Действия над линейными операторами

Пусть в линейном пространстве  действуют два линейных оператора .

Суммой линейных операторов  называется оператор , действие которого на любой вектор х ÎL задается равенством

  

Сумма линейных операторов является линейным оператором, а матрица суммы линейных операторов (в любом базисе) равна сумме матриц этих операторов, т.е.

Произведением линейного оператора   на число aÎR называется оператор , действие которого на любой вектор х ÎL задается равенством

   

Произведение линейного оператора  на число  является линейным оператором, а матрица произведения этого оператора (в любом базисе) равна произведению матрицы оператора  на число , т.е.

Теорема 2. Множество  всех линейных операторов, действующих в линейном пространстве , с введенными операциями сложения операторов, и умножения оператора на число образует линейное пространство.

Произведением линейных операторов  называется оператор , действие которого на любой вектор х ÎL задается равенством

Произведение линейных операторов  является линейным оператором, а матрица этого оператора (в любом базисе) равна произведению матриц операторов , т.е.

Свойства операции умножения операторов

Для любого числа  и для любых линейных операторов :

1)                   3)

2)                 4)

                                             5)

Определение8. Линейный оператор называется обратным к линейному оператору , если выполняются равенства

где - тождественный оператор.

  Теорема 3.

Для того чтобы существовал обратный оператор к линейному оператору , необходимо и достаточно, чтобы матрица оператора в каком-нибудь базисе была невырожденной (при этом она будет невырожденной в любом другом базисе).

Если - матрица оператора  в базисе , то матрица обратного оператора  в том же базисе равна , т.е. является обратной по отношению к матрице .

 

Решение типовых примеров и задач

1. Выяснить, является ли оператор  линейным, если вектор

Решение. Пусть , а

Тогда , .

По определению операций над векторами:

, .

Найдем образы векторов  и :

;

aj(х).

Так как  и , то оператор  является линейным.

 

2. Найти матрицу линейного оператора , где , в том базисе, в котором даны координаты векторов .

Решение. Выразим связь между координатами вектора образа  и вектора прообраза :

Пусть Х= , , . Тогда в матричной форме последняя система имеет вид

или ,

откуда следует, что матрица оператора  определяется как .

 

3. В пространстве  действует линейный оператор , заданный в базисе  матрицей

Найти координаты образа вектора и координаты прообраза вектора

Решение. а) Найдем координаты образа вектора , используя формулу (1):

б) Найдем координаты прообраза вектора по той же формуле (1):

Решив последнюю систему, получим х₁=0, х₂=0, х₃=1, т.е. .

4. Матрица линейного оператора  в базисе  имеет вид

Найти матрицу  этого оператора в базисе , если

Решение. Воспользуемся формулой (2):

где - матрица перехода от базиса  к базису В^/ (см.пр.зан.№10):

Найдем матрицу , обратную для матрицы (см.пр.зан.№3):

Тогда по формуле (2) получим:

 

5. Пусть оператор  в базисе  имеет матрицу , а оператор  в базисе , где  имеет матрицу . Найти матрицы операторов  и  в базисе .

Решение. По определению

                                       и ,

где  и - матрицы операторов  и  в базисе В¢ соответственно. По условию .

Найдем матрицу А_j оператора  в базисе В¢ по формуле (2):

где - матрица перехода от базиса  к базису В¢.

По условию

.

Следовательно,

.

Тогда

; .

Практическое занятие № 13