Перевод чисел из одной системы счисления в другую

ИНФОРМАТИКА

Методические указания

 

Челябинск 201 3

Министерство образования и науки Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

004(07) Г699 Г699

Кафедра информатики

ИНФОРМАТИКА

Методические указания к практическим работам

 

 

Челябинск

Издательский центр ЮУрГУ

2013

 

 

УДК 004(075.8)

Г699

Одобрено

учебно-методической комиссией
 факультета экономики и управления

 

Рецензент: Катаргин М.Ю.

 

Г699	Информатика: методические указания / сост.:Е.Н. Горных, А.Г. Палей, Г.А. Поллак. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2013. – 50 с.

Методические указания соответствуют ФГОС 3-го поколения для бакалавров, обучающихся по направлению 080100.62 «Экономика». Порядок изложения материала позволяет использовать его для организации самостоятельной работы студентов по соответствующим разделам, т.к. наряду с теоретическими положениями в указаниях содержится большое количество практических заданий.

 

 

УДК 004(075.8)

 

 

© Издательский центр ЮУрГУ, 2013

 

Введение

Информатика, в современном понимании – комплекс взаимосвязанных дисциплин, изучающих все вопросы, связанные с преобразованием информации. В этом комплексе дисциплин можно выделить два аспекта – научный и технологический. Первый является более устойчивым, второй – динамично изменяется. При изучении первой общетеоретической части главное – освоить фундаментальные понятия каждой из ее областей, научиться ориентироваться в их взаимосвязи, приобрести навыки практических расчетов на основе тех или иных теоретических положений.

Цель приведенных практических заданий – получение студентами знаний и навыков по информатике в её общетеоретической части. Зачастую, это является достаточно сложной задачей, так как требует определенной математической подготовки. Методические рекомендации по выполнению практических занятий составлены в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом 3-го поколения для бакалавров, обучающихся по направлению 080100.62 «Экономика». Могут использоваться также при подготовке студентов по направлениям 080200 «Менеджмент», 081100.62 «Государственное и муниципальное управление», по специальности 036401.65 «Таможенное дело».

Методические указания содержат необходимый теоретический материал и практические задания для освоения следующих разделов курса:

· Системы счисления.

· Измерение информации.

· Логические основы ЭВМ.

· Алгоритмизация.

Структура изложения материала, а также большое количество практических заданий позволяет использовать пособие для самостоятельной работы.

практическое занятие 1.
Системы счисления

Цель занятия – научиться переводить числа из одной позиционной системы счисления в другую и выполнять арифметические операции в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

1.1. Основные понятия и определения

Система счисления, это способ записи чисел с помощью заданного набора символов (алфавита).

Символы называют цифрами, символические изображения чисел – кодами, правила получения кодов – системами счисления.

Существуют системы позиционные и непозиционные.

Непозиционные – значение (вес) каждой цифры не зависит от ее положения в записи числа. Примеры – унарная, римская система счисления, в которой для изображения чисел используются следующие коды:

I – палец = 1       V – ладонь = 5                X – две ладони = 10

C – Centum = 100 D – Demimille – ½ тысячи M – Mille =1000   

Например, XXVIII = 28.

Вес цифры X в любой позиции равен десяти.

Позиционные – значение цифры зависит от ее положения в коде числа. Примеры – десятичная система счисления, двоичная, восьмеричная и так далее.

Достоинства позиционных систем счисления – ограниченное число символов алфавита для записи числа и простота выполнения операций.

Основание позиционной системы счисления – этоколичество Р различных символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число.

Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:

N = a_npⁿ + a_n-1p^n-1 +... +a₁p + a₀ + a^-1p^-1 + a_-2p^-2 +...

здесь a _i – цифры числа, p – основание системы счисления (p > 1).

Эта запись представляет собой развернутую форму записи числа.

Принято представлять числа в виде последовательности цифр:

N = a_na_n-1... a₁a₀, a_‑1a_‑2...

Запятая отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях в развернутой форме записи числа от коэффициентов при отрицательных степенях).

В аппаратной (и логической) основе компьютера используются двухпозиционные элементы, которые могут иметь одно из двух состояний: 0 или 1. Поэтому применяемой в компьютерах системой счисления является двоичная система, и, кроме того, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Десятичная система счисления. В этой системе 10 цифр: 0–9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором она стоит (позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа – десятков, следующая – сотен и т.д.

Двоичная система счисления. В этой системе две цифры – 0 и 1. Особую роль играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая – число двоек, следующая – число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет представить любое число в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Двоичное кодирование легко реализуется технически.

Восьмеричная система счисления. В этой системе счисления 8 цифр: 0–7. Цифра 1 младшего разряда, означает единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем – 64 и т.д. Число 100₈ = 64₁₀  

Шестнадцатеричная система счисления. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0–9, а в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат единицу. Та же цифра 1 в следующем – 16 (десятичное), в следующем – 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное).

