Траєкторії руху ракет у центральному полі

Тяжіння та космічні швидкості

 

Траєкторія (від латинського trajectories – тобто та, що стосується переміщення) – це безперервна просторова лінія, яку описує центр мас ракети у польоті відносно вибраної системи координат.

Форма траєкторії ракети залежить від деяких початкових умов польоту, а саме: від величини і напряму вектора її швидкості та координат ракети в момент вимкнення двигуна.

Потрібно зазначити, що при розгляді форми траєкторії польоту ракети її рух відбувається під дією сили земного тяжіння і воно є центральним (центральне поле тяжіння).

Основною умовою руху ракет у центральному полі тяжіння є припущення, що Земля – це сферичне тіло (правильний шар) і прискорення сили тяжіння , у будь-якій точці траєкторії, у такому полі тяжіння, спрямоване до центра мас Землі (рис. 2.4).

Рисунок 2.4 – Траєкторія руху ЛА у центральному полі тяжіння

Рух матеріальних тіл у центральному полі тяжіння часто називають кеплеровими рухом, а траєкторії, по яких рухаються матеріальні тіла, називають кеплеровими траєкторіями, або орбітами, на ім’я німецького вченого Іогана Кеплера (1571–1630), який уперше визначив форму траєкторії руху планет навколо Сонця та встановив закони їх руху. Для руху ракет навколо Землі один із кеплерових законів можна сформулювати так: рух ракет відбувається у площині, яка проходить через центр Землі (будь – яка  траєкторія руху у ЦПТ завжди лежить у площині, що проходить через центр тяжіння).

Крім того, у визначеній площині рух ракет може відбуватися по траєкторіях, які описуються рівняннями кривих другого порядку. Один із фокусів таких кривих знаходиться у центрі мас Землі. Ці криві являють собою не що інше, як конічні перерізи (рис. 2.5).

 

 

Рисунок 2.5 – Геометричні площини другого порядку

 

Залежно від нахилу секцій, що утворилися внаслідок розтинання площинами, конічними перерізами можуть бути (рис. 2.5): 1 – коло; 2 – еліпс; 3 – парабола (гіпербола).

Відповідно до цього траєкторії руху ракет у центральному полі тяжіння також можуть бути (рис. 2.6): 1 - коловими (2); 2 - еліптичними (1 та 1^I); 3 - параболічними (3); 4 - гіперболічними (4).

 

 

Рисунок 2.6 – Траєкторії руху ракет у центральному полі тяжіння

 

Колова траєкторія

Для польоту будь-якого тіла по траєкторії кола необхідно, щоб у всіх точках такої траєкторії кут її нахилу до поверхні Землі θ мав нульове значення. Крім того, у всіх точках цієї траєкторії сила тяжіння до Землі  (гравітаційна сила) повинна бути урівноваженою відцентровою силою  (рис. 2.7).

 

 

Рисунок 2.7 – Колова траєкторія орбіти ракети

 

Гравітаційна сила визначається законом всесвітнього тяжіння Ньютона, у якому говориться: усі тіла притягуються одне до одного з силою, пропорційною добутку їх мас та зворотно пропорційною квадрату відстані між ними.

Взагалі під гравітацією розуміють взаємне притягання, яке діє на всі тіла у всесвіті.

Ця сила визначається дослідним шляхом і дорівнює силі взаємного тяжіння між двома масами:

 

,                        (2.13)

 

де f = 6,673·10^-11[м³/(кг·сек²)] – гравітаційна стала (стала тяжіння); m– маса ракети [кг]; M_З=5,976∙10²⁴ [кг] – маса Землі; r=R_з+h – радіус орбіти (траєкторії) [м].

Відцентрова сила інерції  характеризує зусилля тіла на відрив від Землі та визначається за формулою

.                            (2.14)

Як уже було відмічено, щоб ракета не наближалась і не віддалялася від Землі, необхідно виконати умову , із якої можна отримати формулу швидкості, необхідної для виведення ракети на траєкторію кола:

 

,                         (2.15)

 

де К=fM_З=3,986∙10¹⁴ [м³/сек²] – постійний коефіцієнт (гравітаційний параметр планети).

 

Швидкість польоту ракети , що визначається за формулою (2.15), називається першою космічною швидкістю. Ця швидкість визначає умови існування штучних супутників Землі та характеризує гравітаційне поле планети. Біля поверхні Землі (при r=R_з=6371 км)  км/с – цю швидкість називають нульовою коловою швидкістю для Землі. Але колова траєкторія на рівні земної поверхні при h=0 фактично нездійсненна. Тому першу космічну швидкість розраховують для висоти, де ШСЗ може здійснити хоча б один оберт. Як правило, за першу космічну швидкість беруть колову швидкість на висоті 200 км над поверхнею Землі, в цьому випадку км/сек.

