Обобщенный алгоритм построения математической модели

Процедуру построения математической модели реальной системы, процесса или явления можно представить в виде алгоритма. Блок-схема, иллюстрирующая алгоритм построения математической модели, приведена на рис. 4.2.

Рис.4.2. Алгоритм построения модели системы

Основные этапы построения математической модели.

1. Выделение системы из внешней среды. Выделение связей с внешней средой, разбиение множества связей на входные и выходные параметры. Наблюдение за системой, накопление информации, достаточной для выдвижения гипотез о структуре системы и ее функционировании.

2. Выбор аппарата формализации осуществляется исследователем и зависит от многих факторов, в частности - от целей моделирования, имеющейся информации, полученных экспериментальных данных.

3. Построение внешнего описания сводится к поиску области определения (в пространстве входных воздействий) и области значений (в пространстве выхода), размерность которых была определена на этапе 1, и определении соответствия между входными и выходными параметрами.

4,6. Если проверка адекватности показывает, что построенная модель не удовлетворяет предъявляемым к ней требованиям и причиной этого является более сложный характер поведения системы, то производится выбор нового метода математического описания.

5. В случае удачного построенного внешнего описания производится переход к внутреннему описанию, при этом размерность пространства состояний системы (то есть размерность вектора ) должна быть минимальной.

7. Определение (идентификация) качественных и количественных характеристик параметров, определяющих функционирование системы.

Среди представленных этапов построения математической модели методы идентификации параметров наиболее хорошо разработаны. При их использовании предполагается, что структура системы известна, а неизвестны только значения параметров. Задача параметрической идентификации в этом случае сводится к поиску значений параметров, обеспечивающих минимизацию некоторой функции ошибки. Особое значение на всех этапах построения математической модели является проверка адекватности, непротиворечивости модели и ее достаточности для реализации целей исследования.

Если построенная модель недостаточно полно отражает свойства моделируемой системы, то никакое применение самых современных средств и методов исследования не может дать удовлетворительных результатов. Таково неизбежное свойство использования математической модели. Все получаемые при ее исследовании результаты отражают свойства собственно модели, а не исходной системы, для исследования которой модель была разработана. После того, как модель построена, она начинает «жить своей собственной жизнью».

Контрольные вопросы

1. Что представляет собой модель?

2. Опишите схему абстрактной модели.

3. Что относится к входным параметрам системы?

4. Что относится к выходным параметрам системы?

5. Что характеризуют параметры состояния системы?

6. Назовите виды моделирования, опишите их.

7. Опишите два подхода к построению математической модели.

8. Опишите процедуру построения математической модели реальной системы.

 

Тема№5
Оценка сложных систем
Основные типы шкал измерения

Оценка сложных систем

В системном подходе выделяют раздел «теория эффективности», связанный с определением качества систем и процессов их реализующих.

Теория эффективности – научное направление, предметом изучения которого являются вопросы количественной оценки качества характеристик и эффективности функционирования сложных систем.

В общем случае оценка эффективности сложных систем может проводиться для разных целей. Во-первых, для оптимизации – выбора наилучшего алгоритма из нескольких, реализующих один закон функционирования системы. Во-вторых, для идентификации – определения системы, качество которой наиболее соответствует реальному объекту в заданных условиях. В-третьих, для принятия решений по управлению системой.

Выделяют четыре этапа оценивания сложных систем:

Этап1. Определение цели оценивания. В системном анализе выделяют два типа целей. Качественной называют цель, достижение которой выражается в номинальной шкале или в шкале порядка. Количественной называют цель, достижение которой выражается в количественных шкалах.

Этап2. Измерение свойств системы, признанных существенными для целей оценивания. Для этого выбираются соответствующие шкалы для измерения свойств и всем исследуемым свойствам систем присваивается определенное значение на этих шкалах.

Этап3. Обоснование предпочтений критериев качества и критериев эффективности функционирования систем на основе измеренных на выбранных шкалах свойств.

Этап4. Собственно оценивание. Все исследуемые системы, рассматриваемые как альтернативы, сравниваются по сформулированных критериям и в зависимости от целей оценивания ранжируются, выбираются, оптимизируются.

