Алгоритм отыскания собственных векторов и собственных значений оператора

1. Составить характеристическое уравнение (2) и найти все его действительные корни , которые и будут собственными значениями линейного оператора .

2. Для каждого собственного значения  найти все ненулевые решения однородной системы уравнений    

                                                                                                 (3)

Каждое ненулевое решение  этой системы является собственным вектором оператора , соответствующим собственному значению .

Замечание1. Собственное значение  линейного оператора  называется так же собственным значением матрицы , а ненулевое решение системы (3) (матрицы ) называется собственным вектором матрицы . Во многих разделах математики и ее экономических приложений рассматриваются именно собственные значения и собственные векторы матриц, вне их связи с линейными операторами.

В базисе из собственных векторов матрица  оператора  имеет диагональный вид

,

где - собственные значения оператора .

 

Линейный оператор с простым спектром (простой структуры)

Определение3. Множество всех собственных значений линейного оператора  называется спектром линейного оператора.

В спектр линейного оператора  каждое собственное значение входит столько раз, какова его кратность в характеристическом многочлене .

Определение4. Линейный оператор , действующий в линейном пространстве , называется оператором с простым спектром или оператором простой структуры, если в пространстве  существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Теорема 2 (достаточный признак оператора простой структуры).

Если линейный оператор , действующий в линейном пространстве  размерности , имеет  попарно различных собственных значений, то отвечающие им собственные векторы образуют базис пространства , и оператор  является оператором с простым спектром.

 

Решение типовых примеров и задач

 

1. Найти собственные значения и собственные векторы оператора , заданного матрицей

.

Решение.

1.Составим характеристическое уравнение:

или , откуда . Корни этого уравнения  и - собственные значения линейного оператора .

2.Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению = . Пусть . Тогда получим:

  или = .

Отсюда

= .

Пусть - свободное неизвестное, тогда . Найдем фундаментальную систему решений данной однородной системы (см. пр. зан. №8):

	1	1

 

.

 

 

Следовательно, = = (1, 1), где .

3.Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению  Пусть . Тогда получим:

 или .

Отсюда

 

Пусть - свободное неизвестное, тогда х₁=6х₂. Найдем фундаментальную систему решений:

 

	6	1

 

                                

 

Следовательно, (6,1), где

 

2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение.

1.Составим характеристическое уравнение:

После преобразований уравнение примет вид

Решая это уравнение, получим

Корни этого уравнения l₁=l₂=9, l₃=-9 - собственные значения матрицы

2.Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению  Пусть

Тогда получим

 или

Отсюда

Пусть  и - свободные неизвестные, тогда  Найдем фундаментальную систему решений данной однородной системы линейных уравнений:

                                                                 

	1	-2	0
	0	-2	1

 

                                

 

Следовательно, , где числа и  не равны нулю одновременно.

3.Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению . Пусть . Тогда получим

 или .

Отсюда

Решая последнюю систему методом Гаусса, получим:

         .

Пусть - свободное неизвестное, тогда . Найдем фундаментальную систему решений:

 

 

	1	1/2	1

                              

 

Следовательно, , где .

3. Привести к диагональному виду матрицу линейного оператора .

а) ;                        б) .

Решение. а) В примере 1 найдены собственные значения оператора  и его собственные векторы ,  где и  Так как оператор  действует в линейном пространстве размерности 2 и имеет два различных собственных значения, то, отвечающие им собственные векторы и  образуют базис данного пространства, в котором матрица оператора  принимает диагональный вид

.

б) В примере 2 найдены собственные значения оператора  и его собственные векторы  и  где и не равны нулю одновременно, . Линейный оператор  действует в линейном пространстве размерности 3, но имеет два различных собственных значения. Несмотря на то, что , среди собственных векторов, отвечающих данному значению, можно выделить пары линейно независимых векторов (в силу того, что соответствующая фундаментальная система решений содержит два вектора). Следовательно, существует базис из трех собственных векторов, в котором матрица оператора  имеет диагональный вид

.

4. Выяснить, приводится ли к диагональному виду матрица

.

Решение. Аналогично примеру 2 находим, что данная матрица имеет собственные значения  и отвечающие им собственные векторы и , где  и . Матрица  задана в пространстве размерности 3, но имеет два различных собственных значения. При этом все собственные векторы, отвечающие собственному значению , являются линейно зависимыми, так как соответствующая фундаментальная система решений состоит только из одного вектора. Следовательно, для матрицы нельзя выделить базис из трех собственных векторов, поэтому матрица  не может быть приведена к диагональному виду.

Практическое занятие № 14

Квадратичные формы

Цель: научиться приводить квадратичные формы к каноническому виду методом Лагранжа и ортогональным преобразованием, а также изучить различные типы квадратичных форм и критерии их определения.

Литература

[1] / глава 3, § 3.8.                                                           [15] / раздел II, § 2.32.

[4] / раздел А, §§ 8.1 – 8.4.                                             [16] / глава 7, § 7.1.

   [7] / раздел III, глава 3, §4.                                             [17] / глава VI, §§ 1 – 2.

[8] / глава 8.                                                                     [18] / глава V, § 7.

[9] / глава VIII.                                                                  [19] / глава 3, § 3.5.

[12] / тема 3.                                                                    [20] / глава 9, § 9.4.

 

Справочный материал