Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы
Пусть матрица А квадратичной формы имеет вид , где , . Определение10. Определители ,называются угловыми или главными минорами матрицы А. Теорема 5 (критерий Сильвестра). 1.Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы А были положительными, т.е. > 0, > 0, …, > 0. 2.Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки последовательных угловых миноров ее матрицы А чередовались, начиная со знака минус, т.е. < 0, > 0, < 0, … Определение11. Симметрическая матрица А называется положительно определенной, если квадратичная форма положительно определенная. Решение типовых примеров и задач 1. Записать квадратичную форму в матричном виде. Решение. Квадратичная форма в матричном виде записывается как , где , А – матрица квадратичной формы. Составим матрицу А квадратичной формы. Диагональные элементы данной матрицы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. 2, -5, 8; а другие элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Следовательно, . В результате получим .
2. Дана квадратичная форма Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием Решение. Матрица А данной квадратичной формы имеет вид , а матрица Р соответствующего линейного преобразования определяется как . Следовательно, матрица В искомой квадратичной формы имеет вид
. Тогда
3. Привести квадратичную форму к каноническому виду: а) методом Лагранжа; б) ортогональным преобразованием. Решение. а) Коэффициент при отличен от нуля (равен 3). Сгруппируем все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:
Далее сгруппируем все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:
Введем следующие обозначения: Тогда получим следующий канонический вид исходной квадратичной формы: (5) б)Составим матрицу данной квадратичной формы: . Найдем ее собственные значения. Характеристическое уравнение имеет вид
Оно имеет корни l1=-2, l2,3=4. Это позволяет сразу написать канонический вид квадратичной формы:
(6) Отметим, что как канонический вид (5) квадратичной формы, полученный методом Лагранжа, так и канонический вид (6), полученный ортогональным преобразованием, содержит два положительных канонических коэффициента и один отрицательный коэффициент, что соответствует закону инерции квадратичных форм.
4. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму Решение. В данной квадратичной форме отсутствуют члены с квадратами переменных, но есть, например, член Поэтому совершим сначала невырожденное преобразование переменных , , В результате получим В последнем выражении коэффициент при отличен от нуля. Сгруппируем все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:
Далее сгруппируем все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:
= Введем следующие обозначения: Тогда получим следующий канонический вид исходной квадратичной формы:
5. Исследовать на знакоопределенность следующие квадратичные формы: а) б) в) г) Решение .а) Исследуем данную квадратичную форму на знакоопределенность двумя способами: на основании теоремы 4 и критерия Сильвестра. 1 способ. Составим матрицу А квадратичной формы: . Найдем ее собственные значения (см. пр. зан. №14): . Так как все собственные значения матрицы А квадратичной формы положительные, то квадратичная форма является положительно определенной. 2 способ. Найдем угловые миноры матрицы А: > 0; > 0; > 0 Так как все угловые миноры матрицы А положительные, то по критерию Сильвестра квадратичная форма является положительно определенной. Квадратичные формы б) – г) будем исследовать на знакоопределенность с использованием Критерия Сильвестра. б) Матрица А квадратичной формы имеет вид . Найдем угловые миноры матрицы А: < 0; >0; < 0. Так как знаки угловых миноров матрицы А чередуются, начиная с «-», то по критерию Сильвестра квадратичная форма является отрицательно определенной. в) Матрица А квадратичной формы имеет вид Найдем угловые миноры матрицы А:
> 0, < 0. Так как знаки угловых миноров матрицы А чередуются, начиная со знака «+», то по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной. г) Матрица А квадратичной формы имеет вид Найдем угловые миноры матрицы А: >0, Данная квадратичная форма не является знакоопределенной в силу того, что
6. Найти все значения параметра , при которых квадратичная форма является положительно определенной. Решение. Матрица А квадратичной формы имеет вид Найдем угловые миноры матрицы А: >0, > 0, Согласно критерия Сильвестра данная квадратичная форма является положительно определенной, если >0, т.е. >0 > 1. Практическое занятие №15 Линейные модели обмена Цель: рассмотреть применение аппарата линейной алгебры для анализа микроэкономических моделей на примере простой модели обмена и модели международной торговли. Литература [1]/ глава 3, § 3.9. [3]/ глава 16, §16.3. [2]/ глава 5, § 4. [5]/ глава 3, § 3.5. [19]/ глава 3, § 3.6.
Справочный материал Простая модель обмена Пусть имеется система n отраслей производства , каждая из которых выпускает продукцию одного вида. Примем за единицу объем продукции каждой отрасли в рассматриваемом периоде. Обозначим через долю продукции отрасли , которая поступает в отрасль . Будем считать, что обмен продукцией происходит только внутри системы (система замкнута), т.е. (1) Рассмотрим матрицу коэффициентов : где Матрица А со свойством (1), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется матрицей обмена. Требуется установить такие цены на продукцию каждой отрасли, при которых вся система находится в равновесии, т.е. ни одна отрасль не обогащается за счет другой. Пусть - цена одной единицы продукции отрасли , а x - вектор цен. Тогда расход отрасли , т.е. стоимость всей закупаемой ею продукции, определяется как Чтобы отрасль могла развиваться, ее расход не должен превышать дохода, который равен стоимости произведенной ею продукции, т.е. : (2) Если искомые равновесные цены существуют, то система неравенств (2) выполняется для них как система равенств: (3) Если вектор цен х представить в виде матрицы , то систему (3) можно записать в матричной форме (4) Матричное уравнение (4) означает, что собственный вектор матрицы обмена А, отвечающий ее собственному значению , представляет собой искомый вектор равновесных цен. Уравнение (4) можно переписать в виде, позволяющем определить Х: .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 134; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.190.156.212 (0.031 с.) |