Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления	Главная Избранные Случайная статья Познавательные Новые добавления Обратная связь FAQ Данные, необходимые для решения задачи, выбрать из таблицы 3. 2. Геометрические характеристики прокатных профилей   можно найти в справочниках по сопротивлению материалов, или в приложении 1. ⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 9   Табл. 3.2 № варианта Полоса b ´ h (мм ´мм) № профиля угольника* № профиля швеллера или двутавра 1 10 ´140 7/4,5(5) 10 2 20 ´100 12,5 (10) 14 3 10 ´200 8/5(6) 16 4 8 ´160 11/7(8) 12 5 6 ´100 4,5 (4) 10 6 20 ´200 12,5 (10) 20 7 40 ´400 20 (16) 30 8 6 ´120 8/5(6)) 10 9 15 ´300 20/12,5(14) 22 10 30 ´100 7/4,5(5) 18 11 15 ´160 4 /2,5(4) 10 12 25 ´100 8/5(6) 14 13 10 ´150 7/4,5(5) 16 14 50 ´2 50 20/12,5(14) 20 15 16 ´100 11/7(8) 10 16 10 ´250 14/9(10) 24 * в скобках указана толщина полок угольника в мм. Порядок выполнения и оформления задачи: Заданное сечение вычерчивается в стандартном масштабе на листе формата А3. 2. Выбираются первоначальные (произвольные) оси координат , в выбранных осях определяются координаты центров тяжести отдельных фигур  и . Через центры тяжести (т. ) проводятся собственные центральные оси отдельных фигур параллельные первоначальным осям. 3. Рассчитываются статические моменты площади сечения относительно первоначальных осей. 4. Определяются координаты центра тяжести в первоначальных осях. Через найденный центр тяжести проводятся центральные оси всего сечения   параллельные первоначальным осям. 5. Определяются моменты инерции (два осевых и центробежный) отдельных фигур относительно собственных центральных осей. Рассчитываются поправки Штейнера для перехода к центральным осям всего сечения. 6. Вычисляются моменты инерции всего сечения относительно центральных осей . Определяется угол поворота центральных осей  вокруг центра тяжести для перехода к главным центральным осям. Вычисляются главные моменты инерции сечения (относительно главных центральных осей). 7. На чертеже сечения показывается положение главных центральных осей сечения. Вычисляются радиусы инерции сечения относительно главных центральных осей сечения. 8. Определяются геометрически (измерением на чертеже с учетом его масштаба) расстояния от главных центральных осей до наиболее удаленных точек сечения. Вычисляются моменты сопротивления сечения относительно главных центральных осей сечения. На чертеже сечения обозначается также положение первоначальных осей, собственных центральных осей отдельных частей сечения, расстояния и углы между осями, в общем, и числовом виде. Рядом с чертежом сечения располагается таблица, в которую сводятся результаты вычислений. Шаблон таблицы результатов приводится в приложении 4.       1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Рис.3.2 Схемы к задаче 5. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ, СЖАТИИ И КРУЧЕНИИ.   Задача №3 Для стального (чугунного) бруса (рис.4.1) определить: как далека кон­струкция от опасного состояния (найти запас прочности), если известны внешние нагрузки, площади поперечного сечения, материал и длина отдельных участков и бруса в целом. При решении задачи в конечный ответ подставить: значение силы , площадь , длину участка или бруса , модуль продольной упругости (для стали , для чугуна ). Стержни на схемах 11-15 (рис.4.1) имеют длину на величину  меньше чем расстояние между опорами. Данные, необходимые для решения задачи, выбрать из табл.4.1 Табл.4.1
Вар.	Площади поперечных сечений		Внешние силы		Зазор *	Материал стержня	Механические характеристики материала стержня, МПа.
							Предел текучести	Пределы прочности
								растяжение	Сжатие
№						-
1	F	2F	P	2P	с	Сталь 20	250	-		-
2	2F	3F	3 P	P	0.5с	Сталь 30	300	-		-
3	F	3F	2P	P	с	СЧ12-28	-	120		500
4	F	2F	3P	P	0.5с	СЧ38-60	-	380		1400
5	2F	3 F	2P	3 P	0.3с	Сталь 40	340	-		-
6	2F	4F	3P	2P	0.5с	СЧ28-48	-	280		100
7	2F	3F	4P	P	0.25с	Сталь 50	380	-		-
8	F	2F	P	2P	0.5с	СЧ12-28	-	120		500
9	2F	2F	3P	P	0.3с	Сталь 3	240	-		-
10	3F	5F	4P	5P	0.5с	СЧ38-60	-	380		1400
11	3F	4F	3P	3P	0.25с	Сталь 50	380	-		-
12	2F	3F	3P	2P	0.5с	Сталь 4	280	-		-
13	F	2F	2P	P	с	СЧ28-48	-	280		100
14	2F	3F	P	4P	с	Сталь 2	220	-		-
15	F	3F	2P	2P	0.5с	СЧ38-60	-	380		1400
*

Порядок выполнения задачи: 1) определяется степень статической неопре­делимости системы; 2) раскрывают статическую неопределимость системы; 3) строят эпюры нормального усилия , нормального напряжения  и переме­щения ; 4) определяют запас прочности из выражения , где  - максимальное расчетное напряжение в стержне, в качестве предельного напряжения принимают для стального бруса предел текучести , для чугунного предел прочности при растяжении  или  при сжатии .

