Модуль 2. Экономико-математическое моделирование в менеджменте

Лекция № 4. Математические методы и основные классы задач оптимизации

4.1 Вид оптимизационной задачи

4.2 Математическая постановка задач оптимизации и ее интерпретация

4.3 Условия сведения экономической задачи к задаче оптимизации

4.4 Классы задач математического программирования

 

Основная проблема менеджмента – это проблема выбора, как лучше использовать ограниченные ресурсы для получе­ния наибольшей возможной прибыли:

что производить;

как производить;

для кого производить.

Выбор предполагает решения менеджера, предприни­мателя и маркетолога, дающие ответы на все эти вопросы. Напомним, что выбор ведется в условиях неограниченных потребностей на товары и ограниченных ресурсов на их со­здание.

При выборе «что производить» учитывается наличие не­обходимых факторов производства. При выборе «как про­изводить» учитываются технические и технологические воз­можности предприятия.

При выборе «для кого производить» учитываются запро­сы рынка.

Основная проблема бизнеса требует оптимального ре­шения, т. е. максимизации какого-либо одного показате­ля (обычно это прибыль) при наложении ограничений на остальные (как правило, это ресурсы). Решение основной проблемы бизнеса предполагает экономический рост, за­нятость населения и полноту использования ресурсов. Под экономическим ростом понимается увеличение объема про­дукции (с учетом качества) на душу населения.

Решение основной проблемы бизнеса связано с опреде­ленными издержками (расходами, затратами). Причем оптимальное решение отнюдь не предполагает, как иногда думают, одновременную минимизацию этих затрат («макси­мум надоев при минимуме кормов»). Речь идет о получении оптимальной прибыли при данном уровне затрат либо дан­ной прибыли при минимальных затратах.

Каким же образом ищут и находят решение основной про­блемы менеджмента?

Вид оптимизационной задачи

 

Для нахождения оптимальных решений хорошо структуризованных проблем имеется обширный и глубоко разработанный математический аппарат.

Пусть f (x) – функция, определённая на множестве V, а Ω - некоторое подмножество множества V.

Оптимизационная задача задается тройкой (V, F, Ω). При этом функция f (x) называется целевой функцией, а Ω – допустимым множеством (множеством допустимых значений) оптимизационной задачи.

Оптимизационные задачи бывают двух типов: задачи минимизации и задачи максимизации. Задача минимизации (максимизации) (V, F, Ω) состоит в отыскивании наименьшего (наибольшего) значения целевой функции f (x) на допустимом множестве Ω.

Для того, чтобы решить задачу минимизации (максимизации) (V, F, Ω), достаточно найти её оптимальное решение, т.е. указать x ₀ Î Ω такое, что f (x ₀) £ f (x ₁ …, x_n)= f (x) (или f (x ₀) ³ f (x)) при любом x Î Ω.

Оптимизационная задача называется неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача минимизации (максимизации) (V, F, Ω) будет неразрешимой, если целевая функция f (x) не ограничена снизу (сверху) на допустимом множестве Ω.

Решить оптимизационную задачу – значит либо найти её оптимальное решение, либо установить неразрешимость этой задачи.

Любая задача максимизации (V, F, Ω) сводится к задаче минимизации (V, - F, Ω): эти задачи либо обе неразрешимы, либо имеют одно и тоже оптимальное решение.

Две задачи минимизации (максимизации) называются эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество допустимых решений. На любом допустимом решении значения целевых функций этих задач совпадают. Эквивалентные оптимизационные задачи либо обе неразрешимы, либо имеют одно и тоже оптимальное решение.

Методы решения оптимизационных задач, в которых целевая функция является функцией n переменных, часто называют методами математического программирования. Термин «программирование» в данном случае обусловлен тем, что в задачах имеется некоторая программа действий, это не программирование на ЭВМ. В зависимости от вида целевой функции, которая может быть линейной или нелинейной, в математическом программировании выделяют основные разделы:

- линейное программирование;

- нелинейное (выпуклое программирование).