Вопрос 2. Квантование сигналов по уровню и оценка шумов квантования

При квантовании по уровню непрерывный диапазон амплитуд отсчетов АИМ сигнала заменяется счетным множеством разрешен­ных уровней квантования U_i. При этом непрерывный динамический диапазон отсчетов АИМ сигнала разбивается на ряд отдельных участков, называемых шагами квантования δ_i. Если амплитуда отсчета сигнала U_вх удовлетворяет условию

, (1)

то сигналу присваивается амплитуда, соответствующая i- му уровню квантования.

Таким образом, квантование представляет процесс сравнения отсчета АИМ сигнала со шкалой, имеющей конечное число уровней квантования, и отнесения его к ближайшему разрешенному уровню. Иными словами, процесс квантования представляет округлению амплитуды отсчета до ближайшего разрешенного уровня.

Последовательность отсчетов и соответствующие им квантован­ные отсчеты показаны на рис. 1. Устройство, осуществляющее квантование, называется квантующим. Передаточная характери­стика квантующего устройства является ступенчатой (см. рис. 1, а),поскольку каждый дискретный выходной уровень соответствует некоторому интервалу значений входного сигнала.

Разность между сигналом АИМ-2 (см. рис. 1, б) и его квантован­ным приближением - квантованным АИМ сигналом (см. рис. 1, а) называется ошибкой, или шумом квантования ε(t)_t величина кото­рого не превышает половины шага квантования δ_i т.е.

. (2)

Из рис.1, а очевидно, что чем больше разрешенных уровней квантования М, т.е. чем меньше шаг квантования, тем меньше величина ошибки, или шума квантования.

Амплитудная характеристика квантующего устройства ,как следует из рис. 1, а,представляет собой ступенчатую кривую, имеющую два характерных участка; зону квантования, при ,и зону ограничения при U_вх > U₀. Соответствен­но, различают шумы квантования и шумы ограничения.

Если во всем диапазоне значений входного сигнала от -U_o до +U₀ величина шага квантования δ_i остается величиной постоянной, то такое квантование называется равномерным; если же величина шага квантования изменяется с изменением значения U_вх сигнала, то такое квантование называется неравномерным.

Оценка шумов при равномерном квантовании. Пусть плот­ность вероятности распределения мгновенных значений входного сигнала описывается функцией W (U_вх) и его квантование осуществ­ляется в пределах от -U_o до +U₀. Этот диапазон разбит на М шагов квантования, каждый из которых лежит в пределах от до .

Вероятность появления сигнала с уровнем, лежащим в пределах i- гошага квантования, равна

. (3)

Поскольку шаг квантования мал по сравнению с диапазоном из­менения входного сигнала, эта вероятность может быть принята равной

. (4)

В последней формуле W(и_i) - плотность вероятности величины напряжения сигнала в середине рассматриваемого интервала.

Мгновенная мощность шума квантования, развиваемая на еди­ничном сопротивлении, равна квадрату ошибки квантования для данного шага квантования , а мощность шума квантования, возникающего при квантовании сигналов, лежащих в пределах i -го шага квантования, соответствует

. (5)

С учетом выражений (4) и (5) имеем

. (6)

Мощность полного шума квантования равна сумме составляю­щих от каждого шага

. (7)

При равномерной шкале квантования δi=δ, и, следовательно, . (8)

Из (8) очевидно, что при равномерной шкале квантования мощ­ность шумов квантования не зависит от уровня квантуемого сигнала и определяется только шагом квантования.

Шумы квантования действуют только одновременно с передачей сигнала: есть сигнал - есть шумы квантования, нет сигнала - нет шумов квантования. Поэтому влияние шумов квантования на каче­ство передачи удобно оценивать отношением сигнал-шум кванто­вания (ОСШК), равным

(9)

или в логарифмических единицах (дБ) оно рассматривается как защищенность сигнала от шума квантования

(10)

здесь W_c - мощность полезного сигнала.