Пример 1.1. Получить развернутую форму записи чисел 26,38₁₀; 1011₂; 15FC₁₆ в соответствующей системе счисления.

Обратите внимание, что в любой системе счисления ее основание записывается как 10.

26,38₁₀ = 2 × 10¹ + 6 × 10⁰ + 3 × 10^–1 + 8 × 10^–2;

1011₂ = 1 × 10¹¹ + 0 × 10¹⁰ + 1 × 10¹ + 1 × 10⁰;

15FC₁₆ = 1 × 10³ + 5 × 10² + F × 10¹ + C × 10⁰.

Целые числа

Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ нужно:

1) данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой;

2) если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то дополнить ее слева нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2ⁿ.

Дробные числа

Для того, чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ нужно

1) данное двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой;

2) если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то дополнить ее справа нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2ⁿ.

Смешанные числа

Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ нужно

1) данное двоичное число разбить слева и справа (целую и дробную части) на группы по n цифр в каждой;

2) если в последней левой и правой группах окажется меньше n разрядов, то дополнить ее слева и справа нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2ⁿ.

Пример 1.6. Перевести число 10101001,10111₂ в восьмеричную систему.

Для решения задачи необходимо выделить слева и справа от запятой группы по три двоичных знака и воспользоваться двоично-восьмеричной таблицей.

8	2
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

10101001,10111₂ = 010 101 001, 101 110 ₂ = 251,56₈

                               2    5   1   5 6

Пример 1.7. Перевести число 10101001,10111₂ из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Для этого следует выделить группы по четыре двоичных знака влево и вправо от запятой и каждые четыре двоичных знака заменить цифрой в шестнадцатеричной системе счисления. Для этого воспользуемся двоично-шестнадцатеричной таблицей.

16	2	16	2
0	0000	8	1000
1	0001	9	1001
2	0010	А	1010
3	0011	В	1011
4	0100	С	1100
5	0101	D	1101
6	0110	E	1110
7	0111	F	1111

10101001,10111₂ = 1010 1001, 1011 1000 ₂ = A9,B8₁₆

                                  A   9     B 8

Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q = 2ⁿ, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Пример 1.8. Перевести число 573,1₈  в двоичную систему счисления.  

Для этого воспользуемся двоично-восьмеричной таблицей и заменим каждые три двоичных цифры на эквивалентную цифру восьмеричного числа. 

573,1₈ =101 011 111, 001₂

             5  3  7  1

Пример 1.9. Перевести число 1А3,F₁₆ в двоичную систему.

Воспользуемся двоично-шестнадцатеричной таблицей и заменим  каждую цифру шестнадцатеричного числа эквивалентной ей двоичной четверкой цифр.

1А3,F₁₆ = 0001 1010 0011, 1111₂

                   1  A    3 F

Умножение

Для умножения чисел в различных позиционных системах счисления используется обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но результаты перемножения и сложения однозначных чисел заимствуются из соответствующих системе таблиц умножения и сложения.

Таблица умножения в двоичной системе

Таблица умножения в восьмеричной системе

Пример 1.14. Перемножим числа 5 и 6 в различных системах счисления.

Десятичная 5₁₀ × 6₁₀   Двоичная 101₂ × 110₂ Восьмеричная 5₈ × 6₈

Ответ: 5₁₀ × 6₁₀ = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30;

36₈ = 3 × 8¹ + 6 × 8⁰ = 30.

Пример 1.15. Перемножим числа 115 и 51 в различных системах счисления.

Десятичная 115₁₀ × 51₁₀        Двоичная 1110011₂ × 111011₂  

                              

Восьмеричная 163₈ × 63₈

    

Ответ: 115^. 51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865;

13351₈ = 1^. 8⁴ + 3^. 8³ + 3^. 8² + 5^. 8¹ + 1^. 8⁰ = 5865.

1.4. Задания для самостоятельного выполнения

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления.

3. Сложить числа.

4. Выполнить вычитание.

5. Выполнить умножение.

Указания к выполнению задания

1. Прочитайте теоретический раздел и разберите примеры 1.1–1.15.

2. При выполнении каждого задания подробно покажите, как получен результат. Примеры, содержащие только ответы, проверяться и засчитываться не будут.

3. Решение каждой задачи должно содержать ответ.

Вариант 1

1. а) 860₁₀; б) 785₁₀; в) 149,375₁₀; г) 953,25₁₀.

2. а) 1001010₂; б) 110101101,00011₂; в) 775,11₈; г) 294,3₁₆.

3. а) 1101100000₂ + 10110110₂; б) 1001000111,01₂+100001101,101₂; в) 271,34₈+1566,2₈; г) 65,2₁₆+3CA,8₁₆.

