и определенность наших рассуждений.

Упражнения:

1. Какие из следующих логических форм являются сопоставимы, какие – нет (попарно):

а) A, B; б) A ® (A ® C), C; в) (A ® B) Ù (A ® C), A ® B; г) A Ú B, C Ú Ø C?

2. Являются ли равнозначными следующие высказывания (попарно):

a) Каждый студент нашего курса способен или трудолюбив; неверно, что каждый студент нашего курса не способен и не трудолюбив.

b) Иван и Марья друг друга не любят; неверно, что Иван любит Марью и Марья любит Ивана.

c) Если слово ставится в начале предложения, то оно пишется с большой буквы; если слово не ставится в начале предложения, то оно не пишется с большой буквы.

d) Число четное тогда и только тогда, когда оно делится на два; если число четное, то оно делится на два, а если число нечетное, то оно не делится на два.

3. Установите все возможные отношения, которые имеют место между логическими формами следующих высказываний:

a) Если вкусно, то не дешево.

b) Вкусно и дешево.

c) Если не вкусно, то дешево.

d) Не вкусно и не дешево.

4. Пользуясь положениями о равнозначности из перечня (1) – (21), упростите следующие высказывания:

a) “Тот, кто понимает Толстого, не следует за ним. А тот, кто следует за ним, не понимает его” (В.С.Маклаков, член 2-й Государственной думы).

b) Система находится в состоянии устойчивого равновесия, если после незначительного возмущения она стремится вернуться в исходное состояние. Система неустойчива, если незначительное возмущение влечет за собою всевозрастающее удаление системы от ее исходного состояния.

c) «Поскольку математические предложения относятся к действительности, они не являются бесспорными, а поскольку они являются бесспорными, они не относятся к действительности» (А.Эйнштейн).

5. Используя отношения равнозначности (1) – (21), решите следующую задачу. Рабочий должен следить за деталями, движущимися мимо него по конвейеру, он должен снимать с ленты конвейера некоторые детали и пропускать остальные. Бригадир сказал ему, чтобы он снимал детали, которые удовлетворяют одновременно ряду условий, а именно, они:

a) искривлены, заржавлены или не окрашены;

b) нестандартны, заржавлены или и то и другое месте;

c) искривлены, не заржавлены или и то и другое вместе;

d) нестандартны, не заржавлены или и то и другое вместе;

e) обладают хотя бы одной из следующих характеристик: искривлены, заржавлены или окрашены.

Предложенную в столь неудобной форме инструкцию рабочий упростил до двух характеристик объектов. Какие это характеристики?

6. Установлено, что высказывание формы A Ú B является истинным. Что можно сказать о логических значениях высказываний форм:

a) A Ù B;

b) Ø A Ù Ø B;

c) Ø A Ú Ø B?

В каком отношении находится каждая из них к форме A Ú B?

7. Рассуждая «от противного» при доказательстве теоремы «Если в многоугольник не вписывается окружность, то он неправильный», студенты формулируют допущения:

a) Если в многоугольник вписывается окружность, то он правильный;

b) Если многоугольник правильный, то в него вписывается окружность;

c) В многоугольник не вписывается окружность, и он правильный;

d) Многоугольник вписывается в окружность, и он правильный.

Какой из подходов является верным? Укажите причины ошибок.

8. Джон, Браун и Смит обвиняются в подделке документов о подлежащих налоговому обложению доходах. Они дают такие показания:

Браун: Джон виноват, а Смит невиновен.

Джон: Если Браун виновен, то виновен Смит.

Смит: Я не виновен, хотя бы один из них виновен.

Построив таблицы истинности полученных высказываний, ответьте на следующие вопросы:

а) Совместимы ли показания всех трех подозреваемых?

б) Показания одного из подозреваемых следуют из показаний другого. О чьих показаниях идет речь?

в) Если все трое невиновны, то кто совершил лжесвидетельство?

г) Предполагая, что показания всех подозреваемых верны, укажите, кто невиновен, а кто виновен?

д) Если невиновный говорит правду, а виновный лжет, то кто невиновен, а кто виновен?

9. Проверьте табличным способом равносильности (1) – (21).

10. Статья 135 Конституции Российской Федерации гласит: «Конституция Российской Федерации считается принятой, если за нее проголосовало более половины избирателей, принявших участие в голосовании, при условии, что в нем приняло участие более половины избирателей». Допустим, что в голосовании не приняло участие более половины избирателей или за Конституцию не проголосовало более половины избирателей, принявших участие в голосовании. Тем не менее, некоторая авторитетная инстанция (например, Центризбирком) приняла решение считать Конституцию принятой. Совместимо ли данное решение с Конституцией Российской Федерации при данных обстоятельствах?