Геометрические характеристики плоских сечений.

 

Одним из основных объектов изучения сопротивления материалов является стержень. Главными атрибутами стержня являются его ось и поперечное (перпендикулярное оси) сечение.

Для нахождения оси стержня необходимо определить положения центров тяжести поперечных сечений стержня.

Для расчетов прочности и жесткости стержня необходимо определить положение главных центральных осей инерции стержня и геометрические характеристики поперечного сечения как плоской фигуры.

Статическим моментом площади сечения (плоской фигуры) относительно оси (произвольной расположенной в плоскости фигуры) называется интеграл вида:   где:  – площадь произвольной элементарной площадки;   - расстояние от этой площадки до оси, знак  под интегралом означает, что интеграл берется по всей площади рассматриваемого сечения (фигуры).

Обычно сечение рассматривается в некоторой системе координат ZY (в дальнейших выкладках система координат всегда правая, то есть ось Z вправо ось Y вверх), тогда статические моменты сечения относительно этих осеймогут быть выражены как: ; , где   и  – координаты произвольной элементарной площадки. Размерность статического момента – единица длины в кубе, например - мм³.

По определению статический момент площади обладает свойством аддитивности, то есть если сечение состоит из нескольких фигур, то статический момент всего сечения относительно любой оси может быть найден как   где  - статический момент   - ой фигуры сечения.

Центром тяжести сечения (фигуры) называется точка, обладающая следующим свойством: статический момент фигуры относительно любой оси проведенной через центр тяжести равен нулю. Центральными осями сечения называются оси, проходящие через его центр тяжести. Любое сечение имеет бесконечное множество центральных осей.

Если положение центра тяжести, какой либо фигуры известно, то статический момент ее относительно любых осей Z и Y может быть определен без операции интегрирования: ;  где  - площадь фигуры ,  - координаты центра тяжести в осях ZY.

В практических расчетах для определения статического момента сложное сечение разбивают (часто приближенно) на фигуры, положение центра тяжести которых заранее известно и находят статический момент всего сечения: ; , где:  - площадь   - ой фигуры; ,   - координаты центра тяжести   - ой фигуры в осях ZY. Координаты центра тяжести сложного сечения в осях ZY: ; . Формулы для определения положения центров тяжести и площадей большого количества фигур можно найти в справочниках, например [4]. Например, центр тяжести произвольного треугольника находится на расстоянии 1/3 его высоты от основания.

Моментом инерции площади сечения относительно оси (лежащей в плоскости фигуры) или осевым моментом инерции сечения называется интеграл вида:   где:  – площадь произвольной элементарной площадки;   - расстояние от этой площадки до оси.

Моменты инерции относительно произвольных декартовых осей ZY: ; , где   и  – координаты произвольной элементарной площадки.

Полярным моментом инерции площади сечения относительно произвольной точки (полюса О) называется интеграл вида:  где   – расстояние от произвольной элементарной площадки  до полюса.

Полярный момент инерции сечения относительно начала декартовой системы координат YZ связан с моментами инерции относительно координатных осей соотношением: .

Размерности осевых и полярных моментов инерции – единица длины в четвертой степени, например мм⁴.

По определению осевые и полярные моменты инерции сечения не могут быть отрицательными или равными нулю.

Центробежным моментом инерции сечения фигуры относительно произвольных декартовых осей ZY называется интеграл вида:  где   и  – координаты произвольной элементарной площадки . Размерность центробежного момента инерции – единица длины в четвертой степени, например мм⁴.

Центробежный момент инерции сечения в отличие от осевого может быть отрицательным или равным нулю.

Главными осями инерции сечения называются оси относительно, которых центробежный момент инерции равен нулю: .

Положение главных осей инерции легко найти для фигур имеющих хотя бы одну ось симметрии, для таких фигур одна из главных осей совпадает с осью симметрии, а вторая ей перпендикулярна.

Главными центральными осями инерции сечения называются главные оси, проходящие через центр тяжести сечения. Главные центральные оси часто обозначают и  . Для главных центральных осей сечения

 выполняются одновременно условия: ; ; .

Главными моментами инерции площади сечения называются осевые моменты инерции, вычисленные относительно главных осей инерции: , .

Главные моменты инерции сечения обладают свойством экстремальности, то есть один из главных моментов является максимальным, а другой минимальным из всех моментов инерции относительно центральных осей.

Определение положения главных центральных осей и главных моментов инерции поперечного сечения является необходимым этапом в расчетах стержней.

Моменты инерции обладают свойством аддитивности и моменты инерции сложного сечения относительно декартовых осей : ; ; ;   где , , ,   - моменты инерции   - ой фигуры составляющей сечение относительно осей .