1	2	3
4	5	6
7	8	9
10	11	12
13	14	15
Рис.4.1 Схемы к задаче №3

Пример выполнения задачи №3

Для заданного чугунного стержня (рис.4.2) определить коэффициент запаса прочности. Построить эпюру перемещений сечений стержня.

Исходные данные: ; ; ; ; площади поперечных сечений участков - , , . Материал стержня чугун СЧ21-40, , , .

 Решение:

1). Рассмотрим равновесие стержня, отбросив заделки и заменив их неизвестными реакциями ,  (см. рис.4.3) для их определения имеется 1 уравнения равновесия:  из которого следует . Таким образом, система один раз статически неопределима.

2).Далее, для раскрытия статической неопределимости следует составить уравнение совместности деформаций, в рассматриваемом примере таким уравнением может быть:  - (4.1) - отражающее тот факт, что из-за наличия жестких опор длина стержня не изменяется.

Удлинения участков стержня можно выразить по закону Гука через нормальные силы в сечениях: ; ; ; , нумерация участков принята снизу вверх.

Нормальные силы выразим через неизвестные реакции и внешнюю нагрузку методом сечений: проводя произвольное поперечное сечение в пределах каждого из участков, отбрасываем любую часть и заменяем ее нормальной силой которая является реакцией взаимодействия частей, (см. рис.4.3).

Примечание: неизвестные нормальные силы в сечениях удобнее показывать всегда в положительном направлении, то есть так, чтобы они были растягивающими.

Из условий равновесия рассматриваемых частей находим нормальные силы: ; ; ; .

Подставляя выражения для нормальных сил в выражения для удлинений участков, а затем в уравнение совместности деформаций получим следующее уравнение:

 - ( 4.2 ), разрешая которое относительно R₁   найдем: .

  Таким образом, статическая неопределенность раскрыта.

Рис.4.2	Рис.4.3

Теперь можно рассчитать нормальные силы:

;

;

; ,

и найти нормальные напряжения в сечениях:

;

;

 - (4.3).

3).Запасы прочности стержня по нормальным напряжениям: сжатия - ;  растяжения - .

Для хрупких материалов типа чугуна рекомендуемый минимальный коэффициент запаса - , следовательно, рассматриваемый стержень весьма далек от опасного состояния.

4).По рассчитанным значениям построим эпюры  и   (см. рис.4.4).

Вычисляем удлинения участков стержней:

; ; ; .

Убедимся что, условие совместности деформаций выполняется - .

Рис.4.4

Строим эпюру  - смещений поперечных сечений стержня. Примем за отсчетное сечение нижнюю заделку стержня, а за положительное направление смещение сечений вверх, тогда если участок стержня растягивается, то его сечения перемещаются в положительном направлении. 

Легко доказать, что при  эпюра смещений в пределах участка будет линейной, следовательно, для построения эпюры смещений достаточно вычислить перемещения сечений находящихся на границах участков. Смещение верхней границы 1-го участка - , 2-го участка - , 3-го участка - .

По рассчитанным значениям строим эпюру   (см. рис.2.4), учитывая, что на границах участков разрыва эпюры быть не может и в заделках перемещение равно нулю.

Примечание. Если между стержнем и жесткой опорой имеется зазор , то уравнение совместности деформаций (4.1) записывается в виде: . При построении эпюры   за отсчетное сечение лучше принять верхнюю опору.

    

Задача №4

Абсолютно жесткий брус(рис.4.5) шарнирно поддерживается стальными стержнями или крепится посредством опорных устройств; брус нагружен силами . Требуется выполнить проектировочный расчет (найти площади поперечных сечений стержней), принимая для стержней . В конечный ответ задачи подставить значение силы , . Запас прочнос­ти конструкции принять . Устойчивость стальных стержней считать обеспеченной.Данные, необходимые для решения задачи, взять из табл.4.3.

Дополнительное задание (только по указанию преподавателя)

Определить дополнительные напряжения и проверить запас прочности, если стержень с площадью  имеет отклонение длины от номинального размера на величину , где  - длина стержня, коэффициент  дан в табл.4.3.

Табл.4.3

Вар.

