Линейные пространства и операторы

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ

Линейное пространство

Множество L элементов любой природы называется линейным или векторным пространством, если выполнены три условия:

1) задано сложение элементов L, т.е. закон, по которому любым элементам а, b L ставится в соответствие элемент c L, называемый суммой элементов a и b и обозначается с = а + b;

2) задано умножение элемента на число, т.е. закон, по которому любому элементу a L и любому числу αÎR ставится в соответствии элемент d L называемый произведением элемента а на (действительное) число α и обозначается d =α а;

3)указанные законы (линейные операции) подчиняются аксиомам линейного пространства.

Базис и размерность. Координаты вектора

Базисом системы векторов (1) называется любая ее подсистема, удовлетворяющая следующим условиям:

1)векторы этой подсистемы линейно независимы;

2)каждый вектор системы (1) линейно выражается через векторы данной подсистемы.

Рангом системы векторов (1) называется число векторов ее базиса.

3амечание1.

1.Базис системы векторов определяется неоднозначно, а число векторов в базисе, т.е. ранг, всегда определяется однозначно.

2.Вычисление ранга системы векторов арифметического пространства сводится к вычислению ранга матрицы составленной из компонент векторов данной системы.

Базисом линейного пространства L называется любая система векторов данного пространства, удовлетворяющая следующим условиям:

1)векторы этой системы линейно независимы;

2)каждый вектор пространства L линейно выражается через векторы данной системы.

Размерностью линейного пространства L называется число векторов его базиса. Обозначение: dim L=n или L_n.

3амечание2. Базис линейного пространства определяется неоднозначно, а число векторов в базисе, т.е. размерность, всегда определяется однозначно.

Пусть В={ e_1,e_2,…_,e _n } – базис пространства L (dim L =n). Тогда по определению 14 любой вектор а L может быть записан в виде

а =α₁ e ₁ +α₂ e ₂ +…+α_n e_n                (4)

Выражение (4) называется разложением вектора а по базису В. Коэффициенты разложения вектора а по базису В, т.е. числа α_1,α_2,…,α_n называются координатами вектора а в базисе В. Обозначение: а =(α_1,α_2,…,α_n)_B.

Линейные операторы

Пусть даны два линейных пространства  и .

Если задан закон (правило) , по которому каждому вектору x пространства  ставится в соответствие единственный вектор   пространства , то говорят, что задан оператор , действующий из  в  и записывают  или : .

Вектор  называется образом вектора   при действии оператора , а сам вектор   - прообразом вектора .

Если пространства  и  совпадают, то оператор  отображает пространство  в себя и иначе называется преобразованием линейного пространства . Именно такие операторы будем рассматривать в дальнейшем.

Оператор , действующий в линейном пространстве , называется линейным, если для любых векторов ,   из  и любого числа выполняются равенства:

1) ;

2) .

Примеры линейных операторов

1. Нуль-оператор  ставит в соответствие каждому вектору х ÎL нулевой вектор 0: .

2. Тождественный или единичный оператор  ставит в соответствие каждому вектору х ÎL этот же вектор: .

3. Оператор подобия  с коэффициентом подобия  ставит в соответствие каждому вектору х ÎL пропорциональный вектор : .

Матрица линейного оператора

Пусть  - базис линейного пространства , в котором действует линейный оператор . Подействуем оператором  на базисные векторы  и разложим образы базисных векторов по тому же базису: 

 

Матрицей линейного оператора φ в базисе В =  называется квадратная матрица n-го порядка , i -тый столбец которой состоит из координат вектора  в базисе , т.е.

.

Пусть ,а . Тогда связь между вектором  и его образом     выражается формулой

                  или                                          (1)

Теорема 1.

Для того чтобы число  было собственным значением линейного оператора , необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем характеристического уравнения (2) этого оператора.

 

Решение.

1.Составим характеристическое уравнение:

После преобразований уравнение примет вид

Решая это уравнение, получим

Корни этого уравнения l₁=l₂=9, l₃=-9 - собственные значения матрицы

2.Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению  Пусть

Тогда получим

 или

Отсюда

Пусть  и - свободные неизвестные, тогда  Найдем фундаментальную систему решений данной однородной системы линейных уравнений:

                                                                 

	1	-2	0
	0	-2	1

 

                                

 

Следовательно, , где числа и  не равны нулю одновременно.

3.Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению . Пусть . Тогда получим

 или .

Отсюда

Решая последнюю систему методом Гаусса, получим:

         .

Пусть - свободное неизвестное, тогда . Найдем фундаментальную систему решений:

 

 

	1	1/2	1

                              

 

Следовательно, , где .

3. Привести к диагональному виду матрицу линейного оператора .

а) ;                        б) .

Решение. а) В примере 1 найдены собственные значения оператора  и его собственные векторы ,  где и  Так как оператор  действует в линейном пространстве размерности 2 и имеет два различных собственных значения, то, отвечающие им собственные векторы и  образуют базис данного пространства, в котором матрица оператора  принимает диагональный вид

.

