Фактори, що впливають на розсіювання ракет

Ефективність дії ракет поряд з іншими факторами визначається і тим, наскільки точно реальні траєкторії ракет відповідають розрахунковим, за даними яких визначаються вихідні умови для стрільби як керованими ракетами, так і некерованими. Дослідження умов, необхідних для забезпечення потрібного збігу розрахункових і дійсних траєкторій, складає зміст теорії стійкості руху ракет.

Задача щодо стійкості руху тіл була вперше вирішена відомим російським ученим М. Є. Жуковським у роботі «О прочности движения» (1882 р.) та А. М. Ляпуновим у роботі «Общая задача об устойчивости движения» (1892 р.). На сьогодні теорія стійкості суттєво вдосконалена, вона розглядає не тільки питання стійкості руху механічних систем (літаків, ракет), але й питання стійкості систем управління, систем автоматичного регулювання тощо.

При дослідженні руху ракет останній зазвичай поділяється на збурений та незбурений.

Незбуреним рухом називають такий рух, який здійснювала б ракета у стандартній атмосфері чи в безповітряному просторі при дії на неї заздалегідь передбачених сил, що відповідають визначеним закономірностям. Траєкторія ракети, яка відповідає незбуреному руху її ЦМ, також називається незбуреною чи розрахунковою (програмною, номінальною).

При визначенні програмної траєкторії руху ракет вважають, що параметри ракети і її системи управління мають номінальні (розрахункові) значення і політ відбувається при табличних умовах в атмосфері, параметри якої в точності відповідають так званій стандартній атмосфері.

З попереднього матеріалу відомо, що стан атмосфери дуже мінливий та залежить від багатьох факторів: пори року, доби, географічних координат місцевості, висоти над рівнем моря, метеорологічних умов тощо. Ця непостійність стану атмосфери створює незручності під час розрахунку траєкторії польоту ракет, тому що результати розрахунків сильно залежать від прийнятих параметрів повітря.

Для усунення цих незручностей використовують стандартну атмосферу, (середні значення параметрів тиску, щільності і температури повітря). Однак у реальних умовах рух ракет відбувається за наявності додаткових, імовірних факторів, які зазвичай при розрахунку номінальних траєкторій не беруться до уваги через відсутність надійної інформації про них. Дія цих факторів приводить до того, що ракета буде рухатися не по розрахунковій (програмній) траєкторії, а відхиляючись від неї відповідно до величин і напряму збурень. Отримана таким шляхом траєкторія буде відрізнятися від дійсної (тієї, що реалізується при конкретних обставинах). Але при максимально повних і точних визначених умовах польоту теоретична (розрахункова) і дійсна траєкторія польоту будуть близькі одна до одної.

 

6.2 Загальні поняття щодо стійкості руху

і стабілізації ракет

 

Умову, коли рух ракети відбувається під дією зовнішніх збурювальних факторів, називають збуреним рухом, а відповідну траєкторію збуреною траєкторією.

Такі збурювальні фактори, щоі впливають на відхилення дійсного руху від розрахункового, можуть бути поділені на такі групи:

1 Б алістичні - відхилення від номінального (розрахункового) значення таких параметрів ракети, як її стартова вага, секундна витрата палива, тяга двигуна, тобто всі конструктивні характеристики ракети, які так чи інакше можуть впливати на її рух. У ході розрахунків, наприклад, вважається, що маса ракети і її моменти інерції змінюються з часом визначеним (відомим) чином, але, як правило, значення маси ракети і її моменти інерції за різних причин відрізняються від розрахункових.

Нехай – дійсні значення маси і моментів інерції, a  – розрахункові значення. Тоді маємо вираз збурень цих величин:

При визначенні розрахункового руху вважається, що тяга двигуна спрямована по повздовжній осі ракети і її ЦМ лежить на цій осі. Тому складові тяги двигуна по поперечних осях OY, OZ, а також моменти відносно ЦМ ракети дорівнюють нулю. У дійсності через особливості компонування і різні технологічні похибки має місце перекіс, чи ексцентриситет, тяги відносно ЦМ ракети. Так, наприклад, якщо вісь камери згорання двигуна зміститься відносно повздовжньої осі ракети (у площині стабілізаторів І-ІІІ), то на АДТ це приведе до того, що сила тяги Р буде давати збурювальний момент M³_Z відносно ЦМ ракети, який буде намагатися розвернути ракету навколо осі OZ проти годинникової стрілки (рис. 6.1).