При известном динамическом диапазоне квантуемого сигнала шаг квантования δ определяет число уровней квантования М и, следовательно, число элементов (или разрядность) кода т, необ­ходимого для последующего кодирования квантованных отсчетов сигнала с целью формирования двоичного цифрового сигнала.

Сигналы, поступающие на вход квантующего устройства от различных источников, могут значительно различаться по мощности, динамическому диапазону. Например, из-за различия микрофонов, вида и длины абонентских линий, особенностей говорящих параметры телефонных сигналов значительно разнятся между собой. Поскольку параметры квантующего устройства и в последующем устройства кодирования остаются неизменными, то шаг квантования следует выбирать исходя из того, чтобы шумы квантования не превышали допустимого значения для минимальных по мощности сигналов. В то же время во избежание значительных шумов ограничения порог ограничения U_o (рис. 1, а)должен выбираться исходя из параметров максимального по уровню ограничения. Сам уровень ограничения выбран в к раз больше, чем среднеквадратическое значение напряжения (σ_смакс) максимального по уровню входного сигнала, т.е.

. (11)

Если шкала квантования строится таким образом, чтобы шумы ограничения не возникали, то величина U₀ должна совпадать с пиковым значением сигнала. В этом случае коэффициент к показы­вает, во сколько раз пиковое значение сигнала больше его среднеквадратического значения, и численно совпадает с пик-фактором сигнала. В общем случае коэффициент к устанавливает связь между значениями параметров сигнала и шкалы квантования. С его использованием между U₀, δ ичислом уровней квантования М может быть установлена следующая связь:

при квантовании двуполярных сигналов:

; (12)

при квантовании однополярных сигналов:

. (13)

Подставив выражения (11-13) в формулу (8), получим иное представление для оценки шума квантования. В случае двухполярного сигнала имеем:

. (14)

В случае однополярного сигнала получим:

. (15)

Мощность полезного сигнала равна его дисперсии, т.е.

, (16)

поэтому и квадрат среднеквадратического значения пред­ставляет мощность наибольшего входного сигнала, т.е. .

Используя (9), (10) и (14), (16), находим ОСШК:

для двуполярных сигналов:

(17)

или защищенность (в дБ):

(18)

для однополярных сигналов:

(19)

или

(20)

При m-разрядном кодировании М = 2^m. Подставив это значение в формулы (18) и (20), получим значения защищенности от шумов квантования для двуполярного сигнала:

(21)

и для однополярного сигнала:

(22)

При квантовании сигнала от одного источника, когда ,защищенность от шумов квантования определится по формулам:

(23)

для двуполярных сигналов и

(24)

для однополярных сигналов.

Последние формулы показывают, что при равномерном кванто­вании защищенность А_кв увеличивается на 6 дБ с возрастанием разрядов в кодовой группе на каждую единицу и при σ_с < U₀ она растет прямо пропорционально уровню сигнала [см. формулы (21) и (22)]. Так, при переходе от восьмиразрядного к девятиразрядному коду защищенность от шумов квантования А_кв увеличивается на 6 дБ, но при этом требуемая скорость передачи возрастает на 12,5 %, что не всегда является приемлемым.

Воспользуемся полученными формулами для оценки защищен­ности от шумов квантования для различных сигналов.

Гармонический сигнал. Величину порога ограничения U₀ при­мем равной амплитуде сигнала U_макс. Тогда коэффициент к = , а защищенность от шумов квантования согласно (23), будет равна

(25)

Речевой сигнал. Плотность вероятности распределения мгно­венных значений речевого сигнала для большинства практических задач принято представлять экспоненциальным законом и в случае кодирования одиночного сигнала принимают значение коэффици­ента к = 5, при котором вероятность появления шумов ограничения не превышает 10^-4. Подставив значение к в(23), получим

(26)

Речевой сигнал, поступающий от разных источников. В этом случае расчет защищенности следует производить по фор­муле (21). С учетом (26) имеем

. (27)

Распределение средних мощностей телефонных сигналов от различных источников соответствует нормальному закону со сред-неквадратическим отклонением σ_с = 3,5...5,5 дБ. При этом с вероят­ностью р = 0,997 значения случайной величины не выходят за пределы ±3σ_с, что при σ_с = 5,5 дБ составляет ±16,5 дБ. С учетом сказанного защищенность от шумов квантования для самых слабых сигналов будет равна

. (28)

Многоканальный групповой телефонный сигнал. В этом случае принимают к = 4 и из (23) находим защищенность от шумов квантования, равную

. (29)

Многоканальный групповой телефонный сигнал имеет нормаль­ное распределение мгновенных значений и при к = 4 вероятность появления шумов ограничения не превышает р= 10^-4.