б) В примере 2 найдены собственные значения оператора  и его собственные векторы  и  где и не равны нулю одновременно, . Линейный оператор  действует в линейном пространстве размерности 3, но имеет два различных собственных значения. Несмотря на то, что , среди собственных векторов, отвечающих данному значению, можно выделить пары линейно независимых векторов (в силу того, что соответствующая фундаментальная система решений содержит два вектора). Следовательно, существует базис из трех собственных векторов, в котором матрица оператора  имеет диагональный вид

.

4. Выяснить, приводится ли к диагональному виду матрица

.

Решение. Аналогично примеру 2 находим, что данная матрица имеет собственные значения  и отвечающие им собственные векторы и , где  и . Матрица  задана в пространстве размерности 3, но имеет два различных собственных значения. При этом все собственные векторы, отвечающие собственному значению , являются линейно зависимыми, так как соответствующая фундаментальная система решений состоит только из одного вектора. Следовательно, для матрицы нельзя выделить базис из трех собственных векторов, поэтому матрица  не может быть приведена к диагональному виду.

Практическое занятие № 14

Квадратичные формы

Цель: научиться приводить квадратичные формы к каноническому виду методом Лагранжа и ортогональным преобразованием, а также изучить различные типы квадратичных форм и критерии их определения.

Литература

[1] / глава 3, § 3.8.                                                           [15] / раздел II, § 2.32.

[4] / раздел А, §§ 8.1 – 8.4.                                             [16] / глава 7, § 7.1.

   [7] / раздел III, глава 3, §4.                                             [17] / глава VI, §§ 1 – 2.

[8] / глава 8.                                                                     [18] / глава V, § 7.

[9] / глава VIII.                                                                  [19] / глава 3, § 3.5.

[12] / тема 3.                                                                    [20] / глава 9, § 9.4.

 

Справочный материал

Теорема 1.

Любую квадратичную форму невырожденным преобразованием  можно привести к эквивалентной ей форме вида

                  .           (4)

Выражение (4) называется каноническим видом квадратичной формы (оно не содержит попарных произведений переменных), а числа   - ее каноническими коэффициентами.

Матрица квадратичной формы , имеющей канонический вид (4), является диагональной матрицей с элементами  на главной диагонали.

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду различными методами.

 

Теорема 2.

Для любой квадратичной формы  существует ортогональное преобразование , приводящее ее к каноническому виду .

При этом  - собственные значения матрицы А, а столбцы матрицы Р – попарно ортогональные нормированные собственные векторы матрицы А.

Теорема 4.

Квадратичная форма  является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения   матрицы A положительны (отрицательны).

Определение8. Квадратичная форма  называется квазизнакоопределенной ( либо неотрицательной, либо неположительной), если она принимает либо только неотрицательные, либо только неположительные значения, но при этом обращается в нуль не только при

Определение9. Квадратичная форма называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Линейные модели обмена

Цель: рассмотреть применение аппарата линейной алгебры для анализа микроэкономических моделей на примере простой модели обмена и модели международной торговли.

Литература

[1]/ глава 3, § 3.9.                                                       [3]/ глава 16, §16.3.

[2]/ глава 5, § 4.                                                          [5]/ глава 3, § 3.5.

                                      [19]/ глава 3, § 3.6.

 

Справочный материал

Простая модель обмена

Пусть имеется система n отраслей производства , каждая из которых выпускает продукцию одного вида. Примем за единицу объем продукции каждой отрасли в рассматриваемом периоде. Обозначим через  долю продукции отрасли , которая поступает в отрасль . Будем считать, что обмен продукцией происходит только внутри системы (система замкнута), т.е.

                                                                                            (1)

Рассмотрим матрицу коэффициентов :

где  

Матрица А со свойством (1), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется матрицей обмена.

Требуется установить такие цены на продукцию каждой отрасли, при которых вся система находится в равновесии, т.е. ни одна отрасль не обогащается за счет другой.

Пусть  - цена одной единицы продукции отрасли , а x - вектор цен. Тогда расход отрасли , т.е. стоимость всей закупаемой ею продукции, определяется как

Чтобы отрасль  могла развиваться, ее расход  не должен превышать дохода, который равен стоимости произведенной ею продукции, т.е. :

                                                                                             (2)

Если искомые равновесные цены существуют, то система неравенств (2) выполняется для них как система равенств:

                                                            (3)

Если вектор цен х представить в виде матрицы , то систему (3) можно записать в матричной форме        

                                                                                                           (4)

Матричное уравнение (4) означает, что собственный вектор матрицы обмена А, отвечающий ее собственному значению , представляет собой искомый вектор равновесных цен.

Уравнение (4) можно переписать в виде, позволяющем определить Х:

.

 

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ

Линейное пространство

Множество L элементов любой природы называется линейным или векторным пространством, если выполнены три условия:

1) задано сложение элементов L, т.е. закон, по которому любым элементам а, b L ставится в соответствие элемент c L, называемый суммой элементов a и b и обозначается с = а + b;

2) задано умножение элемента на число, т.е. закон, по которому любому элементу a L и любому числу αÎR ставится в соответствии элемент d L называемый произведением элемента а на (действительное) число α и обозначается d =α а;

3)указанные законы (линейные операции) подчиняются аксиомам линейного пространства.