Для утворення управляючого моменту, який компенсує момент , газові рулі висоти (ІІ-IV) будуть змушені розвернутися на додатковий кут відносно програмного кута відхилення δ_ПР(t).

 

 

Рисунок 6.1 – Дія збурювального моменту

 

Розкладаючи вектор сили тяги по напрямах осей OX, ОY, бачимо, що поступовий рух ракети забезпечує менша сила тяги , а складова сили тяги АР = Р sin є, яка утворилася внаслідок перекосу, буде зміщувати ЦМ ракети донизу відносно розрахункової траєкторії польоту. Все це приведе до такої зміни сил, що діють на ракету, що вплине на дальність польоту ракети (дальність зменшиться).

2 М етеорологічні фактори – за основні метеорологічні збурення беруть вітер, відхилення температури , тиску , щільності  повітря від їх стандартних (табличних) значень.

Суттєве значення для польоту ракети має положення центра тиску (точки прикладення аеродинамічної сили). Розрахункове значення координати ЦТ – L_ЦТ(t) через неточності у визначенні положення ЦМ відрізняються від дійсного значення L'_ЦТ(t) на величину

3 Геофізичні  фактори – основними з яких є відхилення прискорення сили тяжіння від табличного його значення і обертання Землі.

Відомо, що траєкторія польоту ракети визначається великим числом параметрів, значення яких при кожному польоті будуть завжди своєрідними, дещо відмінними від значень, отриманих при раніше проведених дослідах. Унаслідок цього конкретна траєкторія завжди чимось відрізняється від попередньої. Таке відхилення траєкторій ракет, виготовлених за одним і тим самим кресленням, заправлених одним і тим самим паливом і які запускаються при одних і тих же розрахункових даних, називається розсіюванням.

Відповідно до класичної теорії стійкості рух ракет може бути названий стійким у тому разі, коли ракета має властивість повертатися після припинення дії на неї деяких збурювальних факторів - до розрахункової траєкторії.

Пояснення цього положення можна здійснити за допомогою рис. 6.2.

 

 

Рисунок 6.2 – Траєкторія руху ракети

 

На рис. 6.2 безперервною лінією показана траєкторія, яка відповідає незбуреному руху ракети. Нехай на ділянці АБ траєкторії на ракету діють деякі збурення, які примушують її рухатися по збуреній траєкторії АБ', яка відхиляється від розрахункової. Рух ракети буде стійким, якщо після припинення дії збурень у точці Б' збурена траєкторія наближатиметься до розрахункової і поєднається з останньою, починаючи з деякої точки В.

Якщо цього не відбудеться і ракета полетить по траєкторії Б'С, то її рух характеризується як нестійкий. Очевидно, що стійкість руху в значенні, відповідному наведеному вище визначенню, практично не може бути забезпечена не тільки у ракет та снарядів, які не керуються, але й у ракет зі складною системою управління, тому що ніяка система управління через притаманні їй похибки не в змозі ідеально компенсувати збурення і наслідки їх впливу. Тому в подальшому під стійким рухом ракет будемо розуміти такий рух, при якому відхилення збуреної траєкторії від розрахункової під дією короткотермінових чи тривалих збу рень не перевищують установлених меж.

Усі траєкторії ракет одного зразка, які відповідають однаковим розрахунковим умовам, займають деяку область простору, яку називають «трубкою траєкторій» (рис. 6.3).

Математично під трубкою траєкторій розуміються таку область, імовірність виходу траєкторії із якої незначна і не перевищує визначеної величини. Для кожного зразка ракет на кожну дальність польоту існує своя трубка траєкторії, віссю якої є розрахункова траєкторія. Перетин трубки траєкторії площиною горизонту в районі цілі дає еліпс (чи коло) розсіювання ракет (рис. 6.3).

 

 

Рисунок 6.3 – Трубка траєкторій

 

Під час дослідження стійкості руху ракет, як правило, розглядають окремо стійкість руху ЦМ ракети по траєкторії і стійкість ракет в їх обертальному русі відносно ЦМ. Забезпечення останньої є необхідною умовою стійкості руху ЦМ і нерозривно пов'язане з поняттям кутової стабілізації ракет.