4. а) 1011001001₂ – 1000111011₂; б) 101010000,10111₂ – 11001100,01₂; в) 731,6₈ – 622,6₈; г) 22D,1₁₆ – 123,8₁₆.

5. а) 1011001₂ ´ 1011011₂; б) 723,1₈ ´ 50,2₈; в) 69,4₁₆ ´ A,B₁₆.

Вариант 2

1. а) 250₁₀; б) 757₁₀; в) 711,25₁₀; г) 261,78₁₀.

2. а) 1111000₂; б) 111101100,01101₂; в) 1233,5₈; г) 2B3,F4₁₆.

3. а) 1010101₂ + 10000101₂; б) 100100111,001₂ + 100111010,101₂;

в) 607,54₈ + 1620,2₈; г) 3BF,A₁₆ + 313,A₁₆.

4. а) 1001000011₂ – 10110111₂; б) 1100110110,0011₂ – 11111110,01₂; в) 1360,14₈ – 1216,4₈; г) 33B,6₁₆ – 11B,4₁₆.

5. а) 11001₂ ´ 1011100₂; б) 451,2₈ ´ 5,24₈; в) 2B,A₁₂ ´ 36,6₁₆.

Вариант 3

1. а) 759₁₀; б) 265₁₀; в) 79,4375₁₀; г) 240,25₁₀.

2. а) 1001101₂; б) 100111001,01₂; в) 1461,15₈; г) 9D,A₁₆.

3. а) 100101011₂ + 111010011₂; б) 1010000100,1₂ + 11011110,001₂; в) 674,34₈ + 1205,2₈; г) 2FE,6₁₆ + 3B,4₁₆.

4. а) 1100110010₂ – 1001101101₂; б) 11001010,01₂ – 1110001,001₂;
в) 641,6₈ – 273,04₈; г) 3CE,B8₁₆ – 39A,B8₁₆.

5. а) 1010101₂ ´ 1011001₂; б) 1702,2₈ ´ 64,2₈; в) 7,4₁₆ ´ 1D,4₁₆.

Вариант 4

1. а) 216₁₀; б) 336₁₀; в) 741,125₁₀; г) 712,375₁₀.

2. а) 1100000110₂; б) 1011010,001₂; в) 1537,22₈; г) 2D9,8₁₆.

3. а) 101111111₂ + 1101110011₂; б) 1101100011,0111₂ + 1100011,01₂; в) 666,2₈ + 1234,24₈; г) 346,4₁₆ + 3F2,6₁₆.

4. а) 1010101101₂ – 110011110₂; б) 1111100100,11011₂ ‑ 101110111,011₂; в) 1437,24₈ – 473,4₈; г) 24A,4₁₆ – B3,8₁₆.

5. а) 101011₂ ´ 100111₂; б) 1732,4₈ ´ 34,5₈; в) 36,4₁₆ ´ A,A₁₆.

Вариант 5

1. а) 530₁₀; б) 265₁₀; в) 597,25₁₀; г) 300,375₁₀.

2. а) 101000111₂; б) 1001101010,01₂; в) 1317,75₈; г) 2F4,0C₁₆.

3. а) 1100011010₂ + 11101100₂; в) 1000110111,011₂ + 1110001111,001₂; в) 1745,5₈ + 1473,2₈; г) 24D,5₁₆ + 141,4₁₆.

4. а) 1100101010₂ – 110110010₂; б) 1101111111,1₂ – 1100111110,1011₂; в) 1431,26₈ – 1040,3₈; г) 22C,6₁₆ – 54,2₁₆.

5. а) 1001001₂ ´ 11001₂; б) 245,04₈ ´ 112,2₈; в) 4B,2₁₆ ´ 3C,3₁₆.

Вариант 6

1. а) 945₁₀; б) 85₁₀; в) 444,125₁₀; г) 989,375₁₀.

2. а) 110001111₂; б) 100110101,1001₂; в) 176,5₈; г) 3D2,04₁₆.

3. а) 1000011101₂ + 101000010₂; б) 101111011,01₂ + 1000100,101₂; в) 1532,14₈ + 730,16₈; г) BB,4₁₆ + 2F0,6₁₆.

4. а) 1000101110₂ – 1111111₂; б) 1000101001,1₂ – 1111101,1₂;
в) 1265,2₈ – 610,2₈; г) 409,D₁₆ – 270,4₁₆.

5. а) 111010₂ ´ 1100000₂; б) 1005,5₈ ´ 63,3₈; в) 4A,3₁₆ ´ F,6₁₆.

Вариант 7

1. а) 287₁₀; б) 220₁₀; в) 332,1875₁₀; г) 652,625₁₀.

2. а) 10101000₂; б) 1110010100,001₂; в) 1714,2₈; г) DD,3₁₆.

3. а) 1100110₂ + 1011000110₂; б) 101001100,101₂ + 1001001100,01₂; в) 275,2₈ + 724,2₈; г) 165,6₁₆ + 3E,B₁₆.

