Методы оптимизации в химической технологии

Лекция № 6

 

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Оптимизация. Критерий оптимальности

Общая постановка задач химико-технологических процессов.

Оптимизация в широком смысле слова находит применение в науке, технике и в любой другой области человеческой деятельности. Понятие об оптимизации возникло давно. Известно, что еще греческими математиками была решена задача об отыскании замкнутой линии заданной длины, ограничивающей максимальную площадь. Это окружность. Подобные задачи впоследствии получили название изопериметрических. Сейчас принято считать, что оптимизация – это целенаправленная деятельность людей, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в 18 вв. были заложены математические основы оптимизации (математический аппарат бесконечно малого, вариационное исчисление, численные методы и т.д.). Однако до второй половины 20 вв. методы оптимизации применялись крайне редко, поскольку практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую реализовать без ЭВМ было очень сложно, а в ряде случаев – невозможно. Особенно большие трудности возникали при решении задач оптимизации процессов в химической технологии. Расчеты процессов и аппаратов химических производств, как правило, связаны с необходимостью выбора лучшего варианта из многих возможных.

Принято считать, что оптимизация – это целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

Задача оптимизации заключается в определении таких параметров системы или условий осуществления того или иного процесса, при которых достигается максимальное или минимальное (по условиям задачи) числен­ное значение некоторой характерной величины, называемой критерием оп­тимизации.

Постановка задачи оптимизации предполагает:

1.Наличие объекта оптимизации и выявление цели оптимизации т.е. формулировки требований, предъявляемых к объекту оптимизации.

При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна содержать необходимое требование установления экстремального значения только одной величины.

«Получить максимальный выход продукции при минимальном расходе сырья» - не­верно, поскольку минимальный расход продукции равен нулю, ни окаком максимальном выходе продукции здесь нельзя говорить. «Получить максимальный выход продукции при заданном расходе сырья» или «для заданного выхода продукции обеспечить минимальный расход сырья» - верно.

В общем случае объектом оптимизации может считаться любой производственный комплекс: аппарат, агрегат, цех, завод, комбинат, отрасль промышленности.

2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми поднимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта. Объект должен обладать определенными степенями свободы – управляющими воздействиями, которые позволяют изменять его состояние в соответствии с теми или иными требованиями.

3. Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку лишь при выполнении этого условия можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.

Оптимальный, или наилучший, вариант работы объекта должен измеряться какой-то количественной мерой – критерием оптимальности.

Критерий оптимальности

 

Критерием оптимальности – или критерием оптимизации, называется количественная оценка анализируемого качества объекта. Критерий оптимизации должен быть математически сформулирован так, чтобы он отражал существенную сторону процесса, обобщающую качество его функционирования.

На основании выбранного критерия оптимальности составляется так называемая целевая функция, или функция выгоды (функция качества, экономический критерий и т.п.), представляющая собой зависимость критерии оптимальности от параметров, влияющих на его значение. Вид критерия оптимальности (или целевой функции) определяется конкретным содержание решаемой задачи оптимизации. В за­дачах проектирования защиты целевой функцией могут быть масса, габа­ритные размеры, стоимость, мощность дозы или другие физические или технические параметры, характеризующие конкретный вариант конструк­ции. В задачах химической технологии критерием оптимальности может служить технологическая характеристика: время пребывания, выход продукта, конечная концентрация, температура и т.д. В результате решения подобных задач определяется оптимальное время пребывания и максимальная концентрация целевого продукта для некоторых типов реакций, устанавливается оптимальный температурный профиль в реакторе вытеснения и т.д.

Например, прохождение химической реакции получения каучука зависит от: скорости подачи основного сырья, его состава, от подачи дополнительных ингредиентов, температуры, скорости перемешивания. Эффективность процесса определяется процентом молекул бутадиола стирола, образовавших молекулы полимера. Численные значения этих факторов, которые могут быть установлены в заданных пределах, определяют режим технологического процесса. Тогда задача оптимизации сводится к поиску такого режима, среди множества возможных, которое обеспечит максимальную степень превращения (получения молекул полимера) при заданных условиях.

При постановке конкретных задач оптимизации технологических оценок критерий оптимальности должен быть записан в виде аналитического выражения.

 

1. Во многих задачах, когда случайное возмущение невозможно математически формализовать (обычно неизвестна ни величина, ни характер их изменения) или они невелики, воздействия случайны возмущений на объект приходится не учитывать. Тогда оптимизируемый процесс рассматривается как детерминированный и возмущающие параметры в его математическое описание не включают.

