Изучение упругого удара шаров

Цель работы: изучение центрального соударения шаров; проверка законов сохранения импульса и механической энергии; определение коэффициентов восстановления скорости и кинетической энергии; изучение зависимости средней силы удара и времени соударения от относительной скорости шаров.

ВВЕДЕНИЕ

Ударом называется явление изменения скоростей тел на конечные значения за очень короткий промежуток времени происходящее при их столкновениях. Следствием удара могут быть остаточные деформации, звуковые колебания, нагревание тел, изменение механических свойств их материалов и др. При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся телакак замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Выделяют два предельных случая удара - абсолютно неупругий и абсолютно упругий.

При абсолютно неупругом ударе сталкивающиеся тела соединяются вместе и движутся как одно тело или покоятся. В этом случае выполняется закон сохранения импульса и закон сохранения полной энергии системы. Закон сохранения механической энергии не выполняется, так как кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию.

При абсолютно упругом ударе механическая энергия тел не переходит в другие немеханические виды. Кинетическая энергия полностью или частично превращается в потенциальную энергию упругой деформации, которая потом опять переходит в кинетическую энергию после удара. Применяя закон сохранения энергии к таким соударениям, можно не учитывать внутренней энергии тел и говорить о сохранении механической энергии. Таким образом, при абсолютно упругом ударе выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. При этом система сталкивающихся тел должна быть замкнутой.

Рассмотрим соударение двух металлических шаров с массами m ₁ и m ₂, подвешенных на нитях длиной   (рис. 1).

Будем считать, что удар является центральным, т.е. в момент соударения шары движутся по прямой, проходящей через их центры.

В исходном положении шары находятся в положении равновесия. Если шар 1 отклонить на угол a ₀₁ и отпустить к моменту соударения его

2

1

Рис.1

с неподвижным шаром 2 в нижней точке он разовьет скорость u ₀₁,. Эту скорость нетрудно найти из закона сохранения энергии для первого шара

,

откуда,  , где h - высота подъёма центра массшара 1 при отклонении его на угол a ₀₁. Учитывая, что

,

получаем

                         .                                      (1)

В результате соударения шар 2 приобретает скорость u ₂, а скорость первого шара станет равной u ₁. Эти скорости можно найти по формулам, аналогичным (1):

,          ,                 (2)

где a ₁ и a ₂ углы, на которые отклонятся, разлетевшись после удара, первый и второй шары, соответственно. Если бы удар шаров был абсолютно упругим, то в соответствии с законом сохранения импульса и энергии имели бы место равенства

,                                  (3)

 

.                          (4)

То есть, суммарный импульс шаров и их суммарная кинетическая энергия после удара были бы такими же, как и до удара. Реальные шары, однако, не являются идеально упругими, а удар - абсолютно упругим. Это отклонение не нарушает закон сохранения импульса (3), но делает несправедливым равенство суммарной кинетической энергии шаров до и после удара (4). Поэтому для характеристики близости реального упругого удара к абсолютно упругому вводятся коэффициент восстановления скорости и коэффициент восстановления кинетической энергии   определяемые выражениями

 

,

 

,                                (5)

где , – относительные скорости шаров до и после удара; Е₀ и Е – суммарные кинетические энергии шаров до и после удара.

В рассматриваемом случае при условии,  что скорости  ,   и   направлены в одну сторону, имеем

 

    ,           .                   (6)

          

С учетом формул (6), (1) и (2) для коэффициентов восстановления из (5) имеем

                                   (7)

.                          (8)

Средняя сила удара может быть найдена из второго закона Ньютона

,

где t - время соударения, - изменение скорости одного из шаров за это время.

Для второго шара начальная скорость u ₀₂ = 0, поэтому

,

,                                  (9)

так как u ₂ определяется из (2).

 

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Общий вид установки ФПМ-08 изображен на рис.2.Она состоит из основания 1 с регулируемыми опорами 2, двух маятников 3 и 4 с механизмом изменения межцентрового расстояния их 5, двух шкал 6 и 7, электромагнита 11 и микросекундомера 10. Маятники представляют собой шары, подвешенные с помощью токопроводящих нитей к вертикальной стойке. Нити выполнены двойными и имеют зажимы для регулировки и фиксации их длины.

Механизм изменения межцентрового расстояния шаров приводится в действие ручкой 6 и фиксируется гайкой 9.