В расчетах моментов инерции используется теорема Штейнера, которая позволяет найти моменты инерции относительно осей  параллельных произвольным центральным  (при условии, что моменты инерции относительно этих центральных осей известны): ; ;  , где   и   расстояния соответственно между осями   и ,       и   .

Теорема Штейнера и свойство аддитивности моментов инерции позволяет в практических расчетах находить моменты инерции сложных сечений, не прибегая к интегрированию.

Изменение моментов инерции при повороте осей вокруг начала координат на угол   описывается следующими зависимостями: ; ; , где: ; ;  - моменты инерции относительно первоначальных осей; ; ;  - моменты инерции относительно повернутых осей.

Порядок определения моментов инерции сложного (составного) сечения относительно произвольных центральных осей. Будем считать, что положение центра тяжести сечения определено заранее.

а). Сложное сечение разбивают на простые фигуры моменты инерции, которых можно найти по готовым формулам.

б). Вычисляют моменты инерции отдельных фигур относительно их собственных центральных осей: , , .  В справочниках (например [4]) приводятся формулы для вычисления моментов инерции большого количества фигур. Например, момент инерции прямоугольника с высотой -  и основанием –   относительно его собственных главных центральных осей (осей симметрии):  - относительно оси параллельной основанию;  – относительно оси перпендикулярной основанию. Момент инерции произвольного треугольника c высотой -  и основанием –   относительно центральной оси параллельной основанию: . Для круга: момент инерции относительно центральной оси - ;  полярный момент инерции - .

в). Используя теорему Штейнера и свойство аддитивности определяют моменты инерции сложного сечения относительно осей    и : ; ; , где   и   расстояния между соответствующими собственными центральными осями инерции   - ой фигуры и центральными осями всего сечения .   Координаты   и , входящие в формулы, следует подставлять с учетом их знака (в зависимости от взаимного расположения осей).

   Положение главных центральных осей инерции сечения определяется углом поворота произвольных центральных осей: , причем положительный угол  соответствует повороту против часовой стрелки. Угол  находится в пределах: ±45°.

     Главные моменты инерции сечения могут быть определены по формуле: . Максимальный главный момент инерции будет относительно той оси, которая получается поворотом на угол  центральной оси момент инерции относительно которой был максимален. Очевидно, что должно выполнятся равенство: .

Радиусом инерции сечения относительно главных центральных осей называется отношение: ; .

Осевым моментом сопротивления (или моментом сопротивления изгибу) называется отношение момента инерции относительно главной центральной оси к расстоянию   и  от нее до наиболее удаленной точки поперечного сечения: ; .

 

Прямой плоский изгиб.

Изгибом стержня называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникают изгибающие моменты и перерезывающие силы, деформированная ось стержня представляет пространственную кривую. Стержень, работающий на изгиб, обычно называется балкой.

Плоский изгиб такой вид деформации стержня, при котором деформированная ось стержня является плоской кривой. Плоский изгиб называется прямым, если изогнутая ось лежит в грузовой (силовой) плоскости. Чтобы изгиб был плоским необходимо, чтобы грузовая плоскость совпадала с одной из главных центральных плоскостей инерции стержня.

Грузовой (силовой) плоскостью называется плоскость, в которой лежит вся внешняя нагрузка, включая реакции. Пересечение грузовой плоскости с поперечным сечением называется силовой линией. Главной центральной плоскостью инерции стержня называется плоскость, проходящая через главные центральные оси всех его поперечных сечений.

При рассмотрении плоского прямого изгиба принято главную центральную плоскость стержня, совпадающую с грузовой плоскостью обозначать XY (где X - ось стержня). Тогда при плоском прямом изгибе в поперечных сечениях стержня будут возникать перерезывающая сила -  и изгибающий момент - . В дальнейшем часто индексы не ставятся, но подразумеваются.

Плоский изгиб называется чистым, если в поперечных сечениях действуют только изгибающие моменты, . Плоский изгиб называется поперечным, если в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты и перерезывающие силы.

Примечание. В случае, когда грузовая плоскость совпадает с главной центральной плоскостью стержня, не являющейся плоскостью симметрии стержня, кроме изгиба возникает закручивание стержня. Чтобы при плоском изгибе не происходило закручивание стержня необходимо, чтобы внешняя нагрузка в каждом поперечном сечении проходила через точку называемую центром сдвига (изгиба). Центр изгиба всегда лежит на оси симметрии (если она есть) поперечного сечения. Поэтому при рассмотрении примеров ограничимся случаем сечений имеющих ось симметрии и нагруженных в плоскости симметрии.