Понятие шкалы. Виды шкал

В основе оценки лежит процесс сопоставления значений качественных или количественных характеристик исследуемой системы значениям соответствующих шкал.

Шкала – последовательность чисел, служащая для измерения или количественной оценки каких-либо величин.

Формально шкалой называется кортеж из трех элементов <X, j,Y>, где X – реальный объект, Y – шкала, j - гомоморфное отображение X на Y.

В современной теории измерений определено:

X = {x1, x2, …, xi, …, xn, Rx} эмпирическая система с отношением, включающая множество свойств xi, на которых в соответствии с целями измерения задано некоторое отношение Rx. В процессе измерения необходимо каждому свойству xi Î Х поставить в соответствие признак или число, его характеризующее.

Y = {j(x1), …,j(xn), Ry} знаковая система с отношением, являющаяся отображением эмпирической системы в виде некоторой образной или числовой системы, соответствующей измеряемой эмпирической системе.

j Î F - гомоморфное отображение X на Y, устанавливающее соответствие между X и Y так, что {j(x1), …,j(xn)} Î Ry только тогда, когда {x1, x2, …, xi, …, xn}Î Rx.

Тип шкалы определяется по F = {j1, …,jm}, множеству допустимых преобразований xi®yi.

Шкалы номинального типа

Самой слабой качественной шкалой является номинальная шкала (шкала наименований, классификационная шкала), по которой объектам xi или их неразличимым группам дается некоторый признак. Такой признак дает лишь ничем не связанные имена объектам. Эти значения для разных объектов либо совпадают, либо различаются. Шкалы номинального типа допускают только различение объектов на основе проверки выполнения отношения равенства на множестве этих элементов.

Номинальный тип шкал соответствует простейшему виду измерений, при котором шкальные значения используются лишь как имена объектов.

Аксиома тождества: либо а~б, либо а~б, если а~б, то б~а, если а~б и б~с, то а~с. (а, б, с – значения шкалы).

Отличительная черта: отсутствие математических свойств.

Примерами измерений в номинальном типе шкал могут служить номера автомашин, телефонов, коды городов, лиц, объектов и т.п. Единственная цель таких измерений – выявление различий между объектами разных классов.

Шкалы порядка

Шкала называется ранговой (шкала порядка), если множество Ф состоит из всех монотонно возрастающих допустимых преобразований шкальных значений.

Монотонно возрастающим называется такое преобразование j(x), которое удовлетворяет условию: если х1 > x2, то и j(x1)> j(x2) для любых шкальных значений х1 > x2 из области определения j(x). Порядковый тип шкал допускает не только различие объектов, как номинальный тип, но и используется для упорядочения объектов по измеряемым свойствам.

Аксиома тождества: либо а~б, либо а~б, если а~б, то б~а, если а~б и б~с, то а~с. (а, б, с – значения шкалы). Дополнительно удовлетворяют следующим аксиомам упорядоченности: если а>б, то б<a,; если а>б и б>с, то а>с.

Отличительная черта: отношение порядка не определяет расстояние между значениями шкалы.

Измерение в шкале порядка может применяться в следующих ситуациях:

· необходимо упорядочить объекты во времени или пространстве;

· нужно упорядочить объекты в соответствии с каким-либо качеством, но при этом не требуется производить его точное измерение;

· какое-либо качество в принципе измеримо, но в настоящий момент не может быть измерено по причинам практического или теоретического характера.

Примерами шкалы порядка могут служить шкалы силы ветра, силы землетрясения, сортности товаров, служебное положение, образование, воинское звание и т.п.

Шкалы интервалов

Одним из наиболее важных типов шкал является тип интервалов. Тип шкал интервалов содержит шкалы, единственные с точностью до множества положительных линейных допустимых преобразований вида j(x) = ах + b, где х Î Y шкальные значения из области определения Y; а>0; b – любое значение.

Аксиома: тождества: либо а~б, либо а~б, если а~б, то б~а, если а~б и б~с, то а~с. (а, б, с – значения шкалы). Аксиомы упорядоченности: если а>б, то б<a,; если а>б и б>с, то а>с. Дополнительно можно ввести между любыми двумя значениями метрическое расстояние, т.е. какую-либо функцию, удовлетворяющую аксиомам: f (a,b) ³0; f(a,b) = 0, если a=b; f(a,b)=f(b,a); f(a,b)≤f(a,c)+f(c,b).

Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений интервалов в эквивалентных шкалах:

х1 – х2	=	j(x1)- j(x2)	= const
х3 – х4	j(x3)> j(x4)

Примером шкал интервалов могут служить шкалы температур. Переход от одной шкалы к эквивалентной, например от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта, задается линейным преобразованием шкальных значений: t⁰F = 1,8 t⁰C + 32.

Таким образом, при переходе к эквивалентным шкалам с помощью линейных преобразований в шкалах интервалов происходит изменение как начала отсчета (параметр b), так и масштаба измерений (параметр а).

Шкалы интервалов так же, как номинальная и порядковая, сохраняют различие и упорядочение измеряемых объектов. Однако, кроме этого они сохраняют и отношение расстояний между парами объектов. Запись

х1 – х2	= К
х3 – х4

означает, что расстояние между х1 и х2 в К раз больше расстояния между х3 и х4 и в любой эквивалентной шкале это значение сохранится.

Шкалы отношений

Шкалой отношений (подобия) называется шкала, если Ф состоит из преобразований подобия j(x) = ах, а>0, где х Î Y шкальные значения из области определения Y; а>0; а – действительные числа.

В шкалах отношений остаются неизменными отношения численных оценок объектов. Шкалы отношений отражают отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта.

Аксиома: тождества: либо а~б, либо а~б, если а~б, то б~а, если а~б и б~с, то а~с. (а, б, с – значения шкалы). Аксиомы упорядоченности: если а>б, то б<a,; если а>б и б>с, то а>с. Дополнительно можно ввести между любыми двумя значениями метрическое расстояние, т.е. какую-либо функцию, удовлетворяющую аксиомам: f (a,b) ³0; f(a,b) = 0, если a=b; f(a,b)=f(b,a); f(a,b)≤f(a,c)+f(c,b). Аксиомы аддитивности: если а = р и б>0, то а + б >р, а + б = б + а; если а = р и б = g, то а+б = р+g; (а+б)+с = а + (б+с).

Примерами измерений в шкалах отношений являются измерения массы и длины объектов. При установлении массы используется большое разнообразие численных оценок. Производя измерение в килограммах получается одно численное значение, при измерении в фунтах – другое. Но в какой бы системе единиц ни производилось измерение массы, отношение масс любых объектов одинаково и при переходе от одной числовой системы к другой, эквивалентной, не меняется.

Шкалы разностей

Шкалы разностей определяются как шкалы, единственные с точностью до преобразований сдвига j(x) = х + b, где х Î Y шкальные значения из области определения Y; b – действительные числа. Это означает, что при переходе от одной числовой системы к другой меняется лишь начало отсчета.

Шкалы разностей применяются в тех случаях, когда необходимо измерить, насколько один объект превосходит по определенному свойству другой объект. В шкалах разностей неизменными остаются разности численных оценок свойств. Действительно, если х1 и х2 – оценки объектов а1 и а2 в одной шкале, а j(x1) = х1 + b и j(x2) = х 2+ b – в другой шкале, то имеем:

j(x1) - j(x2) = (х 1+ b)-(х2 + b) = х1-х2

Примерами измерений в шкалах разностей могут служить измерения прироста продукции предприятия (в абсолютных единицах) в текущем году по сравнению с прошлым, увеличение численности учреждений, количество приобретенной техники за год и т.д.

Контрольные вопросы

1. Что представляет собой теория эффективности?

2. Охарактеризуйте этапы оценивания сложных систем.

3. Дайте определение шкалы.

4. Охарактеризуйте шкалы номинального типа.

5. Охарактеризуйте шкалы порядка.

6. Охарактеризуйте шкалы интервалов.

7. Охарактеризуйте шкалы отношений.

8. Охарактеризуйте шкалы разностей.

9. Приведите примеры шкалы номинального типа.

10. Приведите примеры шкалы порядка.

11. Приведите примеры шкалы интервалов.

12. Приведите примеры шкалы отношений.

13. Приведите примеры шкалы разностей.

 

 

Тема№6
Системный анализ: сущность, принципы, этапы