4. а) 1011111111₂ – 100000011₂; б) 110010100,01₂ – 1001110,1011₂; в) 1330,2₈ – 1112,2₈; г) AB,2₁₆ – 3E,2₁₆.

5. а) 110000₂ ´ 1101100₂; б) 1560,2₈ ´ 101,2₈; в) 6,3₁₆ ´ 53,A₁₆.

Вариант 8

1. а) 485₁₀; б) 970₁₀; в) 426,375₁₀; г) 725,625₁₀.

2. а) 10101000₂; б) 1010101,101₂; г) 721,2₈; д) 3C9,8₁₆.

3. а) 1010100111₂ + 11000000₂; б) 1111111,101₂ + 101010101,101₂; в) 1213,44₈ + 166,64₈; г) 41,4₁₆ + 3CF,D₁₆.

4. а) 1010000000₂ – 1000101010₂; б) 1001001010,11011₂ – 1000111000,01₂; в) 1145,2₈ – 1077,5₈; г) 380,1₁₆– 2DC,3₁₆.

5. а) 111011₂ ´ 100000₂; б) 511,2₈ ´ 132,4₈; в) 68,4₁₆ ´ 37,8₁₆.

Вариант 9

1. а) 639₁₀; б) 485₁₀; в) 581,25₁₀; г) 673,5₁₀.

2. а) 1011000011₂; б) 1100101101,1₂; г) 1046,4₈; д) 388,64₁₆.

3. а) 1000010100₂ + 1101010101₂; б) 1110111000,101₂ + 1101100011,101₂; в) 1430,2₈ + 666,3₈; г) 388,3₁₆ + 209,4₁₆.

4. а) 1111100010₂ – 101011101₂; б) 1101111000,1001₂ – 1000000,01₂; в) 1040,2₈ – 533,2₈; г) 3FB,4₁₆ – 140,6₁₆.

5. а) 11111₂ ´ 10001₂; б) 1237,3₈ ´ 117,5₈; в) 66,4₁₆ ´ 65,8₁₆.

Вариант 10

1. а) 618₁₀; б) 556₁₀; в) 129,25₁₀; г) 928,25₁₀.

2. а) 111101011₂; б) 100111010,011₂; в) 101110011,1011₂; г) 675,2₈; д) 94,4₁₆.

3. а) 11111010₂ + 10000001011₂; б) 10110110,01₂ + 1001001011,01₂; в) 1706,34₈ + 650,3₈; г) 180,4₁₆ + 3A6,28₁₆.

4. а) 111101101₂ – 101111010₂; б) 1111111011,01₂ – 100000100,011₂; в) 1300,44₈ – 1045,34₈; г) 16A,8₁₆ – 147,6₁₆.

5. а) 100111₂ ´ 110101₂; б) 1542,2₈ ´ 50,6₈; в) A,8₁₆ ´ E,2₁₆.

Вариант 11

1. а) 772₁₀; б) 71₁₀; в) 284,375₁₀; г) 876,5₁₀.

2. а) 1000001111₂; б) 100100110,1010₂; в) 1022,2₈; г) 53,9₁₆.

3. а) 1100111₂ + 1010111000₂; б) 1111101110,01₂ + 1110001,011₂; в) 153,3₈ + 1347,2₈; г) E0,2₁₆ + 1E0,4₁₆.

4. а) 1010101110₂ – 11101001₂; б) 1010100011,011₂ – 1000001010,0001₂; в) 1517,64₈ – 1500,3₈; г) 367,6₁₆ – 4A,C₁₆.

5. а) 1100110₂ ´ 101111₂; б) 1272,3₈ ´ 23,14₈; в) 48,4₁₆ ´ 5,A₁₆.

Вариант 12

1. а) 233₁₀; б) 243₁₀; в) 830,375₁₀; г) 212,5₁₀.

2. а) 1001101111₂; б) 11010101,1001₂; в) 1634,5₈; г) C2,3₁₆.

3. а) 1101111001₂ + 1010010101₂; б) 100110010,011₂ + 110001000,011₂; в) 1712,14₈ + 710,4₈; г) E6,1₁₆ + 38C,8₁₆.

4. а) 1000001110₂ – 100100001₂; б) 1011001111,01₂ – 110100010,01₂; в) 1734,4₈ – 134,2₈; г) 2F2,A₁₆ – 22D,A₁₆.

5. а) 1000000₂ ´ 100101₂; б) 103,2₈ ´ 147,04₈; в) 67,4₁₆ ´ 54,8₁₆.

Вариант 13

1. а) 218₁₀; б) 767₁₀; в) 894,5₁₀; г) 667,125₁₀.

2. а) 1111100010₂; б) 1001111001,1₂; в) 1071,54₈; г) 18B,0C₁₆.