Правило знаков и дифференциальные зависимости между , , : изгибающий момент - считается положительным, если в рассматриваемом поперечном сечении сжимает верхние волокна; перерезывающая сила -   считается положительной, если стремится вращать рассматриваемую часть стержня по часовой стрелке; распределенная нагрузка -   считается положительной, если направлена вверх.

Эпюрами   и  называются графики иллюстрирующие изменение этих силовых факторов по длине стержня. Эпюры и  строятся по участкам стержня, значения и  определяются методом сечений. Между распределенной нагрузкой q и силовыми факторами   и  - существуют  дифференциальные зависимости: первая - ; вторая - ; третья - , которые  используются как при построении эпюр, так и при их проверке.

Из третьей зависимости следует, что выпуклость эпюры моментов всегда направлена навстречу распределенной нагрузке.

Напряжения в поперечных сечениях и условия прочности при плоском прямом изгибе стержней. При изгибе всегда часть волокон сжата, часть растянута и в стержне имеется слой волокон, длина которых не изменяется называемый нейтральным слоем. Пересечение нейтрального слоя с поперечным сечением называется нейтральной линией. При плоском прямом изгибе нейтральный слой перпендикулярен грузовой плоскости, а нейтральная линия в сечении перпендикулярна силовой линии и совпадает с главной центральной осью сечения Z. При чистом изгибе в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. На нейтральной линии нормальные напряжения равны нулю.

При чистом плоском изгибе для стержней справедлива гипотеза плоских сечений, согласно которой: а) поперечные сечения стержня при изгибе остаются плоскими и перпендикулярными изогнутой оси; б) давление продольных волокон друг на друга отсутствует. Из этой гипотезы следует, что нормальные напряжения по поперечному сечению распределены линейно.

Нормальные напряжения  - для волокон расположенных на расстоянии y от нейтральной линии, рассчитываются по формуле: , где  - момент инерции сечения относительно главной центральной оси сечения.

В формулу подставляется модуль величин y и , а знак нормальных напряжений  при этом определяется характером деформации сечения, например, при отрицательном моменте волокна верхние будут растянуты, следовательно, для них .

Наибольшие по модулю нормальные напряжения будут возникать в наиболее удаленных от нейтральной линии волокнах  и рассчитываются по формуле ,  где величина  - момент сопротивления сечения изгибу относительно оси Z.

Условия прочности при чистом изгибе запишутся в виде: для материалов, имеющих одинаковую прочность на растяжение и сжатие ; для материалов, имеющих разную прочность на растяжение и сжатие, должны выполнятся одновременно два условия -  и , где:  момент сопротивления растянутых; а  сжатых волокон.

При поперечном изгибе в поперечных сечениях возникают касательные напряжения и сечения депланируются, то есть плоское сечение после изгиба искривляется. Нормальные напряжения в сечениях стержня рассчитываются по формулам чистого изгиба, но в данном случае формулы для напряжений являются приближенными, хотя и достаточно точными.

Касательные напряжения в волокнах отстоящих на расстоянии - y от нейтральной линии определяются по формуле Журавского: ,  где  - статический момент отсеченной части сечения (лежащей выше или ниже рассматриваемых волокон),  - ширина сечения в месте, где определяются напряжения .

В толстостенных сечениях предполагается, что касательные напряжения направленными параллельно силовой линии (оси Y) и по направлению действующей в сечении , и распределены равномерно по ширине сечения. Такие предположения справедливы только для прямоугольных сечений имеющих ширину меньшую высоты, для всех остальных форм сечений формула Журавского является приближенной.

В тонкостенных сечениях предполагается, что касательные напряжения распределены равномерно по толщине стенки сечения и направленными параллельно средней линии (средняя линия делит толщину стенки пополам). Такие предположения не являются строгими, однако, формула Журавского, дает достаточно точные результаты за исключением мест резкого изменения толщины и направления стенок сечения.

При поперечном изгибе в сечениях одновременно действуют и нормальные и касательные напряжения, следовательно, напряженное состояние материала стержня является двухосным (плоским). Оценка прочности в этом случае должна производится на основании теорий прочности. 

В массивных (толстостенных) сечениях величина касательных напряжений обычно незначительна по сравнению с величиной нормальных напряжений и оценку прочности допускается вести как при одноосном напряженном состоянии. Таким образом, для стержня с массивным сечением при поперечном изгибе кроме условий прочности по нормальным напряжениям изгиба считается достаточным записать условие прочности по касательным напряжениям - . Следовательно, кроме сечений с наибольшим изгибающим моментом нужно рассматривать сечения с максимальной перерезывающей силой.