Критерий оптимальности детерминированного процесса в общем виде может быть представлен как функция входных, выходных и управляющих (оптимизируемых) параметров:

R = R (x₁, x₂, …, x_n; у₁, у₂, …, у_n; u₁, u₂, …, u_n)          (1.6)

или в векторной форме

R = R (X, Y, U)                                           (2.6)

Поскольку параметры Y также являются функцией оптимизируемых параметров U, то для фиксированных значений водных величин Х критерий оптимальности можно рассматривать как функцию управляющих параметров

R = R (U)                                         (3.6)

При этом всякое изменение значений управляющих параметров двояко сказывается на величине критерия оптимальности:

1) прямо, т.е. управляющие параметры непосредственно входят в выражение критерия оптимальности;

2) косвенно – через изменение входных параметров процесса, которые зависят от управляющих.

В задачах оптимизации детерминированных процессов различают простые и сложные критерии оптимальности.

Принято называть критерий оптимальности простым, если требуется определить максимальное или минимальное значение R без заданных условий на какие-либо другие величины.

Такие критерии оптимальности обычно выбираются при постановке частных задач оптимизации в терминах технологических оценок. Например, максимальная концентрация целевого продукта некоторых типов реакций. И, иногда, в общих задачах, если требуется найти производительность или себестоимость целевого продукта без каких-либо условий на величины, определяющие указанные экономические оценки.

Критерий оптимальность называется сложным, если необходимо установить максимальное или минимальное значение R при некоторых условиях, которые накладываются на ряд других величин.

Например, критерий оптимальности в задачах определения максимальной производительность В_{i, max}  по i-му продукту при заданной себестоимости S_i или нахождения минимальной себестоимости S_{i, min} i-го продукта при заданной производительности В_i.

 

К сложным относятся критерии оптимальности, если из аналитические выражения имеют вид:

R=R(u₁, u₂),                                            (4.6)

где u₁, u₂ - оптимизируемые параметры.

 

2. Если случайные возмущения велики и их необходимо учитывать при математическом описании, т.е. оптимизируемый процесс – стохастический, то применяются экспериментально-статистические методы. Они позволяют получить математическую модель стохастических процессов в виде функции

Y_i = φ_i (X, U)                                       (5.6)

Эта модель справедлива только для некоторой локальной области исследуемого пространства функции цели. Такая модель может быть записана в виде уравнения регрессии, при этом управляющие и входные параметры объединены в группу входом и являются факторами:

Y_i = f_i (X)                                          (6.6)

Тогда критерий оптимальности принимает вид:

R = R(X).                                         (7.6)      

Локальное действие математической модели стохастических процессов приводит к необходимости использования специальных поисковых методов оптимизации.

Связь между параметрами (3.6) или (7.6) можно установить в результате предварительно изучения свойств оптимизируемого объекта (детерминированного или стохастического), составления математического описания и получения математической модели в удобном виде. Принципиально можно вместо математической модели использовать сам оптимизируемый объект, на котором опытным путем найти в удобной форме зависимости (3.6) и (7.6).

Процедура оптимизации стохастических процессов принципиально не отличается от таковой для детерминированных процессов. Однако особенность задач оптимизации стохастических процессов состоит в том, что модель (уравнение регрессии) служит лишь основанием поиска оптимума за пределами ее действия.

Различают задачи статической оптимизации для процессов, протекающих в установившихся режимах, которые решают вопросы создания и реализации оптимальной модели процесса, и задачи динамической оптимизации, или задачи создания и реализации системы оптимального управления процесса при неустановившихся режимах эксплуатации, для решения которых требуется изучение динамики процесса (например, пуск процесса или перевод его в одного режима в другой при минимальных отклонениях качества продукции, оптимальное управление периодическим процессом).

Как только определены управляющие параметры, т.е. установлено, чем оптимизировать, в большинстве задач оптимизации сразу возникают ограничения на область изменения этих параметров (переменных).

Примеры возможных ограничений:

В качестве управляющего воздействия - температура внутри реактора. При этом пределы изменения температуры определяются условиями сохранения активности катализатора: в реакторе окисления этилена температура не может превышать 250⁰С, т.к. катализатор спекается и реактор выходит из строя.

По соображениям взрывоопасности соответствующие ограничения могут быть наложены на концентрацию компонентов реакционной смеси: содержание аммиака в воздушно-аммиачных смесях, применяемых в агрегатах получения оксида азота в производстве разбавленной азотной кислоты, ограничивается 10-11%, т.к. содержание аммиака в воздушно-аммиачной смеси более 12% может привести к взрыву.

