Продольно-поперечный изгиб стержней.

   Сжато-изогнутые стержни находятся под действием продольных сжимающих и поперечных изгибающих нагрузок. Ранее при одновременном действии продольных и поперечных нагрузок (например, при внецентренном растяжении-сжатии) мы считали, что перемещения и напряжения в каждой точке стержня на основании принципа суперпозиции нагрузок могут быть найдены отдельно от сжатия и изгиба, а затем просуммированы. Такой способ решения возможен, если перемещение в стержне малы и расчет можно вести по исходной недеформированной схеме стержня.

Для гибких сжато-изогнутых стержней такой способ решения неприемлем, поскольку сжимающая сила за счет прогибов вызывает в стержне не только сжатие, но и изгиб. Таким образом, расчет сжато-изогнутых стержней должен проводится по деформированной схеме. В этом случае поперечный изгиб стержня происходит одновременно с продольным и потому получил название продольно-поперечного изгиба.  

Дифференциальные уравнения продольно-поперечного изгиба. Изгибающий момент в поперечном сечении сжато-изогнутого стержня, например показанного на рис.2.27, можно представить в виде: , где  - изгибающий момент, вызванный только поперечной нагрузкой;  - прогиб рассматриваемого сечения;  - момент создаваемый в сечении сжимающей силой.

Рис.2.27

   Условие равновесия стержня запишется в виде дифференциального уравнения - , или - ,  (где ). Решение такого уравнения можно представить в виде: , где  - частное решение, зависящее от вида функции .

   Более общей формой дифференциального уравнения будет следующая: , где  - интенсивность распределенной поперечной нагрузки.

   Общий вид решения этих уравнений показывает нелинейную зависимость прогиба (и напряжений) от величины сжимающей силы. Кроме того, решение показывает, что при приближении величины сжимающей силы к критической (эйлеровой) силе прогиб растет неограниченно. Неограниченный рост прогиба (реально невозможный) связан с тем, что используемое дифференциальное уравнение является приближенным и неприменимо при значительных прогибах стержня.

   Приближенный способ расчета сжато-изогнутых стержней. Точное решение дифференциальных уравнений продольно-поперечного изгиба в случае сложной нагрузки и произвольного закрепления вызывает серьезные затруднения. Поэтому в практических расчетах используются различные приближенные методы решения, например распространенным является выражение для прогиба сжато-изогнутого стержня: , где  - прогиб, вызванный только поперечной нагрузкой;  - эйлерова сила для сжатого стержня. В отличии от критической нагрузки  вычисляется по формуле Эйлера при любой гибкости стержня и гибкость стержня  берется не максимальная а соответствующая плоскости изгиба стержня поперечной нагрузкой и зависит от способа закрепления стержня.

   Изгибающий момент можно представить в виде: , где  - изгибающий момент, вызванный только поперечной нагрузкой.

Максимальные напряжения в этом случае . Таким образом, нормальные напряжения нелинейно зависят от сжимающей силы. Кроме того, при  напряжения стремятся к бесконечности, что нереально, и данный способ можно применять только при условии .

Приближенный метод дает довольно точный результат для шарнирно опертых стержней нагруженных поперечной нагрузкой одного направления, в других случаях закрепления и нагружения стержня точность решения может быть значительно ниже.

   Расчет сжато-изогнутых стержней по предельной нагрузке.   В связи с нелинейной зависимостью напряжений от сжимающей нагрузки в сжато-изогнутом стержне, расчет прочности по методу допускаемых напряжений может привести к недостаточному запасу прочности. Действительно, может оказаться, что при увеличении сжимающей нагрузки всего на 5-10% приведет к увеличению напряжений от допускаемой величины до опасной.

   Более надежным для сжато-изогнутых стержней является расчет по предельной нагрузке: сначала определяется величина внешней нагрузки , при которой напряжения достигают опасного значения, например из условия ; затем допускаемое значение нагрузки получается делением опасной на коэффициент запаса.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНО РАБОТЫ

 

Задача №1.