Під кутовою стабілізацією потрібно розумієти сукупність заходів, які упорядковують кутові переміщення ракет і забезпечують дотримання ними на траєкторії правильного положення відносно напряму руху.

Ракети й реактивні снаряди виготовляються у вигляді довгастих тіл обертання, головна частина яких має форму конуса з гострим кутом біля вершини. Вибір такої форми головної частини обумовлений прагненням зменшити силу аеродинамічного опору , яка діє на ракету в щільних шарах атмосфери.

За інших однакових умов сила  буде найменшою у разі, коли вісь ракети збігається з напрямом руху. Однак під час здійснення руху по траєкторії напрям руху ракети безперервно змінюється (вектор швидкості  змінює напрям). Ось чому для забезпечення руху ракети по розрахованій траєкторії необхідно постійно змінювати кутове положення ракети, повертаючи її відносно центра мас услід за вектором .(рис. 6.4)

 

 

Рисунок 6.4 – Зміна вектора швидкості

 

Оскільки ракета має інерційність, то навіть за відсутності зовнішніх збурень її поворот здійснюється з відставанням від вектора , і тому, як правило, поздовжня вісь ракети буде розташовуватися до нього під кутом а, величина якого в процесі руху по траєкторії змінюється.

Численні експериментальні й теоретичні дослідження показують, якщо поздовжня вісь корпусу ракети відхилена від напряму руху хоча б на незначний кут а, то рівнодійна сила ,що діє на ракету, буде прикладена до ЦТ. Це приводить до появи відносно ЦМ перевертаючого моменту , який під час польоту нестабілізованої ракети викликає некерований рух ракети відносно ЦМ і, як наслідок, значне спотворення траєкторії. Для попередження цього явища і забезпечення правильного положення поздовжньої осі в польоті ракета повинна бути стабілізованою.

Для стабілізації ракет та реактивних снарядів використовуються два різних «пасивних» методи стабілізації:

- стабілізація оперенням;

- стабілізація обертанням.

Поняття статичної стійкості не можна ототожнювати з поняттям стійкості руху. Наявність статичної стійкості лише свідчить про те, що в даний момент часу на ракету діють сили, які прагнуть повернути її в стан рівноваги. Це характеристика ракети з нерухомими органами управління δ= 0, тобто без урахування роботи системи управління ракети.

 

6.3 Стабілізація ракет оперенням

 

Стабілізація ракет оперенням полягає в тому, що у хвостовій частині її корпусу встановлюються різноманітні за своїми конструктивними формами і розмірами стабілізатори. Це приводить до того, що при обтіканні корпусу ракети потоком повітря під кутом атаки а характер розподілу тиску по довжині ракети змінюється, унаслідок чого ЦТ переміщується відносно ЦМ ракети у бік стабілізаторів. При відповідному виборі розмірів стабілізаторів можна досягти такого розташування ЦТ, що він буде знаходитися позаду ЦМ. У цьому випадку при а ≠ 0 рівнодійна аеродинамічна сила  діятиме на ракету так, як показано на рис. 6.5.

 

 

Рисунок 6.5 – Сили, що діють на ракету

Очевидно, що обумовлений силою момент  буде намагатися зменшити кут а та привести ракету в таке положення, при якому вісь ракети ОХ збігатиметься з вектором швидкості . Момент  дорівнюватиме нулю, тобто надавати ракеті стабілізувального впливу.

Положення ракети, яке характеризується значенням   α= 0, відносно якого момент  стабілізує ракету, є положенням стійкої рівноваги. Для моменту  можна (при малих кутах а) взяти залежність . Виходячи з цього виразу, можна знайти ознаку, яка б указувала на характер дії  на ракету.

Для перевертаючого моменту, знак якого збігається зі знаком кута а, маємо m_z > 0, для стабілізувального моменту т_Z < 0. Коефіцієнт т_Z пов'язаний з коефіцієнтом підіймальної сили співвідношенням

 

,                  (6.1)

 

де  - повна довжина ракети;   і  - відстань від вершини ракети до ЦМ і ЦТ.

 

Коефіцієнт С_х практично не впливає на величину т_Z і відповідно на , тому що напрям дії сили лобового опору , куди входить складовою частиною коефіцієнт С_х, практично збігається з поздовжньою віссю ракети ОХ.