Управляющим параметром при оптимизации процесса в теплообменных аппаратах может быть объемная скорость теплоносителя (газа или жидкости). Величина этого параметра ограничивается мощностью компрессора - или насоса.

Под ограничениями также понимают некоторые технологические величины, которые в процессе работы аппарата не должны выходить из предписываемых технологических допусков, по экономическим соображениям.

Ограничения на переменные могут задаваться в различной форме: числом, процентным соотношением, уравнением, неравенством.

Главное содержание задач оптимизации заключается в отыскании оптимального (наилучше­го) решения, т.е. решения, обеспечивающего максимум (минимум) некоторого критерия эф­фективности с учетом заданной системы ограничений.

Независимо от вида критерия оптимальности, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) целевой функции или критерия оптимальности R. Возможности использования методов дифференциального и вариационного исчисления для решения некоторых типов таких задач, возникающих в геометрии и физике, были известны с середины 18 в. Они относятся к классическим задачам оптимизации. Существует класс задач оптимизации, которые, как правило, не поддаются решению классическими методами. Это так называемые задачи математического программирования.

Существуют различные подходы к классификации методов поиска экстремума. Но, в основу любой классификации должен быть положен определенный критерий или прин­цип классификации. Для задач математического программирования такой критерий должен быть тесно связан с характером и видом оптимизируемой функций и функций, участвующих в описании ограничений, с характером изменения оптимизируемых переменных x₁, x₂,....х_n. В соответствии с различными критериями классификации мы рассмотрим три типа клас­сификации задач математического программирования:

1.   С точки зрения изменения переменных x₁, x₂,....х_n во времени (или как функции некоторого параметра) различают статические и динамические задачи математического программирования. К статическим относят задачи математического программирования, в которых поведение системы описывается алгебраическими уравнениями. Если же поведение системы, процессов в системе, описывается дифференциальными или разностными уравнениями, то возникает так называемая динамическая задача математического программирования.

В общем виде статическая задача математического программирования формулируется сле­дующим образом: найти экстремальное значение (максимум иди минимум функции z=f(x₁, x₂,....х_n) при наличии условий, которые называются ограничениями, а функция z=f(x₁, x₂,....х_n) - целевой функцией.

.                                      (8.6)

В динамической задаче математического программирования требуется отыскать в п-мерном пространстве траекторию, удовлетворяющую наложенным ограничениями (в том числе и краевым условиям), при движении вдоль которой достигается экстремум функционала Раздел математического программирования, в котором изучаются динамические задачи, на­зываю «динамическим программированием». Однако этот последний термин относится не только к типу задач, но и к методу. Метод же динамического программирования может быть применен не только к динамическим задачам, но и к очень большому кругу других задач.

2. В соответствии с тем, учитываются или не учитываются в системе случайные воздействия, задачи математического программирования делятся на стохастические (отсюда термин «стохастическое программирование») и детерминированные. В ряде случаев неучет вероятностной природа явлений, возникающих в исследуемой системе, может привести к существенным погрешностям в конечных результатах решения задачи математического программирования. Наиболее простой вариант стохастической задачи возникает в том случае, когда
в статической задаче целевая функция f и функции g являются линейными функциями параметров х_i, (задача линейного программирования) со случайными коэффициентами и оптимизация осуществляется по средним (в смысле математического ожидания) значениям х_i.

3. По виду функций, описывающих ограничения и виду целевой функции статические задачи математического программирования делятся на линейные и нелинейные.

В случае, когда целевая функция имеет линейный вид, а ограничения на независимые переменные имеют вид линейных равенств или неравенств, то задача оптимизации в таком случае к задаче линейного программирования. Если вид целевой функции нелинейный или ограничения на независимые переменные имеют нелинейный вид, то мы имеет задачу нелинейного программирования.

Первое решение задач линейного программирования было дано в 1939 г. академиком Л.В.Канторовичем., и было переоткрыто в 1947 г. в США Дж.Данцигом. Разработанный Дж.Данцигом для решения задачи линейного программирования симплекс-метод получил широкое распространение, и применяется не только для решения задачи линейного про­граммирования, и в качестве составной части методов решения ряда нелинейных задач.

