Рівняння поступального та обертального руху тіл змінної маси

Рух ЛА, важчий за повітря, зазвичай здійснюється завдяки створенню сили тяги за допомогою двигуна. Для забезпечення працездатності двигуна потрібне паливо. Під час роботи двигуна паливо витрачається, тобто маса ЛА змінюється. Це питання свого часу досліджував російський учений І. В. Мещерський, який у 1897 р. уперше довів рівняння руху тіл змінної маси, яке і має його ім’я. Алгоритм виведення формули руху тіл змінної маси досить детально викладено в навчальному посібнику «Теорія польоту» . З урахуванням цього розглянемо тільки основні характеристики руху твердого тіла, а саме:

- кількість руху матеріальної точки змінної маси визначається залежністю

-

,                        (1.10)

 

де m – змінна маса точки;   – вектор швидкості точки;

 

- тіло змінної маси розглядається як сума точок змінної маси:

;                      (1.11)

- моментом кількості руху називають вектор

 

,                      (1.12)

де – радіус-вектор точки змінної маси, проведений із початку деякої нерухомої системи координат до точки, що рухається;

 

- кінетичний момент тіла змінної маси визначається відповідно

                .               (1.13)

Використовуючи поняття про зміну кількості руху тіла змінної маси, отримують рівняння поступального руху ЦМ ракети, а використовуючи поняття зміни кінетичного моменту тіла змінної маси, отримують рівняння обертового руху ракети відносно ЦМ.

Розглянемо рівняння поступального руху для деякої матеріальної точки, розуміючи під матеріальною точкою ракету, розмірами якої можна знехтувати порівняно з розмірами середовища, в якій вона рухається (рис. 1.6).

Уявимо, що відносно деякої нерухомої системи координат рухається тіло змінної маси m(t).

У момент часу t тіло мало масу m, яка рухається зі швидкістю , і кількість руху тіла дорівнює . За проміжок часу dt маса тіла змінюється внаслідок відділення частин масою dm (рис. 1.6). Згідно з гіпотезою Мещерського відокремлення частин відбувається за нескінченно малий проміжок часу подібно удару, тому маса в dm, яка відокремилася, отримує свою швидкість і відразу припиняє взаємодію з основною масою тіла (m-dm), яка внаслідок зменшення своєї маси отримує приріст швидкості .

Тому в момент часу t+dt маємо систему, яка складається із двох мас. Кількість руху цієї системи дорівнює:

.          (1.14)

У загальному випадку рух точки змінної маси здійснюється під дією зовнішніх сил. Рівнодійну цих сил позначимо .

 

 

Рисунок 1.6 – Рух ЛА змінної маси

 

Знайдемо зміну кількості руху системи мас m,(m-dm) і dm за проміжок часу dt і прирівняємо її до імпульсу зовнішніх сил:

.    (1.15)

Розкриваючи дужки в даному рівнянні, нехтуючи складовими другого порядку як дуже малими, , розділивши обидві частини рівняння на dt і зробивши нескладні перетворення, отримуємо рівняння руху тіла змінної маси у загальному вигляді

.              (1.16)

Введемо поняття відносної швидкості частин, які відокремлюються, , а прискорення  позначимо через . Відповідно до цього отримаємо:

.              (1.17)

Для руху тіла незмінної маси , рівняння (1.17) записується у вигляді другого закону Ньютона:

.                            (1.18)

Порівнюючи рівняння (1.17) і (1.18), І. В. Мещерський зазначив, що рівняння руху тіла змінної маси можна подати, як і рівняння руху тіла постійної маси, включаючи до діючих сил деяку «додаткову силу».

Розглядаючи цю «додаткову силу» уважніше, бачимо, що це є реактивна сила – сила тяги ,   – витрата маси за секунду, а  – швидкість частин, які відділяються. Зрозуміло, що тяга тим більша, чим більша маса відкидається з ракети (з камери згорання ракетного двигуна) за одиницю часу і чим більша швидкість, яку вдається надати масі (робочому тілу), яке відкидається.

Отже, рівняння І. В. Мещерського для поступального руху ракети має кінцевий вигляд:

.                     (1.19)

Його суть полягає у такому: для будь-якого моменту часу t при польоті ракети (тіла змінної маси) добуток маси ракети на її прискорення дорівнює геометричній сумі рівнодійних усіх зовнішніх сил  і додаткової сили тяги .

Перейдемо до другого рівняння, яке характеризує обертальний рух ракети відносно ЦМ. Відомо, що обертальний рух відносно ЦМ ракети характеризує кінетичний момент

.                              (1.20)

Як приклад розглянемо маховик, що обертається навколо нерухомої осі О₁О₂ з кутовою швидкістю  (рис. 1.7). Умовно розділімо маховик на n елементарних матеріальних частинок з масою і розглянемо одну з частинок , яка знаходиться на відстані r_i від осі обертання. А враховуючи, що обертання відбувається з кутовою швидкістю , то частинка  буде мати лінійну швидкість , яка має напрямок, перпендикулярний до радіуса r_i..

Кінетичний момент для матеріальної частинки масою  відносно осі обертання розраховується за формулою

.                        (1.21)

Визначаючи лінійну швидкість  через кутову швидкість , отримаємо

.          (1.22)

Кінетичний момент тіла відносно осі обертання визначаємо так:

 

               ,                (1.23)

 

де – момент інерції тіла відносно осі О₁О₂.

 

 

Рисунок 1.7 – Обертальний рух тіла навколо нерухомої осі

 

Фізичне розуміння моменту інерції тіла полягає в тому, що він характеризує розподіл маси тіла відносно осі обертання і є мірою інертності тіла при його обертанні.

Головною характеристикою руху ракети є прискорення. Допустимо, що на маховик діє сила . Під дією цієї сили виникає момент цієї сили. Тоді згідно з теоремою про кінетичний момент похідна від кінетичного моменту матеріальної частки відносно осі дорівнює моменту сили, що діє на матеріальну точку:

.                     (1.24)

Підставляючи (1.23) в (1.24), отримуємо:

 

,

де  – момент зовнішніх сил відносно осі обертання;  кутове прискорення матеріальної точки.

 

Таким чином, отримане рівняння

                             (1.25)

є основним рівнянням обертального руху.

Якщо порівняти рівняння  з основним законом поступального руху , то можна зробити висновок, що при обертанні тіла навколо осі момент сили  відіграє таку ж саму, що і сила  при поступальному русі, а момент інерції тіла I – як маса m, тобто визначає опір впливу зовнішніх сил при обертанні тіла.

Розглянемо, яким чином розподіл маси будь – якого тіла впливає на момент інерції (рис. 1.8).

 

 

Рисунок 1.8 – Вплив розподілу маси на момент інерції

 

На рис. 1.8 зображені три симетричні ротори однакового діаметра. Ці ротори мають однакову масу, але різний розподіл маси відносно осі обертання. Так, ротор І має рівномірний розподіл маси, у ротора ІІ більшість частин тіла віддалена від осі обертання, маса ротора ІІІ зосереджена біля осі обертання. Найбільший момент інерції має ротор ІІ, найменший ІІІ. Тому при одній і тій самій величині моменту для надання роторам однакового числа обертів за хвилину, тобто однакової кутової швидкості обертання, необхідно для ротора ІІ – найбільший, а для ротора ІІІ – найменший час.