З урахуванням того, що , очевидно, знак   збігається зі знаком різниці . Виходячи з цього, умови статичної стійкості можна сформулювати таким чином:

,  - ракета статично стійка;

,   - ракета статично нестійка;

,  - ракета знаходиться в стані нестійкої (байдужої) рівноваги.

Під час польоту ракети по траєкторії швидкість її польоту і її орієнтація відносно вектора швидкості безперервно змінюються, що приводить до зміни положення ЦТ відносно корпусу ракети. Крім того, на АДТ унаслідок великої витрати палива ЦМ ракети також переміщується від свого початкового положення. Ці причини можуть викликати значну зміну величини L_ЦМ - L_ЦТ  і відповідно m_z, який визначає ступінь стійкості. Виходячи з цього, для кутової стабілізації ракети необхідно забезпечити виконання умови m_z < 0 по всій траєкторії.

Іншими словами, стабілізована оперенням ракета повинна мати так званий запас статичної стійкості, який характеризу­ється вираженою у відсотках величиною :

 

(6.2)

 

де C_ЦM – коефіцієнт ЦМ; С_ЦТ - коефіцієнт ЦТ.

 

Вважають, що оперені ракети є добре стабілізованими, якщо вони мають запас статичної стійкості:

Розглянемо характер руху статично стійкої ракети відносно її ЦМ, вважаючи, що рух відбувається тільки в площині пуску. Для спрощення розглянемо ділянку траєкторії, при польоті по якій можна вважати сталим т_Z та θ [5]. У цьому випадку без урахування демпфірування рівняння руху відносно ЦМ має вигляд

 

               (6.3)

 

де  коефіцієнт, який може бути розрахований заздалегідь по відомій траєкторії ЦМ ракети.

 

Беручи в межах невеликої ділянки траєкторії , для початкових умов при t₀ = 0, а = а₀,  отримуємо розв’язок рівняння (6.3) у вигляді:

                       (6.4)

Шляхом нескладних перетворень це рівняння може бути зведено до більш зручного вигляду

 

 ,             (6.5)

 

де  - зміщення по фазі.

 

Розв’язок показує, що за прийнятих припущеннь рух статично стійкої опереної ракети відносно ЦМ являє собою плоскі гармонічні коливання, які характеризуються амплітудою

                   (6.6)

і періодом .

Графіки зміни кута α стосовно отриманого розв’язку подані на рис. 6.6.

 

 

Рисунок 6.6- Графік зміни кута α

 

Під час аналізу коливального руху оперених, статично стійких ракет не ураховується демпфірувальний момент  . Дія  приводить до швидкого загасання коливального руху ракет, які обумовлені початковими збуреннями та моментом . Характер зміни кута а при урахуванні демпфірування кутового руху ракети позначений на рис. 6.6 пунктирною лінією. Суцільною лінією позначений рух ракети за відсутності демпфірування її кутового руху.

Демпфірувальний момент завжди діє проти напряму обертання ракети при коливаннях її відносно ЦМ. Він прагне погасити коливання поздовжньої осі ракети.

Момент складається із зовнішнього (аеродинамічного) і внутрішнього  демпфірувального моментів.

У щільних шарах атмосфери внутрішній момент незначний порівняно із зовнішнім, але при польоті в сильно розряджених шарах атмосфери він набуває самостійного значення (оскільки зовнішній демпфірувальний момент практично відсутній).

Якщо ракета летить зі швидкістю  й одночасно здійснює розворот навколо осі OZ з кутовою швидкістю , то кожна точка її поверхні матиме лінійну швидкість обертання  навколо цієї осі (рис. 6.7), яка визначається залежністю

 

,

 

де x₀ і x_i - відстань від вершини ракети до її ЦМ та поперечного перерізу, яке розглядається.

Величина  залежить від радіуса обертання (Х_і-Х₀) і змінюється по довжині ракети. Тому підсумкова швидкість кожної точки поверхні ракети як сума поступальної швидкості ЦМ і  буде різною, як будуть різноманітними і прирости місцевих кутів атаки для цих точок.