Задачи нелинейного программирования представляют собой очень широкий класс. Для не­которых типов задач нелинейного программирования разработаны численные методы ре­шения. Это, прежде всего, классические задачи, которые характеризуются:

-отсутствием ограничений в виде неравенств,

- отсутствием условий неотрицательности и целочисленности переменных,

- непрерывностью и дифференцируемостью (по меньшей мере дважды) функций цели и ограничений.

Среди задач, нелинейного программирования большой интерес представляют задачи, в кото­рых любой локальный экстремум является одновременно глобальным.

При решении задачи оптимизации детерминированных процессов необходимо:

1. Составить математическую модель объекта оптимизации.

Принципиально можно вместо математической модели использовать сам оптимизируемый объект, на котором опытным путем найти в удобной форме зависимости (3.6) и (7.6).

Наличие математической модели процесса, который позволяет на затрагивая по существу сам процесс определить, какое решение нужно принять, чтобы улучшить его режим, являет­ся важным условием при решении задачи оптимизацию

Выбрать критерий оптимальности и сформировать функцию цели (целевая функция может быть как без ограничений, так и с ограничениями на значения отдельных парамет­ров).

Установить возможные ограничения, которые должны накладываться на переменные.

Выбрать метод оптимизации, который позволит найти экстремальные значения иско­мых величин.

Удачно выбранный метод оптимизации должен привести к конечным результатам с наи­меньшими затратами на вычисления или же к получению наибольшего объема информации об искомом решении.

Поэтому большая часть методов решения оптимальных задач основана на предположении, что математическая модель оптимизируемого объекта известна

Пример. Оптимизация реактора идеального вытеснения.

Найти максимально возможный выход изопропана, получаемого изомеризацией бутана, подаваемого с начальной концентрацией 8 моль/л в реактор идеального вытеснения, в котором происходят следующие реакции

с константами скоростей, равными k₁=1.48*10^-4 с^-1, k₂=1.7*10^-4 с^-1 соответственно.

Пользуясь моделью реактора идеального вытеснения и уравнением для скорости последовательной реакции вида A S B по продукту S, зададим расчетную зависимость для C_s(). Критерий оптимальности R=C_s(), поэтому аналитическое выражение функции для случая реактора вытеснения будет:

.                           (9.6)

Для определения  производную  приравниваем нулю, то есть:

                        (10.6)

Решение уравнения (2) имеет вид:

.                                             (11.6)

Если k₂=k₁, то формула (11.6) непригодна для вычислений, так как возникает неопределенность типа  . Значение оптимального времени пребывания можно найти при переходе к пределу, когда k₂ → k₁. Обозначив  , формулу (11.6) перепишем так:

                                                                            (12.6)

Неопределенность типа   следует раскрыть по правилу Лопиталя:

                             (13.6)

Значение максимально возможного выхода продукта S  в изотермическом реакторе идеального вытеснения

                            (14.6)

Подставим в формулу (14.6) заданные в условии значения

Ответ. Значения оптимального времени пребывания и максимальной концентрации целевого продукта S для реактора идеального вытеснения вычисляются, если известны константы скоростей реакции k₁ и k₂ при заданной концентрации исходного вещества  

Максимально возможный выход изопропана при заданных условиях составляет 2,74 моль/л.

Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) целевой функции или критерия оптимальности R. Достижение экстремального значения критерия оптимальности Q обес­печивается надлежащим выбором так называемых оптимизирующих перемен­ных х (параметры системы или режимные условия) или управляющих воз­действий.

 

Классические методы

 

Метод прямого перебора

 

Если известна функциональная связь целевой функции Y и искомой переменной Х, то можно последовательно вычислить значения целевой функции для некоторых значений искомой переменной. Вычисления повторяются до тех пор, пока не будет найден min или max значения целевой функции.

Этот метод может быть использован для решения задач исследования операций, если имеются одна искомая переменная или несколько с небольшим диапазоном изменения искомых переменных.

Особенность и преимущества метода прямого перебора заключаются:

1) в независимость поиска от вида и характера целевой функции;

2) в цикличности поисковой процедуры;

3) в определении глобального экстремума целевой функции;

4) в простоте алгоритма и программы оптимизации;

5) в малом объеме машинной памяти.

Главным недостатком метода является продолжительное время работы. В случае искомой переменной и наличии более чем одного экстремума исследуемой функции использование этого метода неэффективно.

 

Метод множителей Лагранжа

 

При решении класса задач, которые могут быть представлены как задачи отыскания экстеремума соответствующего критерия оптимальности при условии, что на независимые переменные наложены определенные ограничения, имеющие вид равенств в классическом анализе разработан и используется метод множителей Лагранжа, сводящий задачу с ограничениями к обычной экстремальной задаче без ограничений.

