Статически определимые стержневые системы

   Выше определялись перемещения и напряжения в прямом брусе (стержне) при растяже­нии, кручении и изгибе. Рассмотрим общий случай нагружения бруса, когда в поперечных сечениях могут возникать все силовые факторы одно­временно. Будем считать, что брус может быть не только прямым, но и состоять из прямых участков, образующих плоскую или пространственную систему, а также может иметь участки малой кривизны.

Под стержнем (брусом) малой кривизны понимается брус, радиус кривизны которого во много (как минимум в 5) раз превышает высоту поперечного сечения. Напряжения в поперечных сечениях бруса согласно принципу суперпозиции нагрузок могут быть найдены по известным формулам от различных силовых факторов и сложены с учетом их направлений.

   Классификация стержневых систем. Стержневые системы делятся на фермы и рамы. Фермы, конструкции, где стержни соединены между собой шарнирно и нагружены в узлах, в таких стержневых системах возникают только деформации растяжения (сжатия). Стержневые конструкции, где отдельные стержни соединены между собой жестко и в них возникают все виды деформаций, называются рамами. Фермы и рамы могут быть как плоскими так и пространственными.

Определение перемещений в общем случае нагружения бруса необходимо для выясне­ния величины самих перемещений и оценки жесткости конструкции. На основе определения перемещений создаются общие методы опре­деления внутренних силовых факторов в статически неопределимых системах. Определение перемещений необходимо также при исследовании вопросов коле­баний упругих систем.

  Рассмотренное выше дифференциальное уравнение неприменимо для стержней с криволинейной осью и для рам.

Наиболее просто находятся перемещения на основе общего выражения потенциальной энергии нагруженного бруса. Определению потенциальной энергии предшествует анализ внут­ренних силовых факторов, возникающих в брусе. Этот анализ производится методом сечений и завер­шается построением эпюр изгибающих и крутящих моментов, а в тех случаях, когда это необходимо — построением эпюр нормаль­ных и поперечных сил. Для пространственного бруса осевая линия вычерчивается обычно в пер­спективе и эпюры изгибающих моментов изображаются в соответствующих плоскостях.

В каждом из поперечных сечений в общем случае нагружения возникает шесть силовых факторов: три момента -  и три силы - . Каждому из шести силовых факторов соответствуют такие пе­ремещения, на которых остальные работы не совер­шает и потенциальная энергия деформации  при произвольном нагружении бруса может бытьопределена как сумма шести слагаемых –

, где:  - длина  - го участка бруса; коэффициенты   и   представляют собой безразмерные вели­чины, зависящие от геометрической формы сечения. Интегралы от силовых факторов вычисляются для каждого из  участков стержня и затем суммируются.

   Теорема Кастильяно связывает перемещения в произвольной упруго-линейной системе с потенциальной энергией деформации: , где  - обобщенное перемещение;  - обобщенная сила. Под обобщенной нагрузкой понимается либо сосредоточенная сила, либо сосредоточенный момент. Обобщенной нагрузке соответствуют обобщенные перемещения:сосредоточенной силе соответствует линейное перемещение; моменту соответствует угол поворота сечения.  

Теорема о взаимности работ, подобно теореме Кастилиано, отно­сится к числу общих теорем сопротивления материалов. Она применима ко всем си­стемам, для которых соблюдается независимости действия сил.

Рассмотрим упругое тело, к кото­рому приложены сила    в точке   и сила   в точке . Работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работе второй силы на перемещении точки ее приложения под дей­ствием первой силы. В этом и заключается тео­рема взаимности работ.

Иногда в теорему взаимности работ вкладывают более узкое содержание, трактуя ее как теорему взаимности перемещении: перемещение точки    под действием силы, приложенной в точ­ке , равно перемещению точки  под действием той же силы, но приложенной в точке .

Метод Мора (интеграл Мора) основывается на теореме Кастильяно, но более удобен в практических расчетах и потому получил широкое распространение. По методу Мора рассматриваются два состояния стержневой системы (балки, рамы):грузовое и единичное.

Грузовое состояние обусловлено действием на систему заданной внешней нагрузки, возникающие при этом силовые факторы и их эпюры, называются грузовыми.

Единичное состояние обусловлено действием на систему единичной обобщенной нагрузки приложенной по направлению искомого перемещения, возникающие при этом силовые факторы и их эпюры, называются единичными.

Перемещение по методу Мора дается выражением

где черточкой сверху обозначены выражения силовых факторов единичного состояния.

   Если элементы стержневой системы испытывают деформации изгиба и кручении тогда слагаемыми, связанными с  можно пренебречь в силу их малости по сравнения с первыми тремя. Так в случае прямого плоского изгиба интеграл Мора запишется в виде: , здесь - обобщенное перемещение соответствующее приложенной единичной обобщенной нагрузке,  выражение грузового изгибающего момента на i - том участке  выражениеединичного изгибающего момента на i - том участке.

При определении перемещений в фермах, где в стержнях возникают только нормальные силы интеграл Мора запишется в виде: , где ,   нормальные силы грузового и единичного состояния  в i - том стержне.

В инженерной практике широко используется графический способ вычисления интеграла Мора - способ Верещагина. Формула Верещагина в виде: , где - площадь i - го участка грузовой эпюры,  ордината эпюры единичной эпюры взятая под центром тяжести участка грузовой эпюры. Знак «+» перед слагаемым в формуле ставится в случае когда и единичная и грузовая эпюры моментов построены на одноименных волокнах, знак «-» в противном случае.

Способ Верещагина применим только для стержней с прямолинейными участками (для балок и рам) и при условии, что эпюра единичного изгибающего момента кусочно-линейна.

Для вычисления интеграла Мора рационально использовать формулу Симпсона-Корнаухова:  где:  - длина i - го участка;  - значения единичных и грузовых моментов на левой и правой границе и посередине i – го участка соответственно.

Формула Симпсона-Корнаухова справедлива, только если грузовая эпюра линейна, либо парабола не выше 2-ой степени.

Во всех энергетических методах знак результата означает: знак «+», что искомое перемещение совпадает по направлению с приложенной единичной нагрузкой; знак «-», что искомое перемещение противоположно по направлению приложенной единичной нагрузке.

Если требуется определить взаимное (относительное) смещение одного сечения стержневой системы относительно другого, то единичную нагрузку необходимо приложить к обоим сечениям в противоположных направлениях.

   Отметим, что перемещения, определенные с помощью дифференциального уравнения изогнутой оси и с помощью энергетического метода получаются одинаковыми по абсолютной величине.