 

 

Рисунок 6.7- Схема прикладання демпфірувального

моменту

 

Наявність приросту кута атаки а кожної точки

      (6.7)

викликає появу додаткових нормальних сил ∆ :

      (6.8)

сумарний момент, від яких відносно ЦМ і є зовнішнім демпфірувальним моментом:

 

(6.9)

 

де - безрозмірний коефіцієнт аеродинамічного демпфірувального моменту;  – градієнт моменту.

Знак мінус у формулі (6.9) вказує на те, що демпфірувальний момент напрямлений протилежно до напрямку кутової швидкості обертання ракети .

Аеродинамічні демпфірувальні моменти рискання і крену визначаються аналогічно і записуються в такому вигляді:

(6.10)

Виникнення внутрішнього демпфірувального моменту обумовлене силами інерції Коріоліса, що діють на частинки палива і газів, які пересуваються всередині ракети. Для з'ясування якісної картини цього явища відокремимо двома поперечними перерізами S (на відстані х, від ГЧ ракети) елементарний об'єм газу в соплі двигуна, який пересувається вздовж осі сопла зі швидкістю  

(рис. 6.8).

У цьому випадку відокремлена маса газу  буде брати участь у відносному (поступовому) русі відносно корпусу ракети і в переносному (обертовому) русі сумісно з ракетою навколо осі OZ. Відповідно на масу  діятиме елементарна сила Коріоліса:

  (6.11)

яка на плечі  буде утворювати момент відносно ЦМ ракети, який буде гаситиме кутову швидкість ракети

         (6.12)

Сума величини моменту від сил , переміщення палива і газів на ділянках  і  дає повний момент газового демпфірування за тангажем.

Розрахункову формулу для внутрішнього демпфірувального моменту записують у вигляді, аналогічному до зовнішнього демпфірувального моменту.

 

 

Рисунок 6.8 – Схема дії сили Коріоліса

 

Підсумовуючи, можна зазначити, що дія демпфірувального моменту  приводить до швидкого загасання коливального руху ракети, обумовленого збуреннями під час польоту і моментом .

Стабілізація оперенням дозволяє забезпечити статичну стійкість руху ракет і при відповідному підборі конструкції стабілізаторів забезпечує необхідний запас стійкості під час польоту, що є обов'язковою умовою виконання мети польоту - влучення в ціль.

 

 

6.4 Стабілізація обертанням

 

Стабілізація ракет обертанням полягає в тому, що ракета розкручується відносно поздовжньої осі до дуже значних кутових швидкостей. Під впливом швидкого обертання поздовжня вісь набирає особливих властивостей, які називаються гіроскопічними, і проявляє стійкість, тобто неподатливість до дії перевертаючого моменту тангажа .

Гіроскопічна властивість під час дії на ракету перевертаючого моменту полягає в тому, що ракета, яка швидко обертається, проявляє гіроскопічний ефект, який виражається в опорі спробам змінити положення поздовжньої осі ракети в польоті.

Гіроскоп - це тверде симетричне тіло, яке швидко обертається відносно осі симетрії. Звичайна дзиґа, колесо велосипеда, маховик - усе це приклади гіроскопів, а будь-який гіроскоп має чудові властивості:

- він намагається зберегти одного разу заданий напрям своєї осі обертання;

- якщо до гіроскопа прикласти зовнішній момент, то його вісь буде рухатись не в напрямку, в якому діє момент, а в напрямку, перпендикулярному до нього.

Розглянемо ці властивості за допомогою дуже відомої іграшки, яку називають дзиґою. Нерухому дзиґу внаслідок дії перевертаючого моменту, який утворюється силою тяжіння, неможливо поставити на загострений кінець: дзиґа неодмінно падає на бік (рис. 6.9).

 

 

Рисунок 6.9 – Принцип дії гіроскопа

 

Якщо її підкинути вгору, то вона летить, безпорадно перевертаючись у повітрі. Приведемо дзиґу в швидке обертання навколо її поздовжньої осі. Опираючись своїм загостреним кінцем об поверхню, вона зберігає положення своєї осі незмінним і не падає, а здійснює коловий рух навколо середнього положення (вертикалі), причому кожна точка на осі дзиґи описує в просторі конус із кутом розворот δ. Такий рух осі дзиґи називається прецесійним.

Підкинемо дзиґу вгору, вона стійко зберігатиме положення своєї осі. Падаючи донизу на поверхню опори, вона далі буде обертатися. Крім того, нахил поверхні опори не змінює її положення.