Площади сечений

Внешние силы

Материал стержня Предел текучести материала стержня, МПа. Коэффициент № Марка стали 1 2 F F P 2P Сталь 20 250 -0.0002 2 2F F 2 P P Сталь 30 300 0.0003 3 F F 2P P Сталь 40 340 0.0004 4 3 F F P 3 P Сталь 50 380 -0.0005 5 2F 3 F P 2 P Сталь 40 340 0.0005 6 3 F F 3P P Сталь 3 240 -0.0004 7 2F 3F P 3 P Сталь 20 250 0.0003 8 3 F 2F 3 P 2P Сталь 30 300 0.0006 9 F 2F 3P 2 P Сталь 40 340 0.0004 10 3F F 2 P 3 P Сталь 50 380 -0.0003 11 F 3 F P 3P Сталь 40 340 0.0002 12 2F 3F 3P 4 P Сталь 3 240 0.0004 13 F 2F 2P P Сталь 3 250 0.0003 14 4 F 3F 4 P 3 P Сталь 20 250 0.0005 15 F 4 F 4 P P Сталь 30 300 -0.0006

Если величина коэффициента положительна, то стержень имеет длину больше номинальной, если отрицательна, то длина стержня меньше номинальной.

Порядок выполнения задачи: определяют степень статической неопреде­лимости системы; раскрывают статическую неопределимость системы; находят наибольшие по абсолютной величине нормальные напряжения в стержнях;  из проектировочного расчета на прочность, по условию   определяют величину искомой площади сечения стержня, в котором напряжение максимально. Пло­щади поперечного сечения остальных стержней находятся с учетом условия задачи.

1	2
3	4
5	6
7	8
9	10
11	12
13	14
15
Рис.4.5. Схемы к задаче 3.

Пример выполнения задачи № 4

(Вариант 1,  жесткий брус крепится двумя стержнями и шарниром).

Для стержневой конструкции (рис.3.2) из условия прочности подобрать необходимые площади сечения стержней (выраженную через ).

Исходные данные: ; ; . Материал стержней Сталь 30, , .

Рис.4.6	Рис.4.7

Решение:   

1).Допускаемые напряжения для материала стержней:

2).Рассмотрим равновесие абсолютно жесткого бруса, отбросив стержни (рис.4.7). В данном случае рациональнее заменить отброшенные стержни нормальными силами , возникающими в них (примечание: неизвестные нормальные силы в стержнях следует показывать всегда в положительном направлении, то есть так, чтобы они были растягивающими).

Имеется 3 уравнения равновесия и 4 неизвестных:  и две составляющих реакции в опоре В - , следовательно, система один раз статически неопределима.

Из трех уравнений равновесия имеет смысл составить только одно, содержащее нужные неизвестные     в данном случае это уравнение:

 или

, откуда окончательно  (4.4).

3).Необходимо составить одно уравнение совместности деформаций. Для этого рассмотрим возможное деформированное состояние конструкции. В данном случае таким состоянием будет поворот жесткого бруса вокруг шарнира , показанное на рис.4.8 (необязательно, чтобы выбранное направление перемещения и поворота совпадало с действительным).

Рис.4.8

Шарниры  займут новые положения , их вертикальные перемещения обозначим соответственно . (В силу малости перемещений и деформаций можно заменить дуги окружностей, по которым перемещаются шарниры, вертикальными отрезками  и . Также можно считать, что углы наклона стержней не изменились).

Рис.4.9

Очевидно, что перемещения  связаны между собой условием,  (4.5), которое получается из подобия треугольников  и . Эти перемещения связаны с абсолютными удлинениями стержней следующими зависимостями: ,   ( 4.6 ), знак «-» учитывает, что первый стержень сжат. Эти зависимости получены из рассмотрения рис.4.9.

Следовательно:  и выражая  по закону Гука, получим: . Учитывая, что , , ,   получим: , откуда ,  или   ( 4.7 ).

Подставляя ( 4.7 ) в выражение ( 4.4 ) выразим нормальные силы в стержнях:

и .

Нормальные напряжения в стержнях выразятся следующим образом:

  ( 4.8 ).

Более нагруженным (опасным) является стержень №2, из условия прочности для него определим необходимую площадь поперечного сечения стержней:

 (здесь учтено, что при составлении условия прочности по сжимающим напряжениям расчетные напряжения всегда берутся по модулю, так как допускаемые напряжения всегда положительны).

Для проверки вычислим напряжения в стержнях:   - условие прочности выполнено для обоих стержней.

Дополнительное задание (учет монтажных напряжений).

Будем считать, что стержень №1 до сборки конструкции имел длину отличающуюся от номинальной на малую величину  (знак “-” означает, что начальная длина меньше номинальной). Используя принцип суперпозиции нагрузок, найдем отдельно монтажные напряжения и затем сложим их с напряжениями, возникающими от внешней нагрузки.