3. а) 1000011111₂ 1+ 111100₂; б) 111111100,1₂ + 1011100100,1₂; в) 1777,2₈ + 444,1₈; г) 3EF,3₁₆ + C7,4₁₆.

4. а) 1101000100₂ – 101010101₂; б) 1100101111,01₂ – 10010001,01₂;
 в) 640,2₈ – 150,22₈; г) 380,68₁₆ – 50,4₁₆.

5. а) 100010₂ ´ 1100110₂; б) 741,4₈ ´ 141,64₈; в) B,7₁₆ ´ D,C₁₆.

Вариант 14

1. а) 898₁₀; б) 751₁₀; в) 327,375₁₀; г) 256,625₁₀.

2. а) 101110100₂; б) 1110100001,01₂; в) 744,12₈; г) 1EE,C₁₆.

3. а) 1001000000₂ + 101010110₂; б) 1011101110,1₂ + 11100101,01₂; в) 2015,1₈ + 727,54₈; г) 9D,8₁₆ + ED,8₁₆.

4. а) 1010000100₂ – 1000001000₂; б) 101001100,101₂ – 100100101,1₂; в) 1024,6₈ – 375,14₈; г) 3E9,4₁₆ – 72,6₁₆.

5. а) 1001010₂ ´ 1001000₂; б) 747,2₈ ´ 64,14₈; в) 56,1₁₆ ´ 33,C₁₆.

Вариант 15

1. а) 557₁₀; б) 730₁₀; в) 494,25₁₀; г) 737,625₁₀.

2. а) 101001101₂; б) 10000001000,001₂; в) 147,56₈; г) 1CA,3₁₆.

3. а) 1101100001₂ + 1001101110₂; б) 1101111110,011₂ + 1100101101,1011₂;
в) 1771,2₈ + 300,5₈; г) 2F2,8₁₆ + E4,B₁₆.

4. а) 1111000000₂ – 111101000₂; б) 1000011110,1001₂ – 110000111,01₂; в) 1436,34₈ – 145,2₈; г) 3F5,98₁₆ – 240,3₁₆.

5. а) 1011100₂ ´ 101000₂; б) 1300,6₈ ´ 65,2₈; в) 68,A₁₆ ´ 9,6₁₆.

Вариант 16

1. а) 737₁₀; б) 92₁₀; в) 934,25₁₀; г) 413,5625₁₀.

2. а) 1110000010₂; б) 110000100,001₂; в) 665,42₈; г) 246,18₁₆.

3. а) 11110100₂ + 110100001₂; б) 1100110011,1₂ + 111000011,101₂; в) 1455,04₈ + 203,3₈; г) 14E,8₁₆ + 184,3₁₆.

4. а) 1000010101₂ – 100101000₂; б) 111111011,101₂ – 100000010,01₂; в) 341,2₈ – 275,2₈; г) 249,5₁₆ – EE,A₁₆.

5. а) 1001000₂ ´ 1010011₂; б) 412,5₈ ´ 13,1₈; в) 3B,A₁₆ ´ 10,4₁₆.

Вариант 17

1. а) 575₁₀; б) 748₁₀; в) 933,5₁₀; г) 1005,375₁₀.

2. а) 1010000₂; б) 1111010000,01₂; в) 1004,1₈; г) 103,8C₁₆.

3. а) 1011110101₂ + 1010100110₂; б) 1111110100,01₂ + 110100100,01₂; в) 755,36₈ + 1246,5₈; г) 8D,2₁₆ + 63,8₁₆.

4. а) 1100111110₂ – 1101001₂; б) 1101001010,011₂ – 1010011110,101₂; в) 1632,1₈ – 706,34₈; г) 283,C₁₆ – 19C,8₁₆.

5. а) 111000₂ ´ 1101001₂; б) 133,6₈ ´ 73,4₈; в) 46,8₁₆ ´ B,A₁₆.

Вариант 18

1. а) 563₁₀; б) 130₁₀; в) 892,5₁₀; г) 619,25₁₀.

2. а) 11100001₂; б) 1011110010,0001₂; в) 533,2₈; г) 32,22₁₆.

3. а) 1100100011₂ + 1101001111₂; б) 1010010000,0111₂ + 111010100,001₂;
в) 1724,6₈ + 1322,2₈; г) 2C7,68₁₆ + 6F,4₁₆.

4. а) 111001110₂ – 11011011₂; б) 1011111101,1₂ – 111100000,01₂;
в) 1126,06₈ – 203,54₈; г) 32B,D₁₆ – 187,D8₁₆.

5. а) 1100101₂ ´ 1001010₂; б) 1544,4₈ ´ 16,64₈; в) 69,8₁₆ ´ 30,8₁₆.

Вариант 19

1. а) 453₁₀; б) 481₁₀; в) 461,25₁₀; г) 667,25₁₀.

2. а) 111001010₂; б) 1001010100,10001₂; г) 1634,35₈; д) 6B,A₁₆.