В тонкостенных сечениях величина касательных напряжений может оказаться сравнимой с величиной нормальных напряжений и при оценке прочности необходимо использовать соответствующую теорию прочности.

Проектировочный расчет стержней при поперечном изгибе ведется обычно приближенно с учетом только нормальных напряжений. Уточненный расчет по эквивалентным напряжениям (или с учетом касательных напряжений) выполняется как проверочный.

Определение перемещений при поперечном изгибе интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси стержня (с постоянным по длине сечением). Деформация стержня при поперечном изгибе представляется в виде прогибов (перемещений перпендикулярных недеформированной оси) y и углов поворота поперечных сечений стержня j. Предполагается, что поперечное сечение стержня после изгиба остается плоским и перпендикулярным изогнутой оси стержня, откуда следует, что .  

Принято следующее правило знаков: прогиб считается положительным, если направлен вверх; угол поворота считается положительным, если сечение поворачивается против часовой стрелки. Для всех последующих выкладок принята следующая система координат: ось стержня X направлена вправо, ось Y  вверх.

Для жестких балок максимальные прогибы, которых малы по сравнению с длиной, следовательно, малы и максимальные углы поворота сечений , тогда связь углов поворота с прогибами можно записать в виде .

Для определения перемещения в таких балках используется линеаризованное дифференциальное уравнение: , где  - уравнение изогнутой оси стержня (кривая изгиба). В этом дифференциальном уравнении не учитываются перемещения, связанные с деформацией сдвига (то есть с действием перерезывающей силы) в связи с их малости по сравнению с деформацией связанной с изгибом.

Последовательно интегрируя это уравнение два раза, получим соответственно уравнение углов поворота поперечных сечений ипрогибов оси стержня:

; .

Константы интегрирования и  определяются из граничных условий.

Непосредственное интегрирование дифференциального уравнения и особенно определение констант интегрирования для балок более чем с 2-мя участками является трудоемкой задачей. Так, например, для балки с N участками необходимо записать и проинтегрировать N дифференциальных уравнений при этом появится 2 × N констант интегрирования ;  и  для их определения необходимо записать и использовать 2 × N граничных условий.

Два граничных условия отражают условия закрепления стержня в опорах.

Для каждой шарнирной опоры можно записать ,  - координата сечения, где расположена опора. Для жесткой заделки  и , где  - координата жесткой заделки. Остальные   констант интегрирования находятся из условий непрерывного () и плавного ()  сопряжения изогнутой оси стержня на  границах между участками, здесь  - координата границы между    и   участком.

Метод начальных параметров является более удобным для балок со сложной нагрузкой (с большим количеством участков). Суть метода начальных параметров заключается в выравнивании констант интегрирования по участкам, в результате, которого неизвестными остаются лишь две из них , . Оставшиеся константы интегрирования имеют простой физический смысл:  - прогиб начального (при ) сечения,  - угол поворота начального сечения и определяются из условий закрепления балки.

Для произвольной балки постоянного по длине сечения нагруженной k - моментами  и m -сосредоточенными силами  (включая реакции опор), а также n - равномерно распределенными нагрузками  уравнения углов поворота и прогибов записываются одним выражением сразу для всей балки (для всех участков):

 

;

,

где ,  - координаты сечений, где приложена соответственно  - тая сосредоточенная сила и  – ый сосредоточенный момент, ,  - координаты соответственно начала и конца – той равномерной распределенной нагрузки. Двойные черточки у каждого из слагаемых показывают, при каком условии данное слагаемое включается в вычисления, а именно при определении прогибов или углов поворота в произвольном сечении с координатой – x  в выражениях удерживаются только те слагаемые, которые учитывают нагрузки, приложенные к балке левее рассматриваемого сечения.

В выражениях метода начальных параметров принято следующее правило знаков для внешних нагрузок:  если он направлен по часовой стрелке;  и  если они направлены вверх.

Потенциальная энергия деформации при изгибе. Потенциальная энергия

стержня при изгибе может быть вычислена как сумма потенциальной энергии чистого изгиба и сдвига. В большинстве случаев потенциальной энергией сдвига пренебрегают в связи ее малости и тогда потенциальная энергия упругой деформации при плоском прямом изгибе рассчитывается по формуле - , где   – длина  - го участка стержня;  - выражение изгибающего момента на  - м участке стержня;  - момент инерции сечения стержня на  - м участке.

Рациональные формы сечения при изгибе, это такие формы, которые обеспечивают необходимые прочность и жесткость стержня при минимальной его массе.

Критериями рациональности являются отношения:  и , чем меньше, тем рациональнее форма сечения. Рациональными являются тонкостенные сечения с массивными полками и тонкими стенками типа двутавра, швеллера или коробчатого сечения.