Теорема1 (о единственности разложения).

В линейном пространстве разложение любого вектора по данному базису единственно.

Преобразование координат вектора при переходе от базиса к базисую

Пусть в n-мерном пространстве L заданы два базиса:

и .

Разложим векторы базиса В^/ по базису В:

Матрицей перехода от базиса В к базису В^/ называется квадратная матрица T=(t_ij)_n,n, i-тый столбец которой состоит из координат вектора  в базисе В, т.е.

.

Пусть вектор x имеет в базисе В координаты _, а в базисе В^/- координаты _. Связь между старыми координатами вектора x в базисе В и новым его координатами в базисе В^/ выражается следующими формулами:

                   или ^.                                                     (5)

где T-это матрица перехода от базиса В к базису В^/.

Пример 5. В некотором базисе В={ e ₁, e ₂, e ₃ } даны векторы а₁ =(1,1,1), а₂ =(1,1,2), а₃ =(1,2,3). Требуется:

а) доказать, что векторы а₁, а₂, а₃ образуют базис;

б) найти координаты вектора х =6 e₁ +9 e ₂ +14 e ₃ в базисе B^/={ а₁, а₂, а₃ }.

Решение: а) Три вектора а₁, а₂, а₃ образуют базис трехмерного пространства, если они линейно независимы. Составим соответствующее векторное равенство

α₁ а₁ +α₂ а₂ +α₃ а₃ = 0

или

 α₁ +α₂ +α₃ = ,

откуда получим систему .

Решая эту систему методом Гаусса, получим единственное решение α₁=α₂=α₃=0. Следовательно, векторы а_1,а₂,а₃ – линейно независимы и образуют базис пространства R³.

б) Найдем координаты вектора х =6 e₁ +9 e ₂ +14 e ₃ (т.е. х =(6,9,14)_в) в новом базисе В¢={ а₁,а₂,а₃ }, где а₁ =(1,1,1)_в, а₂ =(1,1,2)_в, а₃ =(1,2,3)_в.

Пусть х =()_B’. Тогда связь между координатами вектора х в базисах В и В' выражается формулами (5):

 или ^,

где х =(х_1, х_2, х₃)_В, T – матрица перехода от базиса В к базису В'. Так как известны координаты новых базисных векторов а_1, а_2, а₃ в старом базисе В, то составим из них матрицу перехода T:

.

Находим обратную матрицу T^-1: T^-1= .

Так как х =(6,9,14)_В, то получим

= = .

Таким образом, х =(1,2,3)_В' или х = а₁ +2 а₂ +3 а₃, где В'={ a _1, a _2, a ₃ }_.

Пример 6. Дана матрица  перехода от базиса В={ e ₁, e ₂, e ₃ } к базису . Найти координаты вектора  в базисе В.

Решение. Пусть =(х_1, x_2, x₃)_В и =()_В'. Так как вектор входит в базис В¢, то его разложение в данном базисе имеет вид:

=0 +0 +1 ,

т.е. =(0,0,1)_В'.

Следовательно, по формуле (5) получим

=T = = ,

т.е. в базисе В={ e ₁, e ₂, e ₃ } вектор  имеет координаты (3,4,-5)_В' .

Пример 7. Найти матрицу перехода от базиса В={ e_1, e _2, e ₃ } к базису В’={ e _2, e _3, e₁ }.

Решение. Пусть В'={ , , }, где = e ₂, = e ₃, = e_{1 .}

Найдем координаты новых базисных векторов в старом базисе:

  = e ₂ =0 e ₁ +1 e ₂ +0 e ₃            Þ =(0,1,0)_В,

= e ₃ =0 e ₁ +0 e ₂ +1 e ₃                   Þ =(0,0,1)_В,

= e ₁ =1 e ₁ +0 e ₂ +0 e ₃                    Þ =(1,0,0)_В.

Следовательно, матрица перехода T от базиса В к базису В' имеет вид:

.

 

3.4. Евклидово пространство

В действительном линейном пространстве  определено скалярное произведение, если каждой упорядоченной паре векторов  поставлено в соответствии однозначно определенное действительное число, называемое скалярным произведением этих векторов, обозначаемое  и обладающее следующими свойствами: для любых  и :

1)  (коммутативность сомножителей);

2)  (распределительное свойство);

3) ;

4) , если  и , если .

Действительное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется евклидовым пространством.

Произвольное евклидово пространство часто обозначают буквой  или ; индекс  указывает размерность пространства.

Если в n-мерном арифметическом векторном пространстве  задано скалярное произведение векторов  и   по формуле

(1)

то такое пространство называется n -мерным арифметическим евклидовым пространством и обозначается .

Пример 1. Предприятие выпускает 4 вида продукции Р₁, Р₂, Р₃ и Р₄ в количествах 50, 80, 20, 120 единиц. При этом нормы расхода сырья составляют соответственно 7, 3.5, 10 и 4 кг. Определить суммарный расход сырья и его изменение при изменениях выпуска продукции Р₁, Р₂, Р₃, Р₄ соответственно на +5, -4, -2, +10 единиц.

Решение. Введем следующие векторы: вектор выпуска продукции х =(50,80,20,120) и вектор расхода сырья у =(7,3.5,10,4). Тогда суммарный расход сырья S есть скалярное произведение векторов х и у, вычисляемое по формуле (1), то есть S=(x, y)=50∙7+80∙3.5+20∙10+120∙4=1310 (кг).

Пусть х =(5,-4,-2,10) – вектор изменения выпуска продукции. Найдем изменение суммарного расхода сырья S, используя свойство 2) скалярного произведения векторов:

S=(x + x, y)–(x,y)=(x,y)+( x, y)–(x,y)=( x,y)=5∙7-4∙3.5–2∙10+10∙4=41(кг).

Длиной (нормой) вектора   в евклидовом пространстве  называется квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора:

.

В частности, в пространстве  длина вектора  определяется по формуле

. (2)

 

  Свойства длины вектора

1. Для любого , причем  тогда и только тогда, когда .

2. Для любых   и : .

3. Для любых :  (неравенство треугольника).

Вектор, длина которого равна единице, называется нормированным.

Если  – ненулевой вектор, то вектор  является нормированным.

Пример 2. Нормировать вектор х =(3,2,1,1) пространства Е⁴.

Решение. Найдем длину вектора х по формуле 2:

= = .

Найдем вектор

 (3,2,1,1)=

Вектор х ¢ является нормированным, так как =1.

Теорема 1. Для любых двух векторов   справедливо неравенство Коши-Буняковского

 или                (3)

При этом равенство  имеет место тогда и только тогда, когда векторы   линейно зависимы.

Из равенства Коши-Буняковского (3) следует, что

.     (4)

Углом между ненулевыми векторами  и  евклидова пространства  называется угол , удовлетворяющий условиям:

 и .    (5)

В частности, в пространстве  угол между векторами  и  может быть найден по формуле:

.

Пример 3. Даны векторы е₁, е₂, е₃, образующие ортонормированный           базис. Найти угол между векторами х =5 е₁ + е₃, у= е₁ + е₂ + е₃.

Решение.Пусть В={ e ₁, e ₂, e ₃ }. Тогда х =(5,0,1)_В, у =(1,1,1)_В. Учитывая, что базис В ортонормированный, найдем скалярное произведение векторов х, у и их длины по формулам (6) (теорема 5):

(х,у)=5∙1+0∙1+1∙1=6; ; .

Найдем угол j между векторами х и у по формуле (5):

сosj= = ; j=arccos 47 .

Два вектора  называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, то есть . Обозначение: .