3. а) 101110001₂ + 101111001₂; б) 10000011010,01₂ + 1010010110,01₂; в) 1710,2₈ + 773,24₈; г) 3E7,7₁₆ + 32,2₁₆.

4. а) 1111000010₂ – 1110000011₂; б) 1111011010,011₂ – 1011100111,01₂; в) 1650,2₈ – 502,2₈; г) 3E0,6₁₆ – 17E,9₁₆.

5. а) 1001101₂ ´ 11111₂; б) 1226,1₈ ´ 24,4₈; в) 36,6₁₆ ´ 38,4₁₆.

Вариант 20

1. а) 572₁₀; б) 336₁₀; в) 68,5₁₀; г) 339,25₁₀.

2. а) 1010110011₂; б) 1010101,101₂; в) 414,1₈; г) 366,4₁₆.

3. а) 10001000₂ + 1011010010₂; б) 1010001010,1011₂ + 1101010100,011₂;
в) 711,2₈ + 214,2₈; г) 7A,58₁₆ + 2D0,9₁₆.

4. а) 11011101₂ – 1110001₂; б) 1111111010,01₂ – 1000110010,0101₂; в) 1060,52₈ – 761,14₈; г) 1C0,6₁₆ – 8D,2₁₆.

5. а) 11101₂ ´ 110101₂; б) 1106,2₈ ´ 145,2₈; в) 65,4₁₆ ´ 55,9₁₆.

Вариант 21

1. а) 949₁₀; б) 763₁₀; в) 994,125₁₀; г) 523,25₁₀.

2. а) 1110001111₂; б) 1001100101,1001₂; в) 335,7₈; г) 14C,A₁₆.

3. а) 1110101010₂ + 10111001₂; б) 111101110,1011₂ + 1111011110,1₂;
в) 1153,2₈ + 1147,32₈; г) 40F,4₁₆ + 160,4₁₆.

4. а) 1000000100₂ – 101010001₂; б) 1101000000,01₂ – 1001011010,011₂; в) 2023,5₈ – 527,4₈; г) 25E,6₁₆ – 1B1,5₁₆.

5. а) 1001011₂ ´ 1010110₂; б) 1650,2₈ ´ 120,2₈; в) 19,4₁₆ ´ 2F,8₁₆.

Вариант 22

1. а) 563₁₀; б) 264₁₀; в) 234,25₁₀; г) 53,125₁₀.

2. а) 1100010010₂; б) 1111000001,01₂; в) 416,1₈; г) 215,7₁₆.

3. а) 10111111₂ + 1100100001₂; б) 10000001001,0101₂ + 1010000110,01₂;
в) 1512,4₈ + 1015,2₈; г) 274,5₁₆ + DD,4₁₆.

4. а) 1000001001₂ – 111110100₂; б) 1100110101,1₂ – 1011100011,01₂; в) 1501,34₈ – 1374,5₈; г) 12D,3₁₆ – 39,6₁₆.

5. а) 111101₂ ´ 1010111₂; б) 1252,14₈ ´ 76,04₈; в) 66,68₁₆ ´ 1E,3₁₆.

Вариант 23

1. а) 279₁₀; б) 281₁₀; в) 841,375₁₀; г) 800,3125₁₀.

2. а) 1100111001₂; б) 1111011,001₂; г) 1601,56₈; д) 16E,B4₁₆.

3. а) 1000100001₂ + 1011100110₂; б) 1011011,01₂ + 1000101110,1001₂; в) 665,1₈ + 1217,2₈; г) 30C,7₁₆ + 2A1,8₁₆.

4. а) 11110010₂ – 10101001₂; б) 1101001010,1₂ – 1011101001,11011₂; в) 166,14₈ – 143,2₈; г) 287,A₁₆ – 62,8₁₆.

5. а) 1001001₂ ´ 100010₂; б) 324,2₈ ´ 122,12₈; в) F,4₁₆ ´ 38,6₁₆.

Вариант 24

1. а) 744₁₀; б) 554₁₀; в) 269,375₁₀; г) 120,25₁₀.

2. а) 101000001₂; б) 1001110101,011001₂; в) 1177,6₈; г) 3FA,E8₁₆.

3. а) 10000001010₂ + 11111111₂; б) 111010101,101₂ + 11101111,001₂; в) 251,42₈ + 72,54₈; г) 2CF,A₁₆ + 242,4₁₆.

4. а) 1001000100₂ – 100111010₂; в) 1110111100,011₂ – 1100000011,0111₂; в) 1700,2₈ – 456,44₈; г) 1A1,8₁₆ – E0,7₁₆.

5. а) 11110₂ ´ 1100100₂; б) 1034,6₈ ´ 43,1₈; в) 2C,4₁₆ ´ 6,2₁₆.

Вариант 25

1. а) 686₁₀; б) 585₁₀; в) 530,6875₁₀; г) 87,375₁₀.

