N- мерное векторное пространство

Упорядоченная совокупность n действительных чисел x_1,x₂,…,x_n называется n -мерным арифметическим вектором и обозначается              х =(x_1,…,x_2,x_n), где x_i – i-тая компонента вектора x (i= ).

Два вектора x =(x_1,x_2,...,x_n) и y =(y_1,y_2,…,y_n) называются равными (х = у), если равны их соответствующие компоненты, т.е.

                                             x₁=y₁, x₂=y_2,…,x_n=y_n.

Суммой двух векторов x =(x_1,x_2,…,x_n) и y =(y_1,y_2,…,y_n) называется вектор 

z = x + y =(x₁+y_1, x₂+y_2,…,x_n+y_n).

Произведением вектора x на число α R называется вектор u =α x =(αx_1, αx_2,…,αx_n).

Вектор 0 =(0,0,…,0) называется нулевым, а вектор –x=(-x_1, -x_2,…, -x_n) – противоположным к вектору x =(x_1,x_2,…,x_n).

Введенные операции сложения n-мерных векторов и умножение их на действительное число подчиняются аксиомам линейного пространства.

Множество всех n-мерных арифметических векторов, в котором определены указанные выше операции сложения векторов и умножения вектора на число, называется n -мерным арифметическим векторным пространством и обозначается Rⁿ.

Системой векторов линейного пространства L называется любая конечная последовательность элементов этого пространства.

Пусть задана система векторов

                                      a _1, а_2,…,а_k                                                           (1)

линейного пространства L (а _i ÎL, i= ).

Подсистемами данной системы векторов (1) называются сама эта система и любая система, получаемая из нее путем вычеркивания некоторых элементов.

Линейной комбинацией векторов (1) называется вектор а L, имеющий вид

                  а =α₁ а₁ +α₂ а₂ +…+α_k a _k = α_i a_i,                                         (2)

 где α1, α2,…, α_K– любые действительные числа.

При наличии равенства (2) говорят так же, что вектор а линейно выражается через векторы системы (1) или разлагается по этим векторам.

Пример 2. Найти все значения m, при которых вектор b =(1,m,3) линейно выражается через векторы а₁ =(2,3,7), а₂ =(3,-2,4), а₃ =(-1,1,-1).

Решение. Вектор b линейно выражается через векторы а₁, а₂, а₃, если существуют числа α₁, α₂, α₃ такие, что

b =α₁ а₁ +α₂ а₂ +α₃ а₃

или

α₁ α₂ +α_{3 .}

Перейдя к покомпонентным равенствам, получим систему:

Составим расширенную матрицу системы и преобразуем ее:

 ~  ~  ~ .

Система является совместной, если ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Это возможность только в том случае, когда 1-m=0, т.е. m=1. Следовательно, вектор b является линейной комбинацией векторов а₁, а₂, а₃ при m=1.

Cистема векторов (1) называется линейно зависимой, если существуют такие числа α_1, α_{2, …,} α_K R, не равные нулю одновременно, что

                                α₁ а₁ +α₂ а₂ +_…+α _k а _k = 0                                              (3)

Если система векторов (1) такова, что равенство (3) возможно только при α₁=α₂=…=α_k=0, то это система называется линейно независимой.

Пример 3. Выяснить вопрос о линейной зависимости системы векторов: а₁ =(1,-1,2,1), а₂ =(1,-1,1,2),

а₃ =(1,-1,4,-1).

Решение. Векторы а₁, а₂, а₃ линейно зависимы, если существуют такие числа α₁, α₂, α₃, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что будет выполняться равенство

α₁ а₁ +α₂ а₂ +α₃ а₃ = 0.

В последнее равенство вместо векторов а_1, а_2, а₃, 0 подставим их компоненты и перейдем к компонентным равенствам:

α₁ +α₂ +α₃ = .

Тогда получим систему

Решая последнюю систему методом Гаусса, приводим ее к виду:

Так как ранг системы (r=2) меньше числа неизвестных (n=3), то данная система имеет множество решений, в том числе и не нулевые решения. Следовательно, векторы а₁, а₂, а₃ линейно независимы.