С помощью этого метода можно определить экстремальные точки функции многих переменных при наличии дополнительных связей между оптимизируемыми параметрами.

Пусть имеется целевая функция, экстремум которой требуется найти, причем существуют дополнительные условия. Введя р дополнительных множителей построим новую функцию.

Необходимые условия состоят в равенстве нулю всех первых частных производных.             

                 (15.6)

В результате получается система уравнений с неизвестными, решение этих уравнений относительно переменных дает возможность определить положение стационарной точки. Использование вспомогательной функции позволяет заменить задачу с дополнительными условиями задачей без них.

Недостатком множителей Лагранжа является введение дополнительных переменных, которые должны быть исключены с помощью дополнительных уравнений. Кроме того, для этого метода сохраняют свою силу недостатки и трудности классического метода дифференциального исчисления.

Принципиальным недостатком метода множителей Лагранжа является невозможность решения с его помощью задач, имеющих ограничения в форме неравенств. Нелинейное программирование как новая математическая дисциплина возникла главным образом в связи с указанной ограниченностью метода множителей Лагранжа.

В качестве примера применения метода множителей Лагранжа в химической технологии рассмотрим пример распределения сырья в реакторе.

Пример. Поток сырья А, поступающего в производство в количестве, распределяется на N параллельно работающих реакторов идеального смешения. В них протекает химическая реакция

                                 (16.6)

скорость которой описывается выражением:

                                             (17.6)

Предполагается, что объемы реакторов могут различаться между собой и, кроме того, по каким-либо причинам, например неодинаковой активности катализатора в аппаратах, разных температурных условиях и т.п., константы скорости реакции в различных реакторах также могут быть неодинаковы.

Для заданного значения требуется найти оптимальный режим распределения сырья по всем реактора, при котором достигается максимальное превращение исходного продукта.

решение

Критерий , характеризующий эффективность работы i-го реактора, в данном случае определяется выражением

                                         (18.6)

где   - нагрузка на i-ый реактор по исходному сырью;

    - концентрация продукта А на выходе i-го реактора.

Следовательно, величина численно равна количеству непрореагировавшего вещества А на выходе аппарата, и критерий оптимальности всей системы параллельно работающих реакторов может быть записан в виде:

                                       (19.6)

Минимальное значение критерия оптимальности (19.6) нужно находить при условии:

                                         (20.6)

Для того чтобы получить систему уравнений (18.6), найдем выражение для производной  . Поскольку, с одной стороны, величина является функцией нагрузки на реактор, в результате дифференцирования выражения (4) по  получим:

                             (21.6)

С другой стороны, концентрацию исходного продукта реакции на выходе i-го реактора можно определить из уравнения материального баланса аппарата по этому компоненту

                        (22.6)

где     - концентрация реагента А в исходном сырое.

Производная может быть найдена из выражения (22.6) как производная  неявной функции, для чего следует продифференцировать это выражение по . В результате получим уравнение

         (23.6)

из которого находим:

                                          (24.6)

Подставляя уравнение (24.6) в соотношение (21.6), получим

                                                (25.6)

 Таким образом найдено, что производная  выражается только через концентрацию исходного продукта реакции на выходе реактора  и стехиометрические характеристики реакции (16.6) и не зависит от остальных параметров реактора. Отсюда с учетом условия (18.6) сразу следует, что при оптимальном распределении потока исходного сырья по всем реакторам концентрации   на выходе всех аппаратов должны быть равны между собой, т.е. должно выполняться условие:

                                                     (26.6)

Из условия (24.6) и материальных балансов реакторов (22.6) теперь может быть получено соотношение:

         (27.6)

откуда

                                (28.6)

Комбинируя выражение (28.6) и условие (20.6), находим формулу

                                (29.6)

при подстановке которой в соотношение (28.6) получим:

                               (30.6)

Выражение (30.6) определяет решение поставленной оптимальной задачи, если известны объемы всех реакторов и значения констант скорости реакции во всех аппаратах. В частном случае, когда объемы всех реакторов равны между собой:

                              (31.6)

и условия реакции во всех аппаратах одинаковы, т.е.

                                (32.6)

формула (18) существенно упрощается:

                                       (33.6)

Выражение (33.6) означает, что при оптимальном распределении нагрузки на все реакторы должны быть одинаковы.

С помощью соотношения (26.6) можно построить систему регулирования, обеспечивающую автоматическое поддержание оптимального распределения нагрузки независимо от условий осуществления реакции в отдельных аппаратах.