2. а) 110111001₂; б) 1110111100,1₂; в) 742,34₈; г) 396,A₁₆.

3. а) 10000010001₂[phone]₂; б) 1001110000,001₂+10100101,011₂;
в) 1216,2₈+2012,4₈; г) 372,18₁₆+251,38₁₆.

4. а) 100110110₂ – 11101001₂; б) 11001101,1011₂ – 1001101,011₂;
в) 1254,2₈ – 1150,54₈; г) 2E1,8₁₆ – 19A,4₁₆.

5. а) 1101000₂ ´ 10011₂; б) 1411,44₈ ´ 46,4₈; в) 63,8₁₆ ´ 8,6₁₆.

 

практическое занятие 2.
Измерение информации

Цель занятия – научиться определять количество информации в сообщении, используя вероятностный и объемный подходы

Содержательный подход

Количество информации, заключенное в сообщении, определяется объемом знаний, которое оно несет приемнику информации (получающему человеку).

Американский инженер Р. Хартли в 1928 г. процесс получения информации рассматривал как выбор одного сообщения из конечного, наперёд заданного, множества из n равновероятных сообщений, а количество информации i, содержащееся в выбранном сообщении, определял как двоичный логарифм n.

Формула Хартли: i = log₂n.

Пример 2.1. При бросании монеты (например, выпал «орел» или выпала «решка») количество возможных вариантов результата равно 2. Оба эти варианта равновероятны. Ответ можно получить при решении уравнения: 2ⁱ = 2. Отсюда i = 1.

Пример 2. 2. В барабане для розыгрыша лотереи находится 32 шара. Сколько информации содержит сообщение о первом выпавшем номере (например, выпал номер 15)?

Поскольку вытаскивание любого из 32 шаров равновероятно, то количество информации об одном выпавшем номере находится из уравнения 2ⁱ = 32. Отсюда i = 5.

Алфавитный подход

Для определения количества информации, заключенной в тексте используется понятие мощности алфавита, на котором записан текст. Полное количество символов в алфавите называется мощностью алфавита. Если допустить, что все символы встречаются в тексте с одинаковой частотой, то количество информации, которое несет каждый символ, вычисляется по формуле Хартли

i = log₂n,

где n – мощность алфавита.

Если весь текст состоит из К символов, то при алфавитном подходе размер содержащейся в нем информации равен

I = K × i,

где i – информационный вес одного символа в используемом алфавите.

Пример 2.3. Книга, набранная с помощью компьютера, содержит 150 страниц; на каждой странице – 40 строк, в каждой строке – 60 символов. Каков объем информации в книге?

Мощность компьютерного алфавита равна 256. Один символ несет
i = log₂N = log₂256 = 8 бит информации. Объем всей информации в книге
8 × 60 × 40 × 150 = 2880000 бит = 360 000 байт.

Вероятностный подход

Определяет количественную связь между вероятностью появления некоторого события (р) и количеством информации в сообщении о наступлении этого события, учитывающую возможную неодинаковую вероятность сообщений в наборе:

i = log₂(1/p).

Для задач такого рода американский учёный Клод Шеннон предложил в 1948 г. следующую формулу определения количества информации:

где p_i вероятность того, что система находится в i -м состоянии.

Заметим, что при равных вероятностях p₁,..., p_N, каждая из них равна 1/ n, и формула Шеннона превращается в формулу Хартли.

Пример 2.4. В коробке имеется 50 шаров. Из них 40 белых и 10 черных. Определить количество информации в сообщении о том, что из корзины был вытащен черный шар.

Вероятность вытаскивания черного шара р = 10/50 = 0,2. Количество информации в сообщении о том, что вытащен черный шар i = log₂(1/0,2) = log₂5 = 2,32.

Вариант 1

1. Дорожный светофор без дополнительных секций подает шесть видов сигналов (непрерывные красный, желтый и зеленый, мигающие желтый и зеленый, красный и желтый одновременно). Устройство управления светофором последовательно воспроизводит записанные сигналы. Подряд записано 100 сигналов светофора. Определите информационный объем сигналов в байтах.

2. В корзине лежат 8 черных и 24 белых шара. Сколько бит информации несет сообщение о том, что достали черный шар?

3. Определить объем видеопамяти, необходимого для хранения двух страниц изображения при условии, что разрешающая способность дисплея равна 640 × 350 пикселей, а количество используемых цветов – 16.

4 Книга, набранная с помощью компьютера, содержит 150 страниц, на каждой странице – 4 строк, в каждой строке – 60 символов, Каков объем информации в книге?

Вариант 2

1. В кодировке Unicode на каждый символ отводится два байта. Определите информационный объем слова из двадцати четырех символов в этой кодировке.

2. В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение о том, что достали белый карандаш, несет 4 бита информации. Сколько белых карандашей было в коробке?

