Оптимизация. Критерий оптимальности

Общая постановка задач химико-технологических процессов.

Оптимизация в широком смысле слова находит применение в науке, технике и в любой другой области человеческой деятельности. Понятие об оптимизации возникло давно. Известно, что еще греческими математиками была решена задача об отыскании замкнутой линии заданной длины, ограничивающей максимальную площадь. Это окружность. Подобные задачи впоследствии получили название изопериметрических. Сейчас принято считать, что оптимизация – это целенаправленная деятельность людей, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в 18 вв. были заложены математические основы оптимизации (математический аппарат бесконечно малого, вариационное исчисление, численные методы и т.д.). Однако до второй половины 20 вв. методы оптимизации применялись крайне редко, поскольку практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую реализовать без ЭВМ было очень сложно, а в ряде случаев – невозможно. Особенно большие трудности возникали при решении задач оптимизации процессов в химической технологии. Расчеты процессов и аппаратов химических производств, как правило, связаны с необходимостью выбора лучшего варианта из многих возможных.

Принято считать, что оптимизация – это целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

Задача оптимизации заключается в определении таких параметров системы или условий осуществления того или иного процесса, при которых достигается максимальное или минимальное (по условиям задачи) числен­ное значение некоторой характерной величины, называемой критерием оп­тимизации.

Постановка задачи оптимизации предполагает:

1.Наличие объекта оптимизации и выявление цели оптимизации т.е. формулировки требований, предъявляемых к объекту оптимизации.

При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна содержать необходимое требование установления экстремального значения только одной величины.

«Получить максимальный выход продукции при минимальном расходе сырья» - не­верно, поскольку минимальный расход продукции равен нулю, ни окаком максимальном выходе продукции здесь нельзя говорить. «Получить максимальный выход продукции при заданном расходе сырья» или «для заданного выхода продукции обеспечить минимальный расход сырья» - верно.

В общем случае объектом оптимизации может считаться любой производственный комплекс: аппарат, агрегат, цех, завод, комбинат, отрасль промышленности.

2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми поднимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта. Объект должен обладать определенными степенями свободы – управляющими воздействиями, которые позволяют изменять его состояние в соответствии с теми или иными требованиями.

3. Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку лишь при выполнении этого условия можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.

Оптимальный, или наилучший, вариант работы объекта должен измеряться какой-то количественной мерой – критерием оптимальности.

Критерий оптимальности

 

Критерием оптимальности – или критерием оптимизации, называется количественная оценка анализируемого качества объекта. Критерий оптимизации должен быть математически сформулирован так, чтобы он отражал существенную сторону процесса, обобщающую качество его функционирования.

На основании выбранного критерия оптимальности составляется так называемая целевая функция, или функция выгоды (функция качества, экономический критерий и т.п.), представляющая собой зависимость критерии оптимальности от параметров, влияющих на его значение. Вид критерия оптимальности (или целевой функции) определяется конкретным содержание решаемой задачи оптимизации. В за­дачах проектирования защиты целевой функцией могут быть масса, габа­ритные размеры, стоимость, мощность дозы или другие физические или технические параметры, характеризующие конкретный вариант конструк­ции. В задачах химической технологии критерием оптимальности может служить технологическая характеристика: время пребывания, выход продукта, конечная концентрация, температура и т.д. В результате решения подобных задач определяется оптимальное время пребывания и максимальная концентрация целевого продукта для некоторых типов реакций, устанавливается оптимальный температурный профиль в реакторе вытеснения и т.д.

Например, прохождение химической реакции получения каучука зависит от: скорости подачи основного сырья, его состава, от подачи дополнительных ингредиентов, температуры, скорости перемешивания. Эффективность процесса определяется процентом молекул бутадиола стирола, образовавших молекулы полимера. Численные значения этих факторов, которые могут быть установлены в заданных пределах, определяют режим технологического процесса. Тогда задача оптимизации сводится к поиску такого режима, среди множества возможных, которое обеспечит максимальную степень превращения (получения молекул полимера) при заданных условиях.

При постановке конкретных задач оптимизации технологических оценок критерий оптимальности должен быть записан в виде аналитического выражения.