При отсутствии нагрузок уравнение равновесия (4.4) предстанет в виде:

 (4.4¢). Уравнение (4.6) для 2-го стержня не изменится, а для 1-го запишется в виде: , см. рис.4.10 (на рис.4.10 формально показана ситуация соответствующая положительному значению ).

Уравнение совместности деформаций запишется в виде:

 или учитывая, что , , откуда после несложных преобразований  (4.10).

Подставляя (4.4¢)  в выражение (4.10) получим:

.

Подставляя значения, вычислим нормальные силы и монтажные напряжения в стержнях:

; ;

Рис.4.10

; .

Оба стержня после монтажа растянуты (здесь важно отметить, что условия прочности выполнены для обоих стержней, то есть при монтаже их прочность не нарушена). Добавляя монтажные напряжения к напряжениям, возникающим от внешних нагрузок ( 4.9 ) получим выражения для суммарных напряжений в стержнях нагруженной конструкции:

;

.

Минимальный запас прочности конструкции (для самого опасного стержня):

, существенно меньше заданного.

 

(Вариант 2, жесткий брус крепится тремя стержнями).

Для стержневой конструкции (рис.4.11) из условия прочности подобрать необходимые площади сечения стержней (выраженную через F). При найденной нагрузке определить перемещение точки приложения силы P₁.

Исходные данные: ; ; . Материал всех стержней Сталь 5, с пределом текучести ; .

Решение: 1).Определим допускаемое напряжение для стержней    принимая коэффициент запаса прочности : .

Рис.4.11	Рис.4.12

2).Рассмотрим равновесие абсолютно жесткого бруса, отбросив стержни (рис.4.12). В данном случае рациональнее заменить отброшенные стержни нормальными силами , возникающими в них (неизвестные нормальные силы в стержнях следует показывать всегда в положительном направлении, то есть так, чтобы они были растягивающими). Для 3-х неизвестных сил можно составить 2 уравнения равновесия:

  (4.11);

.  (4.12).

Следовательно, задача 1 раз статически неопределима, и необходимо составить одно уравнение совместности деформаций. Для этого рассмотрим возможное деформированное состояние конструкции (возможное означает допускаемое связями и включающее перемещение по всем возможным степеням упругой подвижности). В данном случае таким состоянием будет вертикальное поступательное перемещение жесткого бруса и его поворот, показанное на рис.4.13 (необязательно, чтобы выбранное направление перемещения и поворота совпадало с действительным).

Рис.4.13

Шарниры  займут новые положения , их вертикальные перемещения обозначим соответственно . Очевидно, что эти перемещения связаны между собой условием, которое получается из трапеции : (4.13).

Перемещения шарниров связаны с абсолютными удлинениями стержней: , откуда следует условие совместности деформаций:  (4.14).

Выражая удлинения стержней по закону Гука, получим дополнительное уравнение, связывающее нормальные силы в стержнях:

 (4.15).  

3).Решая совместно уравнения (4.11), (4.12), (4.15) выразим нормальные силы в стержнях: ; ;  (для проверки следует убедиться, что полученные нормальные силы удовлетворяют исходным уравнениям). Нормальные напряжения в стержнях выразятся следующим образом, чтобы их можно было сравнить в общем виде:

; ; .

4).Так как материал стержней имеет одинаковую прочность на растяжение и сжатие, то опасным будет третий стержень (с наибольшим по модулю напряжением). Из условия прочности для 3-го стержня определим площадь поперечного сечения: .

Убедимся, что напряжения, действующие в стержнях, удовлетворяют условиям прочности: ; ;  (4.16).

Дополнительное задание (учет монтажных напряжений).

Рис.4.14

5).Будем считать, что стержень №2 до сборки конструкции имел длину, отличающуюся от номинальной на малую величину  (знак “+” означает, что начальная длина стержня больше номинальной).

Используя принцип суперпозиции нагрузок, найдем отдельно монтажные напряжения и затем сложим их с напряжениями, возникающими от внешней нагрузки. При отсутствии нагрузок уравнения равновесия (4.11), (4.12) перепишутся в виде:  (4.11¢);

 (4.12¢).

Уравнение (4.13) останется без изменений. Зависимость между перемещением шарнира B и удлинением стержня №2 изменится:  (см. рис.4.14). Тогда уравнение совместности деформаций запишется в виде: , (4.14¢). 

Используя закон Гука, получим: , откуда учитывая , выразим:  (4.15¢). Решая совместно (4.15¢), (4.11¢), (4.12¢) выразим нормальные силы в стержнях: ; ; .

6).Монтажные напряжения в стержнях:

; ;

 (4.17).

Монтажные напряжения не превосходят допускаемых, следовательно, условие прочности при сборке конструкции не нарушается.