Две шкалы, левая и правая, служат для определения углов отклонения шаров от положения равновесия. Шкалы можно легко перемещать и фиксировать в выбранном положении при помощи винтов.

Максимальный отсчет по каждой шкале составляет 15 градусов, цена деления шкалы 30 минут.

Электромагнит 11 предназначен для удерживания подведенного к нему шара в отклоненном положении. Регулировка усилия притяжения шара осуществляется винтом 12. Электромагнит можно перемещать по вертикали и вдоль шкалы и фиксировать в выбранном положении.

 

Рис.2.

 

С помощью регулировочных опор 2 устанавливается вертикальное положение маятников в соответствии с уровнем.

В исходном состоянии шары должны касаться друг друга, риски на парах должны быть на одном уровне, нониусы шаров должны находиться в одной вертикальной плоскости со шкалами.

Положение электромагнита должно быть отрегулировано таким образом, чтобы его ось совпадала с риской подведенного к нему шара, и чтобы он правильно ориентировал качание шара в плоскости со шкалами.

Микросекундомер служит для измерения времени соударения металлических шаров и для питания электромагнита. На его передней панели находятся:

- кнопка "сеть" 13 для включения питания микросекундомера и электромагнита;

- кнопка "сброс" 15 для подготовки микросекундомера к работе:

- кнопка "пуск" 16 для отключения электромагнита и запуска отклоненного шара;

- индикаторная панель времени 17;

- сигнальная лампочка "переполнение" 14.

Микросекундомер должен быть после включения в сеть прогрет в течение 10 с.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Левую шкалу 6 подвинуть до соприкосновения с правой шкалой 7.

2. Включить в сеть шнур питания микросекундомера и нажать на кнопку “сеть”, расположенную на его панели. При этом должны загореться лампочки цифрового индикатора.

3. Произвести три соударения шаров, оставляя левый шар в положении равновесия, а правый, отклоняя на угол, задаваемый положением электромагнита. Определить при первом соударениишаров время удара t, при втором - первый отброс по шкале левого шара N ₂, при третьем - первый отброс по шкале правого шара N₁.

        Рис. 3.               Рис.4.             Рис.5.

 

 

Каждое измерение производить в следующем порядке:

1. Отметить начальное положение шаров на обеих шкалах: О₁ - для правого шара О₂ - для левого (рис.3).

2. Отклонить правый шар до соприкосновения с электромагнитом и записать показание N ₀₁.

3. Нажать кнопку сброс. При этом на лампочках цифрового индикатора должны загореться цифры "0".

4. Убедившись, что левый шар находится в состоянии покоя, нажать на кнопку «пуск». При этом произойдет соударение шаров.

5. Произвести отсчет времени соударения t, либо отброса левого шара N ₂ (рис. 5), либо правого шара N₁ (рис. 4). При замере отброса одного из шаров можно другой после удара отвести в сторону.

6. Повторить измерения по пунктам 3-5 два раза при одном и том же положении электромагнита.

7. Определить длину подвеса (от центра шара до точки подвеса) и взять среднее значение.

8. Завести результаты всех измерений в табл. 1 и найти средние значения времени соударения и углов отклонения шаров. Углы отклонения шаров можно определить по формулам

 ,         ,       .               (10)

9. Измерить t, a ₀₁, a ₁, a ₂ (пп.3-6) при двух других положениях электромагнита, меняя положения угла a ₀₁ в пределах от 10 до 15 градусов. Результаты измерений занести в табл.1.

10. Выключить электропитание микросекундомера, нажав кнопку "сеть".

11. Определить по формулам (1) и (2) скорости u ₀₁, u ₁, u ₂ и проверить, удовлетворяют ли они закону сохранения импульса (3).

12. Определить коэффициент восстановления скорости по формуле (7).

13. Определить коэффициент восстановления энергии по формуле (8).

14. Определить среднюю силу удара по формуле (9) для трех различных значений угла a ₀₁.

15. Построить график зависимости силы удара от относительной скорости сталкивающихся шаров .

16. Построить график зависимости времени соударения от относительной скорости сталкивающихся шаров .