 

1. Во многих задачах, когда случайное возмущение невозможно математически формализовать (обычно неизвестна ни величина, ни характер их изменения) или они невелики, воздействия случайны возмущений на объект приходится не учитывать. Тогда оптимизируемый процесс рассматривается как детерминированный и возмущающие параметры в его математическое описание не включают.

Критерий оптимальности детерминированного процесса в общем виде может быть представлен как функция входных, выходных и управляющих (оптимизируемых) параметров:

R = R (x₁, x₂, …, x_n; у₁, у₂, …, у_n; u₁, u₂, …, u_n)          (1.6)

или в векторной форме

R = R (X, Y, U)                                           (2.6)

Поскольку параметры Y также являются функцией оптимизируемых параметров U, то для фиксированных значений водных величин Х критерий оптимальности можно рассматривать как функцию управляющих параметров

R = R (U)                                         (3.6)

При этом всякое изменение значений управляющих параметров двояко сказывается на величине критерия оптимальности:

1) прямо, т.е. управляющие параметры непосредственно входят в выражение критерия оптимальности;

2) косвенно – через изменение входных параметров процесса, которые зависят от управляющих.

В задачах оптимизации детерминированных процессов различают простые и сложные критерии оптимальности.

Принято называть критерий оптимальности простым, если требуется определить максимальное или минимальное значение R без заданных условий на какие-либо другие величины.

Такие критерии оптимальности обычно выбираются при постановке частных задач оптимизации в терминах технологических оценок. Например, максимальная концентрация целевого продукта некоторых типов реакций. И, иногда, в общих задачах, если требуется найти производительность или себестоимость целевого продукта без каких-либо условий на величины, определяющие указанные экономические оценки.

Критерий оптимальность называется сложным, если необходимо установить максимальное или минимальное значение R при некоторых условиях, которые накладываются на ряд других величин.

Например, критерий оптимальности в задачах определения максимальной производительность В_{i, max}  по i-му продукту при заданной себестоимости S_i или нахождения минимальной себестоимости S_{i, min} i-го продукта при заданной производительности В_i.

 

К сложным относятся критерии оптимальности, если из аналитические выражения имеют вид:

R=R(u₁, u₂),                                            (4.6)

где u₁, u₂ - оптимизируемые параметры.

 

2. Если случайные возмущения велики и их необходимо учитывать при математическом описании, т.е. оптимизируемый процесс – стохастический, то применяются экспериментально-статистические методы. Они позволяют получить математическую модель стохастических процессов в виде функции

Y_i = φ_i (X, U)                                       (5.6)

Эта модель справедлива только для некоторой локальной области исследуемого пространства функции цели. Такая модель может быть записана в виде уравнения регрессии, при этом управляющие и входные параметры объединены в группу входом и являются факторами:

Y_i = f_i (X)                                          (6.6)

Тогда критерий оптимальности принимает вид:

R = R(X).                                         (7.6)      

Локальное действие математической модели стохастических процессов приводит к необходимости использования специальных поисковых методов оптимизации.

Связь между параметрами (3.6) или (7.6) можно установить в результате предварительно изучения свойств оптимизируемого объекта (детерминированного или стохастического), составления математического описания и получения математической модели в удобном виде. Принципиально можно вместо математической модели использовать сам оптимизируемый объект, на котором опытным путем найти в удобной форме зависимости (3.6) и (7.6).

Процедура оптимизации стохастических процессов принципиально не отличается от таковой для детерминированных процессов. Однако особенность задач оптимизации стохастических процессов состоит в том, что модель (уравнение регрессии) служит лишь основанием поиска оптимума за пределами ее действия.

Различают задачи статической оптимизации для процессов, протекающих в установившихся режимах, которые решают вопросы создания и реализации оптимальной модели процесса, и задачи динамической оптимизации, или задачи создания и реализации системы оптимального управления процесса при неустановившихся режимах эксплуатации, для решения которых требуется изучение динамики процесса (например, пуск процесса или перевод его в одного режима в другой при минимальных отклонениях качества продукции, оптимальное управление периодическим процессом).

Как только определены управляющие параметры, т.е. установлено, чем оптимизировать, в большинстве задач оптимизации сразу возникают ограничения на область изменения этих параметров (переменных).