 

Метод Фибоначчи

 

Как ни эффективен метод дихотомии, существует еще более совершенный. В методе Фибоначчи точка деления интервала исследования определяется с каждым новым расчетом (в методе дихотомии необходимо на каждом шаге выполнять два расчета). В интервал исследования попадает предыдущий расчет, и для продолжения поиска достаточно лишь произвести расчет симметрично имеющемуся.

 Пусть задано число расчетов (шагов) N. необходимо их так произвести, чтобы интервал, в котором лежит оптимум, был минимальным. Для этих целей наиболее подходят числа Фибоначчи (1; 2; 3; 5; 8; 13; 21) .

Алгоритм поиска, использующий числа Фибоначчи (поиск минимума):

1. По заданной точности Δ, с которой необходимо найти положение экстремума функции R(x) в интервале [a,b], рассчитывается вспомогательное число N:

         .                                 (38.6)

2. Для получения значения N находится такое число Фибоначчи F_s, чтобы выполнялось неравенство:

     .                              (39.6)

Рисунок 1.6. Метод чисел Фиюоначчи.

 

3. Определяется минимальный шаг поиска по формуле:

                                 .                                     (40.6)

4. Рассчитывается значение функции R(x) в начале интервала, т.е. R(a).

5. Следующая точка, в которой вычисляется значение R(x), находится по формуле:                      

                                               (41.6)

6. Если этот шаг оказался удачным, т.е.R(x⁽¹⁾)< R(a), то следующая точка определяется как

.                                          (42.6)

При R(x⁽¹⁾)> R(a), (шаг неудачный),

                                      (43.6)

7. Последующие шаги выполняются с уменьшающейся величиной шага, которая для i-го шага будет равна

                                  (44.6)

Указанный процесс продолжается до тех пор, пока не будут исчерпаны все числа Фибоначчи в убывающей последовательности:F_s-1-2=F_s-i - F_s-i-1.

Если сравнивать результаты расчета, полученные с помощью методов дихотомии и Фибоначчи, то легко заметить, что для поиска оптимума в методе дихотомии потребовалось выполнить число итераций N-13 с двойным счетом, а при использовании метода Фибоначчи - только с N=21 с одинарным на каждой итерации.

Метод золотого сечения

 

Метод Фибоначчи требует дополнительных расчетов, так как заранее неизвестно число предполагаемых вычислений. Однако существует еще один метод, который совершенно не зависит от числа готовящихся вычислений и почти столь же эффективен, как метод Фибоначчи. Правило - каждый раз ставить точку расчета симметрично на расстоянии, равном от концов интервала исследования.

Деление интервала на неравные части позволяет найти еще более эффективный метод. Вычислим функцию на концах отрезка [ a, b ] и положим a = x ₁, b = x ₂. Вычислим также функцию в двух внутренних точках x ₃, x ₄. Сравним все четыре значения функции и выберем среди них наименьшее. Пусть, например, наименьшим оказалось f (x₃). Очевидно, минимум находиться в одном из прилегающих к нему отрезков. Поэтому отрезок [ x ₄, b ] можно отбросить и оставить отрезок [a, x ₄].

Рисунок 2.6. Метод золотого сечения.

 

На отрезке [a, x ₄] снова надо выбрать две внутренние точки, вычислив в них и на концах значения функции и сделать следующий шаг. Но на предыдущем шаге вычислений мы уже нашли функцию на концах нового отрезка [a, x ₄] и в одной его внутренней точке x ₄. Потому достаточно выбрать внутри [a, x ₄] еще одну точку x₅ определить в ней значение функции и провести необходимые сравнения. Это вчетверо уменьшает объем вычислений на одном шаге процесса.

Каждый раз оставшийся отрезок делиться на три части и затем отбрасывается один из крайних отрезков.

Обозначим первоначальный интервал неопределенности через D.

 

Рисунок 3.6. Определение «золотого сечения».

 

Так как в общем случае может быть отброшен любой из отрезков Х₁,Х₃ или Х₄,Х₂ то выберем точки Х₃ и Х₄ так, чтобы длины этих отрезков были одинаковы:

x₃-x₁=x₄-x₂.                                               (45.6)

После отбрасывания получится новый интервал неопределенности длины D′. Обозначим отношение     буквой φ:

.                                   (46.6)

Далее продолжим процесс аналогично. Для этого интервал D′ разделим подобно интервалу D, то есть положим

 ,                                         (47.6)

где