Классический метод дифференциального исчисления

 

Если известна функциональная связь целевой функции с искомыми переменными, которая обладает непрерывными первыми частными производными, то, определив частные производные по своим искомым переменным, приравняв частные производны от Y по х нулю и решив совместно систему уравнений.

Существует ряд трудностей при его реализации и ограничения по применению:

1) при большом числе оптимизируемых параметров метод становится весьма сложным в части решения системы уравнений;

2) условие определения экстремума, выраженное системой уравнений, является необходимым, но не достаточными. Так как выражения определяют положение стационарных точек внутри области, среди которых, кроме экстремальных, могут находится особые точки типа «седла», учет достаточных условий нахождения экстремумов функций многих переменных является сложным как в алгоритмическом, так и в вычислительном плане;

3) рассматриваемый метод дает возможность найти экстремум только в том случае, если он лежит внутри, а не на границе области возможных значений переменных, следовательно требуется дополнительный анализ значений функции на границах допустимой области изменения параметров;

4) оптимизируемая функция должна быть непрерывной и иметь первые и вторые производные по оптимизируемым параметрам;

5) необходимо, чтобы оптимизируемые параметры, определяющие значения минимума или максимума функции, были независимы, т.е. не должно быть дополнительных уравнений, связывающих между собой часть параметров.

Метод множителей Лагранжа

 

При решении класса задач, которые могут быть представлены как задачи отыскания экстеремума соответствующего критерия оптимальности при условии, что на независимые переменные наложены определенные ограничения, имеющие вид равенств в классическом анализе разработан и используется метод множителей Лагранжа, сводящий задачу с ограничениями к обычной экстремальной задаче без ограничений.

С помощью этого метода можно определить экстремальные точки функции многих переменных при наличии дополнительных связей между оптимизируемыми параметрами.

Пусть имеется целевая функция, экстремум которой требуется найти, причем существуют дополнительные условия. Введя р дополнительных множителей построим новую функцию.

Необходимые условия состоят в равенстве нулю всех первых частных производных.             

                 (15.6)

В результате получается система уравнений с неизвестными, решение этих уравнений относительно переменных дает возможность определить положение стационарной точки. Использование вспомогательной функции позволяет заменить задачу с дополнительными условиями задачей без них.

Недостатком множителей Лагранжа является введение дополнительных переменных, которые должны быть исключены с помощью дополнительных уравнений. Кроме того, для этого метода сохраняют свою силу недостатки и трудности классического метода дифференциального исчисления.

Принципиальным недостатком метода множителей Лагранжа является невозможность решения с его помощью задач, имеющих ограничения в форме неравенств. Нелинейное программирование как новая математическая дисциплина возникла главным образом в связи с указанной ограниченностью метода множителей Лагранжа.

В качестве примера применения метода множителей Лагранжа в химической технологии рассмотрим пример распределения сырья в реакторе.

Пример. Поток сырья А, поступающего в производство в количестве, распределяется на N параллельно работающих реакторов идеального смешения. В них протекает химическая реакция

                                 (16.6)

скорость которой описывается выражением:

                                             (17.6)

Предполагается, что объемы реакторов могут различаться между собой и, кроме того, по каким-либо причинам, например неодинаковой активности катализатора в аппаратах, разных температурных условиях и т.п., константы скорости реакции в различных реакторах также могут быть неодинаковы.

Для заданного значения требуется найти оптимальный режим распределения сырья по всем реактора, при котором достигается максимальное превращение исходного продукта.

решение

Критерий , характеризующий эффективность работы i-го реактора, в данном случае определяется выражением

                                         (18.6)

где   - нагрузка на i-ый реактор по исходному сырью;

    - концентрация продукта А на выходе i-го реактора.

Следовательно, величина численно равна количеству непрореагировавшего вещества А на выходе аппарата, и критерий оптимальности всей системы параллельно работающих реакторов может быть записан в виде:

                                       (19.6)

Минимальное значение критерия оптимальности (19.6) нужно находить при условии:

                                         (20.6)

Для того чтобы получить систему уравнений (18.6), найдем выражение для производной  . Поскольку, с одной стороны, величина является функцией нагрузки на реактор, в результате дифференцирования выражения (4) по  получим:

                             (21.6)

С другой стороны, концентрацию исходного продукта реакции на выходе i-го реактора можно определить из уравнения материального баланса аппарата по этому компоненту

                        (22.6)

где     - концентрация реагента А в исходном сырое.

Производная может быть найдена из выражения (22.6) как производная  неявной функции, для чего следует продифференцировать это выражение по . В результате получим уравнение

         (23.6)

из которого находим:

                                          (24.6)

Подставляя уравнение (24.6) в соотношение (21.6), получим

                                                (25.6)

 Таким образом найдено, что производная  выражается только через концентрацию исходного продукта реакции на выходе реактора  и стехиометрические характеристики реакции (16.6) и не зависит от остальных параметров реактора. Отсюда с учетом условия (18.6) сразу следует, что при оптимальном распределении потока исходного сырья по всем реакторам концентрации   на выходе всех аппаратов должны быть равны между собой, т.е. должно выполняться условие:

                                                     (26.6)

Из условия (24.6) и материальных балансов реакторов (22.6) теперь может быть получено соотношение:

         (27.6)

откуда

                                (28.6)

Комбинируя выражение (28.6) и условие (20.6), находим формулу

                                (29.6)

при подстановке которой в соотношение (28.6) получим:

                               (30.6)

Выражение (30.6) определяет решение поставленной оптимальной задачи, если известны объемы всех реакторов и значения констант скорости реакции во всех аппаратах. В частном случае, когда объемы всех реакторов равны между собой:

                              (31.6)

и условия реакции во всех аппаратах одинаковы, т.е.

                                (32.6)

формула (18) существенно упрощается:

                                       (33.6)

Выражение (33.6) означает, что при оптимальном распределении нагрузки на все реакторы должны быть одинаковы.

С помощью соотношения (26.6) можно построить систему регулирования, обеспечивающую автоматическое поддержание оптимального распределения нагрузки независимо от условий осуществления реакции в отдельных аппаратах.