Телевизионный сигнал. Поскольку телевизионный сигнал яв­ляется однополярным и при к= (для этой величины вероят­ность появления шумов ограничения весьма мала) защищенность от шумов квантования находится по формуле (24)

. (30)

Выражения (21) и (22) показывают, что защищенность от шумов квантования непостоянна для сигналов различного уровня. Она минимально для слабых сигналов и растет с увеличением отноше­ния .При защищенность от шумов квантования максимальна. При возрастает вероятность появления шумов ограничения и защищенность от суммарного влияния шумов квантования и ограничения уменьшается. Рассчитаем мощность шума ограничения, предполагая, что квантованию подвергается речевой сигнал.

Мгновенное значение шума ограничения его мощ­ность связаны соотношением

. (31)

Здесь w(u) = – плотность вероятности распределения мгновенных значений речевого сигнала. Подставив формулу для w(u) в (31) и выполнив некоторые преобразования, получим

. (32)

Защищенность от шумов ограничения будет равна

(33)

Отношение W_c/ W_огр растет с увеличением к,что естественно, поскольку при этом растет порог ограничения U₀ и, следовательно, уменьшается вероятность его превышения. Поскольку шумы кван­тования и ограничения независимы, то общий шум, возникающий при квантовании, равен сумме этих шумов, т.е.

(34)

Результирующее значение отношения сигнал/шум определится, следовательно, по формуле

. (35)

На рис. 2 приведена зависимость этого отношения от значения относительного уровня входного сигнала, под которым понимается логарифмическая Мера передачи вида ,для раз­личных значений коэффициента к.

Рисунок 2 – Защищенность от шумов квантования и ограничения в зависимости от относительного уровня входного сигнала

При построении зависимости имелось в виду, что при преобладают шумы квантования, а при преобладают шумы ограничения. Полученные графики имеют явно выраженные максимумы отношения сигнал/шум, положение которых несколько смещено от точки, где .

Из рассмотрения графиков (см. рис. 2) следует, что при равно­мерном квантовании существует оптимальный уровень входного сигнала, при квантовании которого отношение сигнал-шум оказыва­ется наибольшим. Отклонение уровня входного сигнала, как в сто­рону уменьшения, так и в сторону увеличения, приводит к снижению защищенности.

По полученным характеристикам можно определить диапазон (условно динамический) уровней входных сигналов D при известном коэффициенте к,в пределах которого защищенность окажется не ниже требуемых значений - А_тр. Значение D легко может быть определено графически, как показано на рис. 2.

С другой стороны, задавшись минимально допустимым значени­ем защищенности и диапазоном изменений уровней входных сигна­лов, можно определить необходимую разрядность (или длину) кодовой комбинации при кодировании отсчета АИМ на выходе квантующего устройства при равномерном квантовании. Рассмот­рим этот вопрос для случая кодирования телефонных сигналов, поступающих от различных источников. Пусть требуется обеспечить защищенность от шумов квантования не менее А_кв = 25 дБ для всех абонентов. Из (28) следует, что для самых слабых сигналов задан­ная защищенность будет обеспечена при m = (42,2 + 25)/6 =12 (округляется в сторону большего целого), что соответствует числу уровней квантования М = 2¹² = 4096. При этом защищенность для сигналов с максимальной амплитудой (сильных сигналов) будет более чем на 30 дБ превышать требуемую защищенность. Большое число разрядов кода при равномерном квантований приводит к усложнению аппаратуры и увеличению требуемой пропускной способности трактов, что экономически невыгодно. Устранить ука­занный существенный недостаток можно, осуществляя неравно­мерное квантование.