Примеры возможных ограничений:

В качестве управляющего воздействия - температура внутри реактора. При этом пределы изменения температуры определяются условиями сохранения активности катализатора: в реакторе окисления этилена температура не может превышать 250⁰С, т.к. катализатор спекается и реактор выходит из строя.

По соображениям взрывоопасности соответствующие ограничения могут быть наложены на концентрацию компонентов реакционной смеси: содержание аммиака в воздушно-аммиачных смесях, применяемых в агрегатах получения оксида азота в производстве разбавленной азотной кислоты, ограничивается 10-11%, т.к. содержание аммиака в воздушно-аммиачной смеси более 12% может привести к взрыву.

Управляющим параметром при оптимизации процесса в теплообменных аппаратах может быть объемная скорость теплоносителя (газа или жидкости). Величина этого параметра ограничивается мощностью компрессора - или насоса.

Под ограничениями также понимают некоторые технологические величины, которые в процессе работы аппарата не должны выходить из предписываемых технологических допусков, по экономическим соображениям.

Ограничения на переменные могут задаваться в различной форме: числом, процентным соотношением, уравнением, неравенством.

Главное содержание задач оптимизации заключается в отыскании оптимального (наилучше­го) решения, т.е. решения, обеспечивающего максимум (минимум) некоторого критерия эф­фективности с учетом заданной системы ограничений.

Независимо от вида критерия оптимальности, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) целевой функции или критерия оптимальности R. Возможности использования методов дифференциального и вариационного исчисления для решения некоторых типов таких задач, возникающих в геометрии и физике, были известны с середины 18 в. Они относятся к классическим задачам оптимизации. Существует класс задач оптимизации, которые, как правило, не поддаются решению классическими методами. Это так называемые задачи математического программирования.

Существуют различные подходы к классификации методов поиска экстремума. Но, в основу любой классификации должен быть положен определенный критерий или прин­цип классификации. Для задач математического программирования такой критерий должен быть тесно связан с характером и видом оптимизируемой функций и функций, участвующих в описании ограничений, с характером изменения оптимизируемых переменных x₁, x₂,....х_n. В соответствии с различными критериями классификации мы рассмотрим три типа клас­сификации задач математического программирования:

1.   С точки зрения изменения переменных x₁, x₂,....х_n во времени (или как функции некоторого параметра) различают статические и динамические задачи математического программирования. К статическим относят задачи математического программирования, в которых поведение системы описывается алгебраическими уравнениями. Если же поведение системы, процессов в системе, описывается дифференциальными или разностными уравнениями, то возникает так называемая динамическая задача математического программирования.

В общем виде статическая задача математического программирования формулируется сле­дующим образом: найти экстремальное значение (максимум иди минимум функции z=f(x₁, x₂,....х_n) при наличии условий, которые называются ограничениями, а функция z=f(x₁, x₂,....х_n) - целевой функцией.

.                                      (8.6)

В динамической задаче математического программирования требуется отыскать в п-мерном пространстве траекторию, удовлетворяющую наложенным ограничениями (в том числе и краевым условиям), при движении вдоль которой достигается экстремум функционала Раздел математического программирования, в котором изучаются динамические задачи, на­зываю «динамическим программированием». Однако этот последний термин относится не только к типу задач, но и к методу. Метод же динамического программирования может быть применен не только к динамическим задачам, но и к очень большому кругу других задач.

2. В соответствии с тем, учитываются или не учитываются в системе случайные воздействия, задачи математического программирования делятся на стохастические (отсюда термин «стохастическое программирование») и детерминированные. В ряде случаев неучет вероятностной природа явлений, возникающих в исследуемой системе, может привести к существенным погрешностям в конечных результатах решения задачи математического программирования. Наиболее простой вариант стохастической задачи возникает в том случае, когда
в статической задаче целевая функция f и функции g являются линейными функциями параметров х_i, (задача линейного программирования) со случайными коэффициентами и оптимизация осуществляется по средним (в смысле математического ожидания) значениям х_i.

3. По виду функций, описывающих ограничения и виду целевой функции статические задачи математического программирования делятся на линейные и нелинейные.