 

 

                                                                                       Таблица 1

 

№ пп.	О1	О2	N01	N1	N2	t, мкс
1.
Среднее значение
2.
Среднее значение
3.
Среднее значение

 

17. Рассчитать импульс системы шаров до удара    и импульс системы шаров после удара  по следующим формулам:  

 

и .                         (11)

 

Результаты расчетов занести в табл. 2. Сравнить  и .

18. Определить относительное отклонение импульса по формуле: 

. 

                                   

Таблица 2

№ пп

ℓ, м

a 01, град

a 1, град

a 2, град

u 01, м/с

u 1, м/с

u 2, м/с

P 0, (кг × м)/с

kc

k э

t, мкс

F, Н

P 1, (кг × м)/с

1.

2.

3.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ СДАЧИ РАБОТЫ

1. Какой удар называется абсолютно упругим? Абсолютно неупругим?

2. Какие законы сохранения выполняются при абсолютно упругом ударе? При абсолютно неупругом ударе?

3. Что характеризует коэффициент восстановления скорости? Что характеризует коэффициент восстановления энергии?

4. Как определить среднюю силу центрального упругого удара?

Лабораторная работа № 1-7

 

Определение момента инерции баллистического маятника и скорости полета "пули".

 

Цель работы: ознакомление с законами динамики вращательного движения.      

ВВЕДЕНИЕ

При отклонении физического маятника на небольшой угол можно считать его колебания гармоническими, и тогда период этих колебаний определяется по формуле:

 

,                                       (1)

где  - момент инерции маятника; с – коэффициента возвращающего момента, который зависит от материала, проволоки и её размеров. Из уравнения (1) следует:

 .                                             (2)

Так как коэффициент возвращающего момента трудно рассчитать, его необходимо исключить из расчетной формулы. Для этого на маятнике имеется два добавочных груза, которые могут передвигаться вдоль него. Тогда момент инерции маятника с грузами

                   ,                                             (3)

где  - момент инерции добавочного груза.

По теореме Штейнера:

                      ,                                                     (4)

где - момент инерции груза (диска) относи­тельно оси,    проходящей через его центр тяжести перпендикулярно оси груза;

 - расстояние между центром тяжести груза и осью подвеса;  - масса груза (диска);  - радиус диска;  - толщина диска.

Измерив периоды колебаний маятника с грузами при двух разных их положениях, имеем:

 .                          (5)

 

             .                               (6)

Решая совместно (5) и (6), получаем

 

.

или

.                (7)

Это уравнение для определения момента инерции маятника.

Для определения скорости полета "пули" используется за­кон сохранения момента импульса. "Пуля" выстреливается в маят­ник и, застревая в нем, вызывает его отклонение. Время соуда­рения ''пули" с маятником незначительно по сравнению с перио­дом колебаний. Отклонение маятника от положения равновесия в момент соударения мало. Результирующий момент внешних сил, действующих на систему в момент удара, равен нулю. Систему маятник - "пуля" можно считать замкнутой.

Считая удар абсолютно неупругим, применим закон сохранения момента импульса: момент импульса "пули" до удара    равен моменту импульса системы "маятник - пуля" после удара:

                                

                                       ,                                     (8)

где - масса "пули"';  - момент инерции маятника с грузами без "пули" (мо­ментом инерции "пули" пренебрегаем); - скорость "пули" в момент удара; - расстояние от оси маятника до центра "пули", попав­шей в маятник;  - угловая скорость системы после удара.

    Угловую скорость системы после удара можно определить из закона сохранения энергии. Максимальная кинетическая энергия колеблющегося маятника, которую он имеет, проходя положения рав­новесия, должна быть равна его максимальной потенциальной энергии , которую он имеет в положении максимального отклонения от равновесия:

                           ,                                   (9)

где  - максимальный угол отклонения маятника.

Подставляя уравнение (9) в (8) и решая его относительно , имеем

 .                                                  (10)

Коэффициент возвращающего момента

                                        .                                        (11)                                                     

Тогда окончательно получим

 

                     .                                (12)                    

Для нахождения момента инерции маятника   графически можно построить график , зная периоды колебаний маятника минимум при трех положениях добавочных грузов. График должен представлять собой прямую, уравнение которой имеет вид:

 

.               (13)

A

O

Рис. 1

 

На рис.1 отрезок ОА равен второму слагаемому в уравнении (13):

 

 .                  (14)

Множитель  равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:

.                                      (15)

Таким образом, используя формулу (14) и график (рис.1), можно найти :

.                          (16)