Исследование спектральных характеристик сигнала

 

Построение АЧХ и ФЧХ спектра периодического сигнала

 

Для анализа сигналов и их обработки важное значение имеет разложение заданной функции f(t) по различным ортогональным системам.

Из теории математического анализа известно, что любую кусочно-непрерывную функцию S(t), суть детерминированный сигнал, для которой выполняется условие:

можно представить в виде суммы ортогональных функций:

S(t)=C₀φ₀(t)+C₁φ₁(t)+…+C_nφ_n(t),

где φ₀(t), φ₁(t),…,φ_n(t) - система ортогональных функций. Функции φ_n(t) называются ортогональными на отрезке (t₁; t₂), если эта совокупность удовлетворяет условию:

где i=1,2,3,4,…,m, k=1,2,3,4,…,m,

-есть норма функции.

Коэффициенты C_n ряда определяются выражением:

Ряд, в котором коэффициенты определены выражением (4), называется обобщенным рядом Фурье по конкретной системе ортогональных функций φ_i(t).

Если система функций принимает комплексные значения, то приведенные выше определения обобщаются следующим образом:

условие ортогональности-

при

квадрат нормы функции:

коэффициенты обобщенного ряда Фурье:

φ*(t) - есть функция комплексно сопряженная функции φ (t).

Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций зависит от цели, преследуемой при разложении сложной функции в ряд. Так, например, для точного разложения сигнала на простейшие ортогональные функции наибольшее распространение получила система тригонометрических функций - синусов и косинусов.

Это объясняется тем, что гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении через любую линейную цепь с постоянными параметрами, изменяются только амплитуда и фаза колебания.

Итак, при разложении периодического сигнала S(t) в ряд Фурье по тригонометрическим функциям в качестве ортогональной системы берут I, cosω₀t, sinω₀t, cos2ω₀t, sin2ω₀t,…, cosnω₀t, sinnω₀t.

Или в комплексной экспоненциальной форме:

… 1, …

Интервал ортогональности в этом случае совпадает с периодом функции S(t):

Тогда любую функцию S(t) на интервале (t;t +Т) можно представить рядом:

Коэффициенты , , определяются с помощью выражения, пределы интегрирования задаются периодом Т:

Амплитуда n-ой гармоники определяется выражением:

Фаза n-ой гармоники:

Распределение значений амплитуд по оси частот называется амплитудно-частотным спектром, а распределение фаз – фазочастотным спектром сигнала S (t).

Рассчитаем амплитуду и фазу первых 25 гармоник периодического сигнала по следующим формулам:

Коэффициент а(n) -

Коэффициент b(n) -

Амплитуда n-ой гармоники -

Фаза n-ой гармоники -

где n=0…25, T=1.69c, =3.718 Гц

 

Произведем расчет первой гармоники, учитывая, что

Т= 1,69 n=1.

 

 

Проверка:

 

 

 

 

 

Проверка:

 

 

 

Значения вычисленных 25 гармоник, соответствующих АЧХ, ФЧХ и частоты приведены в таблице 1.

Таблица 1

 

Графики АЧХ и ФЧХ показаны на рисунках 3 и 4 соответственно.

Рисунок 3 – АЧХ периодического сигнала

Рисунок 4 – ФЧХ периодического сигнала

 

 

 

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

 

Построение АЧХ и ФЧХ спектра непериодического сигнала

 

Ряд Фурье справедлив для периодических сигналов. Спектр периодического сигнала дискретен. Если сигнал непериодический, то ряд Фурье применить нельзя. Однако, непериодический сигнал (одиночный) можно представить как периодический с периодом Т→∞ и продолжить рассмотрение непериодического сигнала на бесконечном интервале времени можно получить представление непериодического сигнала в виде спектральной плотности функции

Модуль и аргумент спектральной плотности определяются выражениями:

Первое из этих выражений можно рассматривать как АЧХ, а второе – как ФЧХ сплошного спектра непериодического сигнала s(t).

На рисунках 6 и 7 представлено соответственно АЧХ и ФЧХ непериодического сигнала.

Рисунок 5 – АЧХ непериодического сигнала

 

 

Рисунок 6 – ФЧХ непериодического сигнала

 

Вывод:

Модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодического сигнала, полученного путём повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются масштабом.

 

Средняя энергия и средняя мощность

Периодического сигнала

Пусть сигнал s(t) (ток, напряжение) представляет собой сложную периодическую функцию времени с периодом Т.

Энергия такого сигнала, длящегося от t=-∞ до t=∞, бесконечно велика. Основной интерес представляет средняя мощность периодического сигнала и распределение этой мощности между отдельными гармониками сигнала. Очевидно, что средняя мощность сигнала, рассматриваемого на всей оси времени, совпадает с мощностью, средней за один период Т. Таким образом, средняя мощность периодического сигнала

При использовании тригонометрической формы ряда Фурье, учитывая, что С₀=а₀/2, получаем

мВт

Если s(t) представляет собой ток i(t), то при прохождении его через сопротивление r выделяется мощность (средняя):

Символом I₀=а₀/2 обозначена постоянная составляющая, а I_n =A_n – амплитудой n-ой гармоники тока.

 

Итак, средняя мощность периодической последовательности равна сумме средних мощностей всех составляющих в спектре и не зависит от начальных фаз отдельных составляющих.

Для данного сигнала средняя мощность равна:

 

 

 

Энергия периодического сигнала:

 

 

 

 

Проверка размерности величин:

 

 

Мы берём амплитуду в мВ, возводим в квадрат, получаем мкВ.