Отже, з одного боку, перевертаючий момент, який виникає внаслідок її сили тяжіння, намагається збільшити кут δ, а з іншого боку, завдяки обертанню дзиґи навколо своєї осі й прецесійному руху, виникає гіроскопічний момент, який урівноважує перевертаючий момент і перешкоджає зміні положення осі дзиґи відносно вертикальної осі, тобто перешкоджає збільшенню кута δ.

Розглянемо фізичну сутність виникнення гіроскопічного моменту.

Нехай дзиґа (рис. 6.10) обертається із сталою кутовою швидкістю  навколо своє осі Z й одночасно повертається навколо осі Y. Ураховуючи, що дзиґа бере  участь у складному русі: здійснює відносне обертання зі швидкістю  і одночасно бере участь у переносному обертанні з кутовою швидкістю , то відокремленим на тілі гіроскопа чотирьом симетричним матеріальним точкам 1, 2, 3, 4 буде надаватися прискорення Коріоліса.

Унаслідок відносного руху гіроскопа з кутовою швидкістю  відстань цих точок до осі переносного руху Y буде безперервно змінюватись. Оскільки відстань точок до осі обертання змінюється, то будуть змінюватися за величиною і лінійною швидкістю їх переносного руху:

_.                               (6.13)

 

 

Рисунок 6.10 - Принцип роботи гіроскопа

 

Лінійна швидкість Vл переносного руху точки 2 збільшуватиметься тому, що точка віддаляється від осі обертання Y. Поворотне прискорення  буде напрямлене відповідно до напрямку швидкості , а Коріолісова сила інерції  паралельна від'ємному напряму осі Z.

Дотримуючись подібної послідовності, легко визначити напрям поворотних прискорень  і _C4 та Коріолісових сил _C3 і _C4. У підсумку отримаємо таку картину: Коріолісові сили інерції, що діють на матеріальні точки дзиґи, які розташовані вище осі X, напрямлені паралельно від'ємному напряму осі Z а Коріолісові сили інерції, що діють на точки нижньої відносно осі X частини дзиґи, напрямлені в бік додаткового напряму осі Z.

Другою причиною появи Коріолісових сил є зміна напрямку лінійної швидкості відносного руху матеріальних частинок дзиґи (рис. 6.11 а). Ця зміна відбувається внаслідок складного руху дзиґи, при якому дзиґа одночасно обертається навколо двох перпендикулярних осей.

 

 

Рисунок 6.11 – Причини виникнення Коріолісових сил

 

Відокремимо на обводі дзиґи чотири симетрично розташовані матеріальні частинки 1, 2, 3, 4 так, щоб частинки 1 і 3 знаходилися на вертикальній осі переносного обертання.

Якщо не було б переносного обертання дзиґи з кутовою швидкістю , то всі частинки дзиґи оберталися б в одній площині, яка не змінює свого положення (на рисунку показана суцільною лінією). Частинка 1 має лінійну швидкість відносного обертання . У результаті повороту дзиґи навколо вертикальної осі частинки жорсткої дзиґи будуть обертатися в другій площині, яка позначена пунктиром. Унаслідок цього зміниться напрям вектора лінійної швидкості відносного руху точок 1 і 3, які займуть положення  і відповідно.

Зміна векторів швидкості  і  за напрямом означає, що матеріальним частинкам 1 і 3 надається Коріолісове прискорення, яке направлене перпендикулярно до площини диску дзиґи в бік переносного обертання. Відмітимо, що вектори лінійної швидкості відносного обертання точок 2 і 4 не будуть змінювати свого положення: вони переносяться паралельно самі до себе.

Вектори  і  паралельні осі переносного обертання, а це свідчить про те, що зміна відстані частинок 2 і 4 не відбувається до осі переносного обертання, і, відповідно, цим частинкам не надається Коріолісове прискорення.

Якщо побудувати епюру Коріолісових сил інерції, що діють на різні матеріальні частинки дзиґи, вона матиме вигляд, показаний на рис. 6.11 б.

Складаючи елементарні Коріолісові сили, зводимо їх до двох рівнодійних сил, які утворюють пару сил і розвивають момент відносно осі X. Цей момент, який виникає при одночасному обертанні дзиґи навколо його двох осей, називається моментом гіроскопічної реакції, або просто гіроскопічним моментом . Гіроскопічний момент у нашому прикладі направлений у від'ємному напрямку осі X. Для визначення напрямку гіроскопічного моменту використовують правило Жуковського.

