Модель международной торговли

Пусть имеется система n стран , бюджет каждой из которых равен соответственно . Обозначим через  долю бюджета , которую страна  тратит на закупку товаров у страны . Будем считать, что весь бюджет расходуется на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран (система замкнута), т.е.

                                                                                  (5)

Рассмотрим матрицу коэффициентов :

где

Матрица А со свойством (5) называется структурной матрицей торговли.

Требуется найти вектор бюджетов стран x , обеспечивающий равновесие всей системы, при котором отсутствует значительный дефицит торгового баланса для каждой из стран - участниц.

Для любой страны  выручка от внешней и внутренней торговли определяется как

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е.

                                                                             (6)

Если искомые бездефицитные бюджеты существуют, то система неравенств (6) выполняется для них как система равенств:

Данную систему можно записать в матричной форме

                        или ,                                       (7)

где . Матричное уравнение (7) означает, что собственный вектор структурной матрицы торговли А, отвечающий ее собственному значению , состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

 

Решение типовых задач

1. Экономическая система состоит из трех отраслей производства, каждая из которых выпускает один вид продукции. Обмен внутри системы происходит в соответствии с данной матрицей обмена

.

Найти вектор равновесных цен.

Решение. Найдем собственный вектор x , отвечающий ее собственному значению , решив уравнение , которое в нашем случае имеет вид

.

В результате получим однородную систему линейных уравнений:

	х1	х2	х3
Х	33	32	28

Решив ее, найдем: , т.е. фундаментальная система решений имеет вид

 

                        .

Следовательно, х . Полагая  находим равновесные цены на продукцию каждой отрасли: , где с можно трактовать как множитель связанный с денежной единицей.

 

2. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид .Найти соотношение бюджетов этих стран для сбалансированной торговли.

  Решение. Найдем собственный вектор x , отвечающий ее собственному значению , решив уравнение , которое в нашем случае имеет вид

.

В результате получим однородную систему линейных уравнений:

Решив ее, найдем: , т.е. фундаментальная система решений имеет вид

	х1	х2	х3
Х	1	2	1

 

.

Следовательно, х . Полученный результат означает, что при  бюджеты стран определяются как  и сбалансированность торговли трех стран достигается при следующем соотношении их бюджетов:

.

 

3. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид . Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной торговли при условии, что сумма бюджетов задана:

Решение. Найдем собственный вектор x , отвечающий собственному значению , решив уравнение , которое в нашем случае имеет вид

.

В результате получим однородную систему линейных уравнений:

Решив данную систему получим, что х

Следовательно, при  соответствующие бюджеты стран определяются как , х₂=146С,

Подставив найденные значения в заданную систему бюджетов, получим

,

откуда с=10.

Окончательно находим искомые величины стран при бездефицитной торговли (в условных денежных единицах):