Оценка шумов квантования при неравномерном квантова­нии. Принеравномерном квантовании шаг квантования не остается постоянным, а является переменным и изменяется по определенно­му закону. Если потребовать постоянства защищенности от шумов квантования в заданном динамическом диапазоне для всех уровней входных сигналов, то можно легко определить, воспользовавшись формулами (8) и (10), зависимость шага квантования от мгновенного значения напряжения u_вх (или тока) квантуемого сигнала:

. (36)

Из формулы (36) следует, что для слабых сигналов шаг кванто­вания должен быть минимальным и возрастает с увеличением напряжения (тока) сигнала, т.е. должна быть нелинейная шкала квантования. Амплитудная характеристика соответствующего квантующего устройства при неравномерном квантовании показана на рис.3.

 

 

Рисунок 3 – Неравномерная шкала квантования

 

Получение переменного шага квантования может быть реализо­вано следующими способами:

1) сжатием динамического диапазона сигнала с помощью компрессора (К)перед кодированием его в кодирующем устройстве с линейной шкалой квантования и последующим его расширением экспандером (Э) после декодирования (рис. 4); совокупность опера­ций, проводимых компрессором и экспандером, называется компандированием сигнала; характеристика компандирования (К - Э),т.е. каскадного соединения компрессора и экспандера, должна быть линейной;

2) нелинейным кодированием и декодированием;

3) цифровым компандированием.

Указанные способы практически равноценны, но для теоретиче­ских исследований, последующих выводов и дальнейшей реализа­ции различных методов неравномерного квантования, рассмотрим неравномерное квантование с помощью компандирования сигнала.

Для зависимости, изображенной на рис. 4, где по осям отложены нормированные значения входных х и выходных у сигналов, добиваются того, чтобы при изменении Δх приращение Δу было бы постоянным, а приращение Δх - обратно пропорционально наклону характеристики, т.е.

. (37)

Рисунок 4 – Реализация неравномерной шкалы квантования с помощью компандерных устройств

 

Соответственно шаг квантования по оси х будет равен

(38)

Если число уровней квантования М в нормированном (от 1 до минус 1) диапазоне, то

. (39)

Среднюю мощность шума, обусловленного неравномерным квантованием, можно определить по выражениям (5)...(8), если вместо шага квантования σ_i подставить его значение в каждом шаге квантования. Подставив выражение (39) в формулу (7), получим

. (40)

Для расчета мощности шумов квантования при большом числе уровней квантования М операцию суммирования можно заменить интегрированием, тогда

, (41)

здесь w(х) - плотность распределения вероятности нормированно­го сигнала на входе квантующего устройства.

Мощность сигнала можно выразить через его плотность распре­деления вероятности w(х) нормированного сигнала на выходе квантующего устройства

.

Тогда отношение сигнал-шум квантования (ОСШК) с учетом (41) будет иметь вид

. (42)

Для обеспечения постоянства ОСШК необходимо, чтобы

. (43)

Подставив в формулу (43) выражение (37), получим

.

Так как Δу постоянно, то получим

dy = С₂ (dx/x).

Проинтегрировав правую и левую части последнего выражения, получим

,

где – постоянная интегрирования. Отсюда

. (44)

Для нахождения постоянных этого выражения необходимо учи­тывать граничные условия закона изменений у = (х):1) при х = 0, у = 0 и 2) при х=1, у=1.

Первое условие приводит к нереализуемому результату. Зави­симость полученной функции не переходит через начало координат (рис. 5). Чтобы обеспечить реализацию, следует несколько изме­нить выражение (44) или изменить начальные условия.

При изменении выражения (44) под знак логарифма вводим по­стоянную С₃:

, (45)

тогда, подставляя нулевые граничные условия, получим значение постоянной С₃ = 1.Подставив второе граничное условие, найдем значение для С₂ .

