Устойчивость сжатых стержней.

Явление потери устойчивости. Форму равновесия статически нагруженной конструкции называют устойчивой, если малым возмущающим воздействиям соответствуют малые отклонения от этой формы. Нагрузки, при которых происходит потеря устойчивости, называют критическими нагрузками, а соответствующие состояния – критическими состояниями. Опасность потери устойчивости особенно велика для легких, тонкостенных конструкций типа гибких стержней, пластинок и оболочек. Явления потери устойчивости весьма разнообразны. Наиболее часто встречающийся случай проявления неустойчивости – появление качественно новых смежных форм равновесия. При некоторой величине внешней нагрузки, кроме первоначальной формы упругого равновесия конструкции появляются формы равновесия, отличающиеся от первоначальной бесконечно малыми отклонениями. Следовательно, первоначальная форма равновесия становится неустойчивой (безразличной).

Потеря устойчивости сжатых стержней. Простейшим примером такой потери устойчивости деформируемой конструкции является центральное сжатие первоначально прямого упругого стержня. При умеренных значениях сжимающей силы прямолинейная форма равновесия - единственная и притом устойчивая форма равновесия; малым возмущениям этой формы, которые осуществляются, например, при помощи малой дополнительной поперечной нагрузки, соответствуют малые прогибы. При устранении причины вызывающей малые возмущения (снятия дополнительной поперечной нагрузки) сжатый стержень возвращается к первоначальной прямолинейной форме упругого равновесия.

При критическом значении сжимающей силы прямолинейная форма становится неустойчивой и после малых возмущений стержень приобретает новую форму равновесия, которой соответствует изогнутая ось. После устранения причин вызвавших малое возмущение стержень к исходной прямолинейной форме равновесия уже не возвращается.

Явление потери устойчивости сжатых стержней объясняется наличием двух противоположных сил: сил упругости стремящих выпрямить изогнутый стержень; сжимающей силы, которая стремится увеличить начальный изгиб стержня. При сжимающей силе меньше критической преобладает восстанавливающее действие сил упругости, при сжимающей силе больше критической преобладает изгибающее действие сжимающей силы.

При сжимающих силах, даже немного превышающих критическое значение, прогибы стержня и дополнительные напряжения изгиба достигают больших значений и непосредственно угрожают прочности конструкции. Поэтому критическое состояние, как непосредственно предшествующее разрушению, считается недопустимым в реальных условиях эксплуатации. Определение критической величины сжимающей силы является ответственной частью инженерного расчета конструкции и позволяет избежать потери устойчивости введением надлежащего запаса.

Условие устойчивости сжатого стержня. Условие устойчивости сжатого стержня по аналогии с условием прочности записывают в виде , где:  - сжимающая сила, которая может быть приложена к стержню;  - критическая сжимающая сила;  - коэффициент запаса устойчивости. Таким образом, критерием (количественной характеристикой) устойчивости сжатого стержня является критическая сила.

Определения критических нагрузок по методу Эйлера. Существует несколько методов исследования задач устойчивости. Наиболее известным является метод Эйлера. Суть метода Эйлера состоит в следующем: предполагается, что смежная качественно новая изогнутая форма равновесия существует. Тогда из уравнений описывающих равновесие изогнутого стержня определяют сжимающую силу (в общем случае сжимающие нагрузки) при которых это равновесие становится возможным. При этом принимается следующие допущения: идеально прямая форма оси стержня до нагружения; отсутствие эксцентриситета сжимающей силы; геометрическая линейность задачи, то есть для решения задачи можно использовать упрощенное (линеаризованное) дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня; материал стержня подчиняется закону Гука.

Результат решения дифференциальных уравнений устойчивости может быть записан в виде обобщенной формулы Эйлера - , где: минимальный момент инерции сечения стержня - ;  - длина стержня;  - коэффициент приведения длины учитывающий способ закрепления и нагружения стержня и определяемый при решении дифференциального уравнения. Значения коэффициента  для различных схем закрепления и нагружения стержня приводятся в справочниках, например [4].

Такая форма записи справедлива только для стержня, имеющего одинаковые закрепления (следовательно, одинаковые коэффициенты приведения длины - m) в двух главных плоскостях инерции.

Более общей формой записи формулы Эйлера будет следующая , где:  - гибкость стержня,  безразмерный геометрический параметр,  - радиус инерции сечения. Таким образом, гибкость стержня -  является основным параметром, определяющим устойчивость стержня, именно ее максимальное значение  определяет плоскость наименьшей жесткости (плоскость наибольшей гибкости) в которой может произойти потеря устойчивости.

Площадь поперечного сечения стержня  в формуле берется без учета местных ослаблений (отверстий, вырезов и т.д.), которые мало влияют на его устойчивость. Такую площадь принято называть брутто.

В сложных случаях, когда способ Эйлера не позволяет получить решение в замкнутой форме, удобно использовать энергетический метод.. Для сжатого стержня полная энергия при переходе в возмущенную (изогнутую) форму будет складываться из потенциальной энергии упругой деформации изгиба -  и работы сжимающей силы -  (за счет изгиба стержня будут происходить смещения точек приложения сжимающих нагрузок вдоль оси). Критическому значению нагрузки соответствует нулевое значение этого изменения .

Потеря устойчивости сжатых стержней при напряжениях превышающих предел пропорциональности (упругости). Формула Эйлера справедлива при условии, что материал стержня следует закону Гука, то есть при , где - предел пропорциональности материала стержня.