Із формули (2.13) видно, що при збільшені радіуса траєкторії польоту значення потрібної колової швидкості зменшується. Для з’ясування причини цього явища необхідно розглянути таку важливу характеристику гравітаційного поля, як прискорення вільного падіння .

Ураховуючи, що гравітаційна сила  є також силою тяжіння , що визначається за формулою , і порівнюючи , отримаємо

.

Прискорення сили тяжіння (вільного падіння) на поверхні Землі визначається для h=0 залежністю

 м/с²,

тоді  для h= 200 км:

 м/с².

Отже, при збільшенні відстані від поверхні Землі значення прискорення сили тяжіння зменшується, що, у свою чергу, приводить до зменшення потрібного значення колової швидкості.

Еліптична траєкторія

 

Еліптична траєкторія (орбіта) в прямокутній системі координат oxy показана на рис. 2.8.

Точка О називається центром еліпса і збігається з початком координат.

Точки A, B, C, D називають вершинами еліпса.

Відрізок АВ довжиною 2а має назву великої осі еліпса (а– велика напіввісь).

Відрізок CD довжиною 2b називають малою віссю еліпса (b – мала напіввісь). Точки F i F₁, розміщені на великій осі еліпса на відстані (с) від його центра, називають фокусами еліпса.

 

 

Рисунок 2.8 – Еліптична траєкторія

 

Якщо з’єднати будь-яку точку М на поверхні еліпса з його фокусами, то сума відстаней FM та F₁M для будь-якого положення точки М буде мати одне і те саме значення (2а – довжина великої осі).

Відношення половини фокусної відстані (с) до великої напівосі (а) називають ексцентриситетом еліпса:

.                         (2.16)

Ексцентриситет еліпса вказує на ступінь його відхилення від кола. Так, наприклад, якщо е=0, то і с=0 (фокуси F i F₁ зберігається з центром еліпса і траєкторія стає коловою). Виходячи з цього, траєкторію кола можна розглядати як частковий випадок еліпса з ексцентриситетом, що дорівнює нулю.

Уявимо, що у фокусі F₁ (рис. 2.8) еліптичної орбіти знаходиться центр тяжіння (центр Землі). У цьому випадку лінію, що проходить через вершини А та В, називають лінією апсид, визначені вершини – апсидами, причому апсиду В, яка найменш віддалена від центра Землі, називають перигеєм, а апсиду А, що більше віддалена від центра тяжіння,  – апогеєм.

Залежно від величини швидкості ракети у точці вимкнення ракетного двигуна розглядають два випадки еліптичної траєкторії:

– перший – при (  < ) – еліптична траєкторія, яка уривається при зустрічі ракети з Землею. Один із фокусів такого еліпса F (рис. 2.6) знаходиться у центрі мас Землі, другий фокус не має фізичного значення,;

– другий - при (  <  < ) – еліптична траєкторія, яка не уривається Землею (еліптична орбіта, рис. 2.6).

 

Параболічна траєкторія

Еліптична орбіта, що має апогей у нескінченності, вже не є еліпсом. Рухаючись по цій траєкторії, ракета нескінченно віддаляється від центра тяжіння та описує розімкнуту лінію – параболу.

Для реалізації параболічної траєкторії необхідна така швидкість , яка зможе забезпечити подолання сили земного тяжіння. Цю швидкість називають другою космічною швидкістю, або швидкістю звільнення. Другу космічну швидкість  можна отримати, якщо зрівняти потенціальну і кінетичну енергію ракети в точці вимкнення двигуна ракети. Потенціальну енергію вимірюють роботою, яку здійснюють потенціальні сили (у нашому випадку гравітаційні сили), що діють на ракету при переміщенні її із однієї точки простору в іншу, де значення потенціальної енергії Е_П умовно дорівнює нулю:

,                             (2.17)

або .                 (2.18)

Кінетичну енергію визначають так:

.                            (2.19)

Якщо кінетичну та потенціальну енергію ракети зрівняти: , тоді знайдемо другу космічну швидкість:

         .                         (2. 20)

З формули (2.20) видно, що друга космічна швидкість в  разів більша від першої. З такою швидкістю ракета буде рухатися по параболі і ніколи не повернеться до центра тяжіння.

Неважко розрахувати значення першої та другої космічної швидкостей для будь-якого тіла Сонячної системи. Для здійснення таких розрахунків необхідно знати гравітаційний параметр К та розміри цього небесного тіла.

Гіперболічна траєкторія

 

Якщо швидкість тіла перевищує значення , тобто коли , траєкторія має вид гіперболи (траєкторія 4 рис. 2.6).

На великій відстані від центра тяжіння гіперболічну траєкторію можна брати за прямолінійну.