3. Определить объем видеопамяти, необходимого для хранения четырех страниц изображения, если битовая глубина равна 24, а разрешающая способность дисплея 800 × 600 пикселей.

4. Можно ли уместить на дискету, объемом 1,44 Мбайт книгу, имеющую 432 страницы, причем на каждой странице этой книги 46 строк, а в каждой строке 62 символа?

Вариант 3

1. Световое табло состоит из лампочек. Каждая лампочка может находиться в одном из трех состояний («включено», «выключено» или «мигает»). Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 18 различных сигналов?

2. В корзине лежат белые и черные шары. Черных шаров всего 18. общение о том, что достали белый шар, несет 2 бита информации. Сколько всего шаров в корзине?

3. Документ состоит из текстовой и графической информации. Текст содержит 30 строк по 30 символов в каждой в кодировке ASCII. Размер черно-белого изображения составляет 120 × 300 точек. Определить информационный объем этого изображения в байтах.

4. Сообщение, записанное буквами из 64-символьного алфавита, содержит 20 символов. Какой объем информации он несет?

Вариант 4

1.Для передачи секретного сообщения используется код, состоящий из десятичных цифр. При этом все цифры кодируются одним и тем же (минимально возможным) количеством бит. Определите информационный объем сообщения длиной в 150 символов.

2. В закрытом ящике находится 32 карандаша, некоторые из них синего цвета. Наугад вынимается один карандаш. Сообщение «этот карандаш – НЕ синий» несет 4 бита информации. Сколько синих карандашей в ящике?

3. Объем видеопамяти равен 1 Мб. Разрешающая способность дисплея 800 × 600 пикселей. Какое максимальное количество цветов можно использовать при условии, что видеопамять делится на две страницы?

4. Одно племя имеет 32-символьный алфавит, а второе племя – 64-символьный алфавит. Вожди племени обменялись письмами. Письмо первого содержало 80 символов, а письмо второго племени – 70 символов. Сравните объем информации, содержащейся в письмах.

Вариант 5

1. В велокроссе участвуют 119 спортсменов. Специальное устройство регистрирует прохождение каждым из участников промежуточного финиша, записывая номер участника с использованием минимально возможного количества бит, одинакового для каждого спортсмена. Каков информационный объем сообщения, записанного устройством, после того, как промежуточный финиш прошли 70 велосипедистов?

2. Некоторый алфавит содержит 4 различных символа. Сколько трехбуквенных слов можно составить из символов этого алфавита, если символы в слове могут повторяться?

3. Документ содержит несколько страниц текста, на каждой странице 60 строк по 30 символов в кодировке КОИ-8, и два растровых изображения размером 120 × 240 пикселей, каждое изображение использует не более 8 различных цветов. Модем, работающий со скоростью передачи 28800 бит, передал этот документ за 5 сек. Определите, сколько страниц текста в документе.

4. Информационное сообщение объемом 1, 5 Кбайт содержит 3072 символа. Сколько символов содержит алфавит, при помощи которого было написано это сообщение?

Вариант 6

1. Световое табло состоит из лампочек, каждая из которых может находиться в двух состояниях («включено» или «выключено»). Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 50 различных сигналов?

2. Автомобильный номер длиной 6 символов составляется из заглавных букв (используется 12 букв) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а каждый номер – одинаковым и минимально возможным количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для хранения 32 номеров.

3. Книга содержит текст и иллюстрации к ней. Объем текста 350 страниц. Каждая страница содержит 48 строк по 64 символа в строке. Иллюстрации являются 16 разрядными цветными рисунками размером 480×160 пикселей. Количество иллюстраций 10. Определите объем всей книги в килобайтах.

4. Объем сообщения, содержащего 2048 символов, составил 1/512 мегабайта. Каков размер алфавита, с помощью которого записано сообщение?

Вариант 7

1. Метеорологическая станция ведет наблюдение за влажностью воздуха. Результатом одного измерения является целое число от 0 до 100 процентов, которое записывается при помощи минимально возможного количества бит. Станция сделала 80 измерений. Определите информационный объем результатов наблюдений.

2. Автомобильный номер длиной 6 символов составляется из заглавных букв (всего используется 19 букв) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а каждый номер – одинаковым и минимально возможным количеством байт. Определите объем памяти, необходимый для хранения 40 номеров.

3. Для хранения растрового изображения размером 128x128 пикселей отвели 4 килобайта памяти. Каково максимально возможное число цветов в палитре изображения?

4. Сколько символов содержит сообщение, записанное с помощью 16-символьного алфавита, если объем этого сообщения составил 1/16 мегабайта?

 

Вариант 8

1. Световое табло состоит из светящихся элементов, каждый из которых может гореть одним из восьми различных цветов. Сколько различных сигналов можно передать с помощью табло, состоящего из трех таких элементов (при условии, что все элементы должны гореть)?