Якщо гіроскоп, що обертається навколо головної осі, повертати навколо іншої осі, то виникає гіроскопічний момент, який намагається поєднати по короткому шляху вектор кутової швидкості відносного обертання Q. з вектором кутової швидкості переносного обертання m.

Вектор гіроскопічного моменту М_г завжди перпендикулярний до вектора кутової швидкості Q відносного обертання і вектора кутової швидкості  переносного обертання. Аналогічно можна пояснити явище стійкості реактивного снаряда (в подальшому снаряда), який обертається (рис. 6.12).

У цьому разі, основною зовнішньою силою, яка утворює момент відносно ЦМ, є сила опору повітря R, напрямлена у бік, протилежний швидкості руху снаряда.

 

 

Рисунок 6.12 – Сили, що діють на політ РС, що

обертається

 

Дотична X_v до траєкторії відіграє роль вертикалі дзиґи; роль сили тяжіння, яка утворює перевертаючий момент дзиґи, відіграє сила опору повітря R; осі Z відповідає поздовжня вісь снаряда X; роль точки опори виконує ЦМ снаряда.

Снаряд, якому надана достатньо велика власна кутова швидкість  , буде подібно до дзиґи мало відхилятися від дотичної до траєкторії, прецесуючи навколо неї з кутовою швидкістю . Крім прецесійного руху осі снаряда, спостерігається нутаційний рух осі, тобто відбувається коливання кута нутації в межах від  до .

Площину, в якій розглядається кут нутації δ, називають площиною опору, тобто площиною, яка проходить через вісь снаряда і дотичну до траєкторії. Отже, нутаційні коливання - це коливання осі снаряда у площині опору. Але оскільки вісь снаряда здійснює прецесійний рух, напрям площини опору в просторі безперервно змінюється. Таким чином, складний рух снаряда навколо центра мас можна подати у вигляді такоїсхеми: вісь снаряда безперервно коливається у площині опору відносно дотичної до траєкторії, а сама площина опору безперервно обертається навколо дотичної до траєкторії.

Розглянемо рух снарядів відносно ЦМ на початковому відрізку ПДТ. Цей відрізок обирається зазвичай тому, що він для снаряда є найбільш несприятливим з точки зору забезпечення його стійкості, оскільки характеризується найбільшими значеннями швидкості й перевертаючого моменту, що діє на снаряд.

Для ґрунтовного розуміння природи польоту снаряда використовують такі кутові координати (рис. 6.13): δ - кут нутаційних коливань осі снаряда у площині опору; υ-кут прецесії, який визначає поворот площини опору в її обертовому русі відносно вектора швидкості; φ - кут повороту ракети навколо поздовжньої осі.

 

 

Рисунок 6.13 – Кутові координати ракети в польоті

 

Відповідні кутові швидкості на рис. 6.13 позначені через ; вектори цих швидкостей відкладені уздовж тих осей, навколо яких відбувається відповідний рух. Залежності, які описують рух снаряда навколо ЦМ, можна отримати, наприклад, виходячи із теореми щодо моменту кількості руху, яка визначає рух твердого тіла відносно точки:

 

,                    (6.14)

 

де -вектор моменту кількості руху;  - сумарний момент.

Проектуючи ліву і праву частини рівняння (6.6) на будь-яку із осей , можна скласти рівняння руху снаряда відносно кожної з цих осей [16].

Розв’язання диференціального рівняння обертання снаряда навколо власної осі обертання дає залежність такого вигляду:

 

,                      (6.15)

 

де - кутова швидкість обертання снаряда навколо своєї осі на даний момент часу;  - початкова кутова швидкість обертання снаряда навколо своєї осі; k(t) - функція часу польоту снаряда, вигляд якої визначається значенням гальмівного моменту.

Момент, що пригальмовує обертання снаряда навколо його осі обертання, виникає внаслідок в'язких властивостей повітря і тертя повітря об поверхню снаряда. Через ці перешкоди швидкість обертання снаряда поступово зменшується.

Розв’язання рівняння обертання осі снаряда навколо дотичної до траєкторії показує, що прецесійний рух снаряда відб