Свойства ортогональных векторов

1. Для любого : 0 .

2. Если , то х=0.

3. Если  для любого , то .

4. Если , то для любых a, b  R: ax^bу.

5. Если , , то для любых a, b  R: (ax+bу) z.

6. Если , то  (теорема Пифагора).

Базис  евклидова пространства Е называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны, то есть  при .

Теорема 2. Координаты  вектора   в ортогональном базисе  можно вычислить по формуле

, .

Базис  евклидова пространства  (dim Е=n) называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице, то есть

.

Теорема 3. В любом n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

В частности, в пространстве  ортонормированным является базис , состоящий из единичных векторов , у которых -тая компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю, то есть

Теорема 4. Координаты  вектора   в ортонормированном базисе  можно вычислить по формуле

.

Полученные соотношения можно записать в следующем виде:

.

Теорема 5. Пусть  – ортонормированный базис. Если  и , то

                                                                   (6)

.

Пример 4. Проверить, что векторы х =(2,1,1) и у =(1,-1,-1) ортогональны и дополнить их до ортогонального базиса пространства Е³.

Решение. Найдем скалярное произведение векторов х и у по формуле (1):

(х,у)=2∙1+1∙ (-1)+1∙ (-1)=0.

Так как (х,у)=0, то векторы х и у ортогональны.

Пусть В={ e ₁, e ₂, e ₃ } – ортогональный базис пространства Е³. Тогда е₁ = х, е₂ = у, е₃ = z, где z =(z ,z ,z ).

По условию задачи

Решим последнюю систему методом Гаусса:

~ ~ ~ Þn=3, r=2,s=n-r=1.                                                                              

 

z₃ - свободное неизвестное

Общее решение последней системы имеет вид (0,-z₃,z₃). Пусть z₃=1, тогда получим частное решение (0,-1,1).

Следовательно, вектор z =(0,-1,1) дополняет векторы х =(2,1,1) и у =(1,-1,-1) до ортогонального базиса пространства Е³.

 

Линейные операторы

Пусть даны два линейных пространства  и .

Если задан закон (правило) , по которому каждому вектору x пространства  ставится в соответствие единственный вектор   пространства , то говорят, что задан оператор , действующий из  в  и записывают  или : .

Вектор  называется образом вектора   при действии оператора , а сам вектор   - прообразом вектора .

Если пространства  и  совпадают, то оператор  отображает пространство  в себя и иначе называется преобразованием линейного пространства . Именно такие операторы будем рассматривать в дальнейшем.

Оператор , действующий в линейном пространстве , называется линейным, если для любых векторов ,   из  и любого числа выполняются равенства:

1) ;

2) .

Примеры линейных операторов

1. Нуль-оператор  ставит в соответствие каждому вектору х ÎL нулевой вектор 0: .

2. Тождественный или единичный оператор  ставит в соответствие каждому вектору х ÎL этот же вектор: .

3. Оператор подобия  с коэффициентом подобия  ставит в соответствие каждому вектору х ÎL пропорциональный вектор : .

Матрица линейного оператора

Пусть  - базис линейного пространства , в котором действует линейный оператор . Подействуем оператором  на базисные векторы  и разложим образы базисных векторов по тому же базису: 

 

Матрицей линейного оператора φ в базисе В =  называется квадратная матрица n-го порядка , i -тый столбец которой состоит из координат вектора  в базисе , т.е.

.

Пусть ,а . Тогда связь между вектором  и его образом     выражается формулой

                  или                                          (1)