Тема 8. Цифровая реализация основных

Функциональных устройств телекоммуникаций

 

Возможность цифровой реализации сложных устройств телекоммуникаций рассмотрим на примере проектирования функциональной схемы цифрового частотного модулятора

Пусть в соответствии с техническими требованиями цифровой частотный модулятор (ЦЧМ) должен вырабатывать синусоидальное колебание с линейно изменяющейся частотой от 500 кГц до 8,5 МГц с периодом повторения 18,4 мс.

Один из возможных способов реализации ЦЧМ представлен на рисунке 8.1.

Рисунок 8.1 – Обобщенная структурная схема цифрового частотного модулятора

Процесс генерации заключается в вычислении на каждом такте текущего значения фазы частотно-модулированного колебания в двоичном виде и затем выборки по коду фазы соответствующего значения мгновенного значения синусоидального сигнала из постоянного запоминающего устройства (ROM Sin). Таким образом, реализация ЦЧМ сводится к реализации алгоритма вычисления фазы.

Выражение для частоты линейно изменяющегося синусоидального колебания может быть записано в виде:

 

ω(t) = ω₀ + ∆ω t/τ (8.1)

 

Учитывая интегральную зависимость межу мгновенной частотой и фазой синусоидального колебания, мгновенная фаза определяется в виде:

 

φ(t) = ∫ω(τ) dτ = ω₀t + ∆ω t²/2τ, (8.2)

 

где ω₀ = 2π·500 кГц;

∆ω = 2π·(8500 – 500) ·10 ³ Гц = 2π ·8 ·10 ⁶ Гц;

τ – время присутствия сигнала, равное 18,4 мс.

 

Так как предполагается цифровая реализация вычислителя фазы, то для дискретных моментов времени, соответствующих тактовым точкам мгновенная фаза определяется как

 

φ(i·∆t) = ω₀·i·∆t + ∆ω·(i·∆t)²/2τ, (8.3)

 

Учитывая, что ∆t = 1/f_т, запишем выражение (8.3) в следующем виде:

 

φ_i = (ω₀/f_т)·i + (∆ω/2τ f_т²)·i² (8.4)

 

Обозначим δ_φ = (∆ω/2τ f_т²) и перепишем выражение (8.4):

 

φ_i = δ_φ(ω₀/f_т)·i + i² = δ_φ(N₀·i + i²) = δ_φ·i·(N₀ + i), (8.5)

 

N₀ = (ω₀·2τ f_т)/∆ω (8.6)

N₀ = 73360

 

Таким образом формула (8.5) – это алгоритм вычисления фазы линейно изменяющегося синусоидального колебания. Структурная схема вычислителя фазы по этому алгоритму представлена на рисунке 8.2.

 

 

Рисунок 8.2 – Структурная схема вычислителя фазы, реализующего алгоритм (8.5)

 

Рассчитаем количество точек на период, необходимых для описания сигнала синусоиды:

 

N = 2π/δ_φ (8.7)

N = 4695040 точек

 

Рассмотрим возможности реализации схемы по рисунку 8.2. Для обеспечения требуемой точности сумматор должен иметь разрядность, эквивалентную числу точек на период, т.е. 23. Схема умножения, должна иметь разрядность, эквивалентную числу N₀, т.е. 17. Видим, что реализация данной схемы представляется сложной и еще потому, что схема возведения в квадрат оперирует переменным числом.

Наряду с прямым вычислением фазы колебания с линейным изменением частоты можно использовать рекуррентный алгоритм, представляемый в обобщенном виде:

 

φ_i+1 = φ_i + ∆φ_i, (8.8)

 

и в соответствии с которым последующее значение фазы вычисляется путем суммирования текущего значения фазы с рассчитанным приращением фазы.

Приращение фазы на i -том такте составляет:

 

∆φ_i =φ_i+1 - φ_i = δ_φ(N₀·(i + 1) + (i + 1)² – N₀·i – i²) = δ_φ(N₀ + 2i + 1) (8.9)

 

Таким образом, формулы (8.8) и (8.9) являются алгоритмом вычисления фазы, для реализации которого можно предложить следующий вариант построения схемы вычисления фазы (рисунок 8.3).

 

 

Рисунок 8.3 – Обобщенная структурная схема цифрового частотного модулятора, реализующего алгоритм (8.8), (8.9)

 

Анализ этой схемы показывает, что сложность ее реализации заключается только в построении сумматоров, разрядность которых равна 23.