 

Рисунок 5 – Характеристики μ-закона компандирования

 

Подставив последнее выражение в (45) и учитывая, что С₃ = 1,получим,

. (46)

Компандирование, осуществляемое по закону, описываемому формулой (46), называется логарифмическим с характеристикой типа μ (или μ-закон компандирования). Параметр μ называется коэффициентом сжатия и определяется из соотношения

. (47)

Здесь δ_макс и δ_мин - максимальное и минимальное значение шага квантования соответственно. Чем больше коэффициент сжатия μ,тем больше разница между δ_махс и δ_мин. Вид характеристики μ -закона компандирования для различных значений коэффициента сжатия μ показан на рис. 5. Выбор коэффициента сжатия зависит от характе­ристик входных сигналов. В существующих цифровых системах передачи принимают μ = 255.

Для больших значений коэффициента сжатия μ защищенность от шумов квантования двуполярных сигналов может быть опреде­лена по формуле:

А_кв= . (48)

Из последнего выражения следует, что выбор коэффициента сжатия оказывает большое влияние на защищенность от шумов квантования.

Если μ = 255, то для т= 7имеем А_кв = 32 дБ, а при т = 8 соот­ветственно А_кв = 38 дБ.

 

Рисунок 6 – Логарифмический А-закон командирования

 

Вернемся к выражению (44). При изменении начальных условий реализацию обеспечивают таким образом. Будем считать, что равенство (44) действительно только на участках от у = 1до точки х₁ (см. рис. 6), в которой касательная к функции у(х) проходит через начало координат (штриховая линия), то на основании (44) и второ­го граничного условия получим:

и, следовательно,

.

Если теперь принять μ=еА, где е - основание натуральных ло­гарифмов, то

.

Так как эта функция действует только до определенной точки ха­рактеристики х₁,после которой логарифмическая характеристика переходит в касательную прямую, проходящую через начало коор­динат, то

. (49)

В этой точке равны производные обеих функций, т.е.

. (50)

Приравняем выражения (49) и (50):

,

что возможно, если х₁ = 1/ А. Отсюда В=А/( 1 + ln А).

Тогда

(51)

Закон компандирования, описываемый выражениями (51), назы­вается А -законом. Параметр А,называемый параметром сжатия (компрессии), обычно выбирается равным 87,6. Этот закон коман­дирования нашел широкое применение в европейских странах, в трм числе и в России, входные сигналы, напряжение которых меньше U_макс/A,подвергаются линейному кодированию, а сигналы, напряжение которых больше U_макс/A,подвергаются неравномерному квантованию по логарифмическому закону.

Нелинейное квантование позволяет значительно улучшить за­щищенность А_кв в области малых сигналов за счет ее некоторого снижения для сигналов с большим уровнем. Выигрыш, от компандирования ΔА прямо пропорционален крутизна характеристики ком­прессии (сжатия) и для, слабых сигналов может быть определен отношением шага квантования равномерного квантования к шагу квантования, неравномерного квантования при . Мощность шумов квантования при равномерном квантовании рассчитывается по формуле (8). При неравномерном квантовании дли слабых сиг­налов она будет определяться наименьшим шагом квантования .

Тогда выигрыш в защищенности за счет неравномерного кванто­вания

. (52)

Шаг квантования зависит от крутизны характеристики компрес­сора (см. рис, 4) и согласно выражению (38), отношение δ∕δ_мин равно dy/dx. При компандировании по А -закону длясигналов меньших или равных значениям 1 ∕А (выражение 51) производная dy/dx = и для А = 87,6 выигрыш в защищенности от шумов квантования будет равен ΔА =24 дБ.

Для сравнения на рис.7 приведены зависимости А_кв защищенно­сти от входного уровня сигнала р_вх, при равномерном (линейном), линия 1, и неравномерном (нелинейном) квантовании, линия 2.

