Косой изгиб и внецентренное растяжение-сжатие стержней.

Рис.2.22

Косой (двойной) изгиб. Если плоскость действия изгибающего момента не содержит ни одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения балки, то происходит так называемый косой изгиб. Такой случай имеет место, например, при изгибе консольного бруса силой, приложенной в центре тяжести торцового сечения под некоторым углом  к его оси симметрии (рис.2.22).

 Косой изгиб является плоским, то есть изогнутая ось балки остается после деформации плоской кривой, но характеризуется тем, что в отличие от прямого изгиба, силовая плоскость и плоскость, в которой расположена изогнутая ось (плоскость изгиба), не совпадают. Косой изгиб можно представить, как сочетание двух прямых изгибов, если разложить изгибающий момент по главным плоскостям балки на два составляющих момента  и . Проведем сечение на расстоянии  (рис.2.22) от правого конца бруса и рассмотрим равновесие отсеченной правой его части. Изображая изгибающий момент в левом сечении (при взгляде на это сечение со стороны внешней нормали) по правилам механики в виде вектора , нормального к плоскости действия этого момента (рис.2.23), и раскладывая этот вектор по главным центральным осям  и , получаем: ; , где  - изгибающий момент в данном поперечном сечении.

Рис.2.23

На основании принципа независимости действия сил косой изгиб рассматривается как результат действия на брус двух прямых изгибов, действующих в главных плоскостях. Нормальное напряжение  в какой-либо точке поперечного сечения при косом изгибе получим как алгебраическую сумму нормальных напряжений, вызванных в той же точке моментами  и : . Здесь y и z - координаты исследуемой точки сечения в осях, совмещенных с главными центральными осями инерции сечения.

   Геометрическое место точек сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю, называется нейтральной линией сечения. Нейтральная линия делит сечение на две части, в одной из которых действуют растягивающие, а в другой – сжимающие напряжения.

Уравнение нейтральной линии в виде  найдем, приравнивая напряжения к нулю. После преобразований получаем угловой коэффициент уравнения нейтральной линии равен: . Таким образом, нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.

Зная положение нейтральной линии нетрудно определить положение опасных точек сечения. Опасными будут точки, наиболее удаленные от нейтральной линии. Для сечения произвольной формы необходимо провести касательные к контуру поперечного сечения параллельно нейтральной линии. Если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то опасной будет точка, наиболее удаленная от нейтральной линии. Для хрупких материалов необходимо проверить две точки при условии, что в наиболее удаленной точке действуют сжимающие напряжения.

Напряжения в опасных точках определяются по приведенной выше формуле путем подстановки в нее координат этих точек. Условие прочности при косом изгибе запишется так: , где  - координаты опасной точки наиболее нагруженного (опасного) сечения бруса;  - допускаемое напряжение для материала бруса при простом растяжении или сжатии.

При косом изгибе, в отличие от прямого изгиба, нейтральная линия не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента, а составляет с ней угол  (см. рис.2.23). Если , то нейтральная линия нормальна к плоскости действия изгибающего момента; при этом любая центральная ось является главной и имеет место прямой изгиб.

Полное перемещение  центра сечения бруса, как следует из принципа независимости действия сил и представления косого изгиба в виде комбинации двух плоских изгибов, равно геометрической сумме перемещений, вызванных каждым из указанных плоских изгибов в отдельности, то есть: . Перемещения  и  в главных плоскостях определяются рассмотренным ранее методом интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси стержня.

Угол наклона вектора полного перемещения по отношению к оси : . Следовательно . Это означает, что при косом изгибе смещение центра сечения происходит не в плоскости действия изгибающего момента, а в направлении нормали к нейтральной линии (см. рис.2.23).

Внецентренное растяжение (сжатие). Внецентренное растяжение (сжатие) вызывается силой, параллельной оси бруса, но не совпадающей с ней (рис.2.24). Внецентренное растяжение (сжатие) может быть сведено к осевому растяжению (сжатию) и косому изгибу, если перенести силу P в центр тяжести сечения. Внутренние силовые факторы в произвольном поперечном сечении бруса равны: , где  - координаты точки приложения силы.

На основании принципа независимости действия сил нормальные напряжения в поперечном сечении определяются по формуле: , или , где - радиусы инерции сечения.

Выражение в скобках показывает во сколько раз напряжения при внецентренном растяжении (сжатии) больше напряжений центрального растяжения.

Уравнение нейтральной линии определяем приравнивая нормальные напряжения нулю: . Сокращая на P/F найдем, что нейтральная линия отсекает на осях координат отрезки: .

Рис.2.24

Очевидно, что точка приложения силы и нейтральная линия всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения, причем положение нейтральной линии определяется координатами точки приложения силы. При приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения нейтральная линия будет удаляться от центра. При этом в сечении уменьшаются напряжения от изгиба. При удалении точки приложения силы от центра тяжести сечения нейтральная линия будет приближаться к центру. При этом в сечении возрастают напряжения от изгиба.

Зона вблизи центра тяжести сечения, приложение продольной нагрузки в которой вызывает появление во всех точках сечения напряжений только одного знака, называется ядром сечения. Если точка приложения силы расположена вне ядра, то нейтральная линия пересекает контур сечения, и тогда в сечении будут действовать напряжения разного знака. Указанное обстоятельство необходимо учитывать при расчете элементов конструкций из хрупких материалов, плохо воспринимающих растягивающие нагрузки.

Расчет на прочность при внецентренном растяжении (сжатии) производится так же, как и при косом изгибе по нормальному напряжению в опасной точке поперечного сечения.

Опасной является точка сечения, наиболее удаленная от нейтральной линии. Однако, в тех случаях, когда в этой точке действует напряжение сжатия, а материал элемента конструкции хрупкий, опасной может быть точка, в которой действует наибольшее растягивающее напряжение.

Условие прочности имеет следующий вид: , где  - координаты опасной точки наиболее нагруженного (опасного) сечения бруса;  - допускаемое напряжение для материала бруса при простом растяжении или сжатии.