Так как для представления телевизионного сигнала с необходимой точностью достаточно 256 уровней квантования, что соответствует 8-ми битному кодированию отсчетов, определяем минимальное приращение напряжения, приходящееся на шаг квантования: ∆U = 2/256 = 1/128, где 2 – это размах синусоиды в относительных единицах. Задавшись условием, что ошибка в определении фазы не должна превышать ошибку квантования, определяем минимальное приращение фазы, соответствующее приращению уровня на шаг квантования. С учетом того, что максимальная крутизна синусоидального колебания соответствует участку перехода функции через ноль, минимальное приращение фазы составит:

 

δ_φ^* = arcsin (∆U) ≈ ∆U (8.10)

 

δ_φ^* = 1/128

 

Определим количество точек фазы, приходящихся на период 2p, исходя из минимального приращения фазы на отсчет δ_φ^*:

 

N^* = 2π/ δ_φ^* (8.11)

 

N^* = 804 точки

 

Выбираем количество точек кратным степени 2 и равным 1024.

Пересчитываем минимальное приращение фазы на один отсчет исходя из выбранного количества точек из формулы (8.): δ_φ^* = π/512.

Как было сказано выше, сложность построения схемы на рисунке 8.3 заключается в реализации 23-х разрядного сумматора. Можно упростить построение схемы, если отбросить несколько младших значений суммируемого числа. Отбрасываем К_у младших значений числа i и получаем эквивалентное ему число К_у·int(i / К_у) с некоторой ошибкой (int (х) – операция извлечения целой части числа х). Определим эту ошибку, накапливаемую за расчетный цикл, состоящий из К_у тактов:

 

δ_{ц =} ∑ j - ∑ К_у·int(i / К_у) = К_у(К_у – 1) / 2, (8.12)

 

где j изменяется от i до i + К_у – 1.

Положительное значение ошибки говорит о том, что истинное значение всегда больше, чем рассчитанное с усечением.

Среднее значение ошибки усечения на такт составляет:

 

δ_ср = δ_ц /К_у = (К_у – 1) / 2 (8.13)

 

Таким образом, число i можно представить в виде суммы усеченного числа и усредненной ошибки:

 

i ≡ δ_ср + К_у·int(i / К_у) (8.14)

 

Теперь с учетом формулы (8.14) найдем ошибку, накапливаемую за счет усечения:

 

δ*(К) ₌ ∑ (J - δср) = К(К+1)/2 – (К + 1) δср = (К-2δ_ср)(К+1)/2 (8.15)

 

Путем взятия производной от функции (8.15) по переменной К_у найдем максимальный К_у:

 

К_мах = (К_у-2)/2 (8.16)

 

Подставляя (8.16) в (8.15) получим максимальное значение ошибки в цикле из К_у тактов:

 

δ*(К_мах) = -К_у² / 8 (8.17)

 

Знак минус в выражении (8.17) говорит о том, что усеченное значение всегда (за исключением номеров тактов кратных Ку) больше чем истинное.

Найдем значение приращения фазы на i-том такте с учетом усечения:

 

∆φ_i* = δ_φ(N₀+1+2δ_ср +2К_у·int(i / К_у) (8.18)

 

∆φ_i+1* = δ_φ ·К_у·∑[(N₀+1+2δ_ср)/К_у+2int(i / К_у)] (8.19)

 

∆φ_i* = δ_φ · К_у [(N₀+1+2δ_ср)/ К_у +2int(i / К_у)] (8.20)

 

Величина ошибки фазы не должна превышать δ_φ^* = π/512:

 

δ_φ К_у² / 8 ≤ δ_φ^* (8.21)

 

Отсюда получаем К_у ≤ 191.Выбор конкретного значения К_у диктуется следующими соображениями:

Для обеспечения суммирования по модулю 2 необходимо выполнение условия:

 

δ_φ^* = δ_φ К_у·2^m (8.22)

 

Так как δ_φ = π·∆f/τ·fт², то можем варьировать τ и ∆f для обеспечения выполнения равенства. Изменяя в небольших пределах τ, получаем,что Ку_мах = = 143, m = 5, т.е. δ_φ = π/2342912, а τ = 18340 мкс, т.е. значение мгновенной частоты в 8,5 МГц будет достигнуто не в конце активной части поля, а на 36 мкс (приблизительно половина длительности строки) раньше. Тогда N₀ = (ω/fт)δ_φ = = 73216. Получаем, что [(N₀+1+2δ_ср)/К_у = 513.

Окончательно выражение для приращения фазы на i-том такте выглядит в виде:

 

∆φ_i = 513 +int(i / 143) (8.23)

 

На основании этого синтезируем функциональную схему цифрового частотного модулятора, обеспечивающего формирование в цифровом виде ЛЧМ сигнала (рисунок 8.4).

 

Рисунок 8.4 – Функциональная схема цифрового частотного модулятора