Рисунок 7 – К определению выигрыша в защищенности при неравномерном квантовании

 

Таким образом, неравномерное квантование для А закона ком-пандирования позволяет, увеличив защищенность на 24 дБ, умень­шить на 24/6 = 4 число разрядов кода, обеспечив требуемую защищенность от шумов квантования для наиболее слабых рече­вых сигналов при восьмиразрядном кодировании вместо двенадца­тиразрядного при равномерном (линейном) квантовании.

В современных цифровых системах передачи используют циф­ровые компандерные устройства (компрессоры и экспандеры - сжиматели и расширители), которые объединены и взаимодейству­ют вместе с кодирующими и декодирующими устройствами. При этом в качестве функции у(х) применяют характеристику гипотети­ческого компрессора, которая представляет собой аппроксимацию одного из законов командирования (μ или А)ломаной линией.

Энергетический спектр шума квантования. Шум квантова­ния, образующийся в результате дискретизации и квантования, представляет собой последовательность некоррелированных им­пульсов со случайной амплитудой (см. рис. 1, б). Энергетический спектр такой последовательности описывается выражением

,(53)

где τ_и - длительность импульса; Т_д - период дискретизации; σ_кв -дисперсия шума квантования. Форма энергетического спектра шума квантования показана на рис.8.

Из (53) следует, что по мере уменьшения длительности импуль­сов отсчетов τ_и энергетический спектр шума квантования становит­ся все более равномерным и при шум квантования превращается в «белый шум», имеющий постоянный энергетиче­ский спектр в широкой полосе частот, значительно превышающей ширину спектра сигнала.

 

 

Рисунок 8 – Энергетический спектр шумов квантования

 

Как отмечалось ранее, демодуляция АИМ сигнала осуществляется фильтром нижних частот (ФНЧ), частота среза которого равна верхней частоте спектра сигнала F_uaKC. Поскольку квантованный АИМ сигнал на входе демодулятора можно рассмат­ривать как сумму исходного АИМ сигнала и шума квантования, для оценки отношения сигнал-шум квантования (ОСШК) на выходе демодулятора рассмотрим прохождение через ФНЧ неискаженного сигнала и шума.

Мощность низкочастотной составляющей спектра АИМ сигнала в Т_д/τ_и раз меньше мощности исходного сигнала (для т_а= 1), а мак­симальная частота этого спектра не может превышать половины частоты дискретизации. Мощность шума квантования на выходе демодулятора АИМ сигнала в полосе частот от нуля до половины частоты дискретизации Ω_д/2 будет равна

.

На верхней частотевыражение для мощности шумов квантования принимает вид

. (54)

Отсюда ОСШК на выходе ФНЧ демодулятора равно

.

Следовательно, при использовании в демодуляторе АИМ кван­тованного сигнала ФНЧ с полосой пропускания, равной половине частоты дискретизации, ОСШК на выходе фильтра равно отноше­нию полных мощностей сигнала и шума квантования. Поэтому при расчетах можно считать, что спектр шума квантования сосредото­чен в области частот 0...Ω_д/2 и имеет в пределах этого диапазона равномерную спектральную плотность

. (55)

Если сигнал занимает полосу частот меньшую, чем Ω_д,то целе­сообразно граничную частоту ФНЧ демодулятора принять равной верхней частоте сигнала Ω_макс, поскольку такой фильтр подавит часть шума квантования, лежащую в частотном диапазоне от Ω_макс до Ω_д/2, а сигнал пропустит полностью.

При неравномерном квантовании можно также считать, что спектр шума квантования является равномерным в полосе частот от 0 до Ω_д/2.

Знание спектра шумов квантования особенно важно, когда под­лежащий кодированию сигнал является групповым сигналом много­канальной системы передачи с частотным разделением каналов. В этом случае шум на выходе канала обуславливается не только квантованием сигнала именно этого канала, но и квантованием группового сигнала; этот процесс создает широкополосный шум, часть которого попадает в канальный фильтр системы передачи с частотным разделением каналов. Если все каналы предназначают­ся для использования в одинаковом режиме (скажем, для передачи только телефонных сообщений), то их средние сигналы следует считать также одинаковыми и, следовательно, спектр шума являет­ся равномерным.