Условие применимости удобнее выразить через гибкость, , где величина в правой части называется предельной гибкостью  и зависит только от свойств материала стержня.

Формула Эйлера справедлива при условии, что гибкость рассчитываемого стержня больше предельной гибкости для данного материала: . Использование формулы Эйлера при  недопустимо, так как она дает завышенные значения критической силы (нагрузки).

Существуют теоретические формулы для определения критического напряжения при , наиболее известны формулы Энгессера-Шенли и Кармана. По формуле Энгессера-Шенли критическое напряжение - , по формуле Кармана - . В приведенных формулах  касательный модуль, определяемый по диаграмме сжатия материала (за пределами пропорциональности),  - приведенный модуль, учитывающий, кроме того, форму поперечного сечения. 

В практике инженерных расчетов отдается предпочтение эмпирическим формулам например, формулам Ясинского, вида - , где , ,  коэффициенты, определяемые экспериментально для каждого материала. Величины коэффициентов приводятся в справочниках например, для Стали 3 - , , .

Классификация сжатых стержней. По гибкости и по методу расчета сжатые стержни делятся на три типа: стержни большой гибкости , рассчитываются на устойчивость по формуле Эйлера; стержни средней гибкости , рассчитываются на устойчивость по формулам Ясинского (или им подобным); стержни малой гибкости , для которых  и расчет устойчивости не требуется, потому что потере устойчивости предшествует потеря прочности.

Обычно, для сталей с запасом принимается .

Для стержней большой и средней гибкости следует выполнять проверку на прочность по ослабленным сечениям.

Рис.2.25

   Рациональные форма сечения и материал сжатого стержня. Рациональной формой сечения считается такая, которая обеспечивает необходимую устойчивость (величину критической силы) при минимальной массе сжатого стержня. Условие рациональности формы поперечного сечения можно представить в виде . Наиболее полно этому условию отвечают тонкостенные сечения, имеющие одинаковые (или близкие) моменты инерции относительно главных центральных осей, например: тонкостенные трубы (рис.2.25); составные сечения из нескольких ветвей соединенных планками (рис.2.26а) или решеткой (рис.2.26б).

Рациональный выбор материала сжатых стержней определяется следующими зависимостями устойчивости стержня от характеристик материала: для стержней большой гибкости устойчивость зависит только от модуля Юнга; для стержней средней гибкости устойчивость зависит как от модуля Юнга, так и от величины предела пропорциональности и других характеристик материала.

Рис.2.26

    Модуль Юнга у сталей разных марок различается незначительно, стержни большой гибкости, нерационально изготавливать из сталей повышенной прочности. Применение сталей повышенной прочности для стержней средней гибкости позволяет увеличить их устойчивость.

Расчет устойчивости сжатых стержней с помощью коэффициента снижения основных допускаемых напряжений материала стержня на сжатие. Недостатком метода Эйлера с практической точки зрения является идеализация стержня – считается, что первоначально стержень имеет идеально прямолинейную ось и сжимающую силу, приложенную строго по оси.

Начальная кривизна оси стержня (начальная погибь) и эксцентриситет приложения сжимающей силы уменьшают устойчивость стержня. Идеальных стержней не существует, и в практических расчетах приходится вводить некоторый дополнительный запас устойчивости, учитывающий начальную кривизну и эксцентриситет нагрузки.

В инженерных расчетах метод Эйлера (формула Эйлера) применяется для ориентировочных расчетов, и оценки предельной нагрузки сжатого стержня.

Для расчета ответственных конструкций нормы проектирования (например, СНиПы – Строительные Нормы и Правила) предусматривают метод расчета сжатых стержней с помощью коэффициента  - снижения допускаемых напряжений.

Отличием этого метода от метода Эйлера является предположение о наличие малой нормативной начальной кривизны (погиби) оси стержня или эксцентриситета сжимающей силы. Величина нормативной начальной кривизны ограничена стрелой погиби в зависимости от длины стержня - . В этом случае имеет место потеря устойчивости второго рода. Начальная кривизна оси стержня увеличивается с ростом сжимающей силы и критической силой считается такая, при которой стержень не может сопротивляться дальнейшему увеличению сжимающей силы и его деформации становятся катастрофическими.

Для сжатого стержня должно выполнятся условие - , где  площадь (брутто) сечения стержня,  - сжимающая сила,  - допускаемое (по прочности на сжатие) напряжение материала стержня,  - коэффициент, зависящий в первую очередь от гибкости стержня и материала стержня и в меньшей степени от формы поперечного сечения стержня.

Значения коэффициента  приводятся в справочниках в виде таблиц, графиков или формул. В справочниках коэффициент  приводятся для гибкостей , поскольку нормами проектирования не допускается использование сжатых стержней большей гибкости.

  Если начальная кривизна сжатого стержня или, например его изгиб под действием собственного веса превышает нормативную величину , то необходимо рассчитывать его как внецентренно-сжатый или как сжато-изогнутый стержень.

Устойчивость составных стержней. Составные стержни стержни имеют меньшую жесткость на изгиб чем сплошностенчатые стержни с таким же моментом инерции сечения из-за нежесткого соединения ветвей. Чтобы приближенно учесть влияние нежесткого соединения ветвей стержня в расчетах устойчивости используют приведенную гибкость, вычисляемую как , где  - гибкость составного стержня, вычисляемая в предположении абсолютно жесткого соединения ветвей,  - гибкость, связанная с податливостью соединения ветвей стержня, формулы для расчета  приводятся в справочниках.