Экспериментальное определение момента инерции

 вращающейся системы

Цель работы: измерение и теоретический расчет момента инерции системы тел и изучение вращательного движения твердого тела.

ВВЕДЕНИЕ

Моментом инерции материальной точки относительно оси называется величина, равная произведению массы m материальной точки на квадрат её расстояния R до оси:

Момент инерции тела (системы материальных точек) относительно оси равен сумме произведений масс этих материальных точек на квадрат их расстояний от этой оси:

,                                        (1)

где m - масса i -ой материальной точки; R_i - радиус этой точки относительно оси вращения.

Для вычисления момента инерции тела его разбивают на бесконечно большое число малых элементов с массами . Поэтому в формуле (1) сумму заменяют интегралом

,                                            (2)

где R - расстояние от элемента  до оси вращения.

Маятник Максвелла представляет собой диск, жестко посаженный на стержень и подвешенный на двух параллельных нитях (рис. 1). Намотав нити на стержень, маятник можно поднять на некоторую высоту , т.е. сообщить ему потенциальную энергию относительно нижнего положения, которое определяется длиной нити подвеса. В верхнем положении маятник освобождают. Силы и моменты сил, действующих на маятник, сообщают ему одновременно поступательное и вращательное движение. Считая данную физическую систему (подвес - маятник - Земля) замкнутой, запишем для неё закон сохранения энергии:

,                                                   (3)

где  - момент инерции маятника относительно оси стержня; m - масса маятника, равная массе диска 6 со стержнем 7 (рис. 2) и массе сменного кольца 8 (масса сменного кольца 8 указана на нем);

   - угловая скорость маятника;

 - скорость центра масс;

 h₀  - начальная высота подъёма маятника;

 h - высота подъёма маятника в данный момент времени.

Рис.1                                                             Рис.2

Начальное состояние системы при t = 0:

.

Конечное состояние системы:

.

Можно показать, что при выполнении соотношения (3), ускорение маятника a является постоянным. Для этого продифференцируем (3) по времени, учитывая, что скорость центра масс    связана с угловой скоростью маятника w  и радиусом стержня r, на который наматывается нить, соотношением u = w r:

или

.

Следовательно, ускорение а будет определяться

,                                     (4)

где J, m и r для данного маятника являются постоянными.

При а = const и u ₀ = 0 в выбранной системе отсчета

,                                              (5)

где t - время падения маятника;

S = h₀ - h расстояние, пройденное телом за это время. Из соотношений (4) и (5) находим момент инерции маятника:

.                                       (6)

Из (6) видно, что, измерив t, S, r и m можно найти момент инерции тела. Однако, электромагнит 13 (рис.2), удерживающий маятник в начальном положении, обладает инертностью, после выключения он некоторое время D t ещё продолжает удерживать маятник. При одновременном включении миллисекундомера и размыкании цепи электромагнита отсчет времени начинается на D t секунду раньше начального момента падения маятника. Измеренное значение времени падения получается завышенным. Эту систематическую ошибку можно исключить. Запишем формулу (5) с учетом Dt времени задержки маятника электромагнитом:

или

.                                (7)

 

Из формулы (7) видно, что график зависимости  (рис.3) представляет собой прямую с угловым коэффициентом .

Рис.3

При этом величина D t не влияет на наклон прямой, а значит и на точность определения ускорения, которое будет

.                                                  (8)

Поэтому окончательную формулу для определения момента инерции запишем в виде

,                                               (9)

где  а - ускорение центра масс маятника определяемое по наклону прямой (рис. 3) из формулы (8);

m = m₀ + m₁ - масса маятника;

m₀ - масса диска 6 со стержнем 7 (указаны на диске и стержне);    

m₁ - масса сменного кольца 8 (указана на кольце).