В случае, когда целевая функция имеет линейный вид, а ограничения на независимые переменные имеют вид линейных равенств или неравенств, то задача оптимизации в таком случае к задаче линейного программирования. Если вид целевой функции нелинейный или ограничения на независимые переменные имеют нелинейный вид, то мы имеет задачу нелинейного программирования.

Первое решение задач линейного программирования было дано в 1939 г. академиком Л.В.Канторовичем., и было переоткрыто в 1947 г. в США Дж.Данцигом. Разработанный Дж.Данцигом для решения задачи линейного программирования симплекс-метод получил широкое распространение, и применяется не только для решения задачи линейного про­граммирования, и в качестве составной части методов решения ряда нелинейных задач.

Задачи нелинейного программирования представляют собой очень широкий класс. Для не­которых типов задач нелинейного программирования разработаны численные методы ре­шения. Это, прежде всего, классические задачи, которые характеризуются:

-отсутствием ограничений в виде неравенств,

- отсутствием условий неотрицательности и целочисленности переменных,

- непрерывностью и дифференцируемостью (по меньшей мере дважды) функций цели и ограничений.

Среди задач, нелинейного программирования большой интерес представляют задачи, в кото­рых любой локальный экстремум является одновременно глобальным.

При решении задачи оптимизации детерминированных процессов необходимо:

1. Составить математическую модель объекта оптимизации.

Принципиально можно вместо математической модели использовать сам оптимизируемый объект, на котором опытным путем найти в удобной форме зависимости (3.6) и (7.6).

Наличие математической модели процесса, который позволяет на затрагивая по существу сам процесс определить, какое решение нужно принять, чтобы улучшить его режим, являет­ся важным условием при решении задачи оптимизацию

Выбрать критерий оптимальности и сформировать функцию цели (целевая функция может быть как без ограничений, так и с ограничениями на значения отдельных парамет­ров).

Установить возможные ограничения, которые должны накладываться на переменные.

Выбрать метод оптимизации, который позволит найти экстремальные значения иско­мых величин.

Удачно выбранный метод оптимизации должен привести к конечным результатам с наи­меньшими затратами на вычисления или же к получению наибольшего объема информации об искомом решении.

Поэтому большая часть методов решения оптимальных задач основана на предположении, что математическая модель оптимизируемого объекта известна

Пример. Оптимизация реактора идеального вытеснения.

Найти максимально возможный выход изопропана, получаемого изомеризацией бутана, подаваемого с начальной концентрацией 8 моль/л в реактор идеального вытеснения, в котором происходят следующие реакции

с константами скоростей, равными k₁=1.48*10^-4 с^-1, k₂=1.7*10^-4 с^-1 соответственно.

Пользуясь моделью реактора идеального вытеснения и уравнением для скорости последовательной реакции вида A S B по продукту S, зададим расчетную зависимость для C_s(). Критерий оптимальности R=C_s(), поэтому аналитическое выражение функции для случая реактора вытеснения будет:

.                           (9.6)

Для определения  производную  приравниваем нулю, то есть:

                        (10.6)

Решение уравнения (2) имеет вид:

.                                             (11.6)

Если k₂=k₁, то формула (11.6) непригодна для вычислений, так как возникает неопределенность типа  . Значение оптимального времени пребывания можно найти при переходе к пределу, когда k₂ → k₁. Обозначив  , формулу (11.6) перепишем так:

                                                                            (12.6)

Неопределенность типа   следует раскрыть по правилу Лопиталя:

                             (13.6)

Значение максимально возможного выхода продукта S  в изотермическом реакторе идеального вытеснения

                            (14.6)

Подставим в формулу (14.6) заданные в условии значения

Ответ. Значения оптимального времени пребывания и максимальной концентрации целевого продукта S для реактора идеального вытеснения вычисляются, если известны константы скоростей реакции k₁ и k₂ при заданной концентрации исходного вещества  

Максимально возможный выход изопропана при заданных условиях составляет 2,74 моль/л.

Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) целевой функции или критерия оптимальности R. Достижение экстремального значения критерия оптимальности Q обес­печивается надлежащим выбором так называемых оптимизирующих перемен­ных х (параметры системы или